贵州省贵阳市高考数学复习 变量间的相关关系.doc

专题变量间相关关系 1.基础知识知识点1：变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系相同点：两者均是两个变量之间的关系不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间与路程的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。知识点2.散点图.1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系。点睛：散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形。特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系。散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度知识点3：回归直线（1）回归直线的定义如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。（2）回归直线的特征如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那么我们就可以比较清楚的了解对应两个变量之间的相关性，就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表。（3）回归直线方程一般地，设与是具有相关关系的两个变量，且相应组观测值的个点（i=1,2，n）大致分布在一条直线的附近，求在整体上与这个点最接近的一条直线，设此直线方程为，这里的在上方加上“”是为了区分实际值，表示当取值,相应的观察值，而直线上对应于的纵坐标是点睛：（1）散点图中的点整体上分布在一条直线附近时，可以应用线性回归分析的方法分析数据；2）回归直线是反映：“从整体上看，各点与此直线的距离的和最小”的一条直线，它反映了具有线性相关关系的两个变量之间的规律；3）我们可以通过回归直线方程，由一个变量的值来推测另一个变量的值，解决生活中的实际问题；这种方法称为回归方法知识点4：回归系数公式及相关问题1.最小二乘法：求回归直线的关键是如何用数学的方法刻画从整体上看，各点与此直线的距离最小，假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：。当自变量取（=1，2，n）时，可以得到（=1，2，n），它与实际收集到的之间的偏差是（=1，2，n）这样用个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，现在的问题就归结为：当，取什么值时最小，即点到直线的整体距离最小（其中，） 这种通过求式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。2.回归直线方程的求法先判断变量是否线性相关若线性相关，利用公式计算出a,b利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测注意：线性回归直线方程中x的系数是b，常数项是a，与直线的斜截式不大一样，如果散点图中的点分布从整体上看不在任何一条直线附近，这时求出的线性回归方程实用价值不大。点睛：线性回归方程：一般地,设有个观察数据如下：当,使取得最小值时,就称为拟合这对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线。知识点5：线性回归分析思想在实际中的应用教材中利用回归直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析，这种分析方法叫做线性回归分析。利用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测，求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算的积，求；计算；将结果代入公式求；用 求；写出回归方程。注意：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,的计算公式，算出,由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误知识点6：利用相关系数判断线性相关程度最小二乘法求出回归直线的方程后，可以对上面两个变量的关系进行分析与预测，如图前两个是线性相关，可以求回归方程，后两个是非线性相关，直线不能很好地反映图中两个变量之间的关系。显然求回归直线的方程是没有意义的。有些变量线性相关，有些非线性相关，衡量变量的线性相关程度引入一个量：相关系数注意它的符号：当时，x，y正相关，当时，x，y负相关，统计学认为：对于r，若那么负相关很强，若，那么正相关很强若，那么相关性一般， 若，那么相关性较弱，点睛：相关系数的绝对值越大，线性相关关系就越强。2.典型例题考向一相关关系的判断例1：下列两个变量之间是相关关系的是（）a、圆的面积与半径 b、球的体积与半径 c、角度与它的正弦值 d、一个考生的数学成绩与物理成绩思路分析：由题意知a表示圆的面积与半径之间的关系s=r2，b表示球的体积与半径之间的关系c表示角度与它的正弦值，前面所说的都是确定的函数关系，相关关系不是确定的函数关系，故选d【训练1】 根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系_(填“是”与“否”)考向二变量的线性相关例2.