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基本初等函数背景下的三角函数教学浙江省邮电学校黄柏江312016摘要：数学既不是枯燥的数字和公式，数学教学也不能成为数学知识点的罗列。在数学表面的数字和公式之下，涌动着数学家艰苦探索现实世界的精彩的思维轨迹，这轨迹优美、悦目，昭示人类智慧的不竭动力。数学教学者只有引导学生沿着精妙的数学思维轨迹作一次努力的旅行，数学教学才能显现可能成功的端倪，学生也才能真正领略到作为探索自然奥密学科之一的数学的独特风景，真正享受到科学之光的沐浴。本文试图以三角函数教学为例，实践笔者上述的论点。关键词：数学思维基本初等函数结构三角函数教学数学