对变量、有观测数据（i=1，2，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（ui，vi）（i=1，2，10），得散点图2由这两个散点图可以判断（）a、变量x与y正相关，u与v正相关 b、变量x与y正相关，u与v负相关 c、变量x与y负相关，u与v正相关 d、变量x与y负相关，u与v负相关 思路分析：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈递增趋势，u与v正相关解：c考向三：散点图【变式训练】山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450455(1)画出散点图；(2)判断是否具有相关关系，是什么关系考向四线性回归方程例4：某县教研室要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学成绩有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如下表）：（1）对变量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系，求出线性回归方程；（2）若某学生入学数学成绩是80分，试估测他高一期末数学考试成绩思路分析：（1）根据所给的数据利用最小二乘法写出线性回归方程的系数和a的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错（2）将x=80代入所求出的线性回归方程中，得y=8分，即这个学生的高一期末数学考试成绩预测值为84分解：（1）设所求的线性回归方程为y=ax+b最小二乘法可以写出因此所求的线性回归方程y=0.742x+23.108（2）将x=80代入所求出的线性回归方程中，得y=84分，即这个学生的高一期末数学考试成绩预测值为84分【变式训练1】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x；(3)已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：32.5435464.566.5)【训练2】 (2011江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x/cm174176176176178儿子身高y/cm175175176177177则y对x的线性回归方程为()ayx1 byx1 cy88x dy176 3.当堂检测1. 下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是 ( ) a. 小麦产量与施肥值 b. 球的体积与表面积 c. 蛋鸭产蛋个数与饲养天数 d. 甘蔗的含糖量与生长期的日照天数2. 下列变量之间是函数关系的是 ( ) a. 已知二次函数,其中,是已知常数,取为自变量,因变量是这个函数的判别式： b. 光照时间和果树亩产量 c. 降雪量和交通事故发生率 d. 每亩施用肥料量和粮食亩产量3下面现象间的关系属于线性相关关系的是 ( ) a. 圆的周长和它的半径之间的关系 b. 价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系c. 家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势d. 正方形面积和它的边长之间的关系4下列关系中是函数关系的是 ( ) a. 球的半径长度和体积的关系 b. 农作物收获和施肥量的关系 c. 商品销售额和利润的关系 d. 产品产量与单位成品成本的关系5下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 ( ) a. 角度和它的余弦值 b. 正方形边长和面积 c. 正n边形的边数和它的内角和 d. 人的年龄和身高6下面哪些变量是相关关系 ( ) a. 出租车费与行驶的里程 b. 房屋面积与房屋价格 c. 身高与体重 d. 铁的大小与质量7下列语句中所表示的事件中的因素不具有相关关系的是 ( ) a. 瑞雪兆丰年 b. 上梁不正下梁歪 c. 吸烟有害健康 d. 喜鹊叫喜,乌鸦叫丧8. 在回归直线方程中,b表示 ( ) a. 当增加一个单位时,增加的数量 b. 当增加一个单位时, 增加的数量 c. 当增加一个单位时, 的平均增加量 d. 当增加一个单位时, 的平均增加量9. 回归方程为,则 ( ) a. b. 15是回归系数 c. 1.5是回归系数 d.时10.工人月工资（元）与劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为,下列判断不正确的是 ( ) a劳动生产率为1000元时,工资为130元 b. 劳动生产率提高1000元时,则工资提高80元 c. 劳动生产率提高1000元时,则工资提高130元d. 当月工资为210元时,劳动生产率为2000元11.有关线性回归的说法中,不正确的是 ( ) a. 相关关系的两个变量不是因果关系 b. 散点图能直观地反映数据的相关程度 c. 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 d. 任一组数据都有回归方程12.设有一个回归方程为,则变量x增加一个单位时 ( ) a.平均增加1.5单位 b. 平均增加2单位 c. 平均减少1.5单位 d. 平均减少2单位13.回归直线方程必定过 ( ) a. 点 b. 点 c. 点 d. 点142003年春季,我国部分地区sars流行,党和政府采取果断措施,防治结合,很快使病情得到控制,下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市sars治愈者数据,以及根据这些数据绘制出的散点图日期5.15.25.35.45.55.65.75.85.95.105.115.12人数100109115118121134141152168175186203 下列说法根据此散点图,可以判断日期与人数具有线性相关关系； 根据此散点图,可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的个数为 ( )a. 0个 b. 1个 c. 2个 d.以上都不对 二、解答题15某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表，由表中数据算出线性回归方程中的b-2.气象部门预测下个月的平均气温约为6，据此估计该商场下个月毛衣的销售量约为_件。月平均气温x（）171382月销售量y（件）2433405516春节期间，某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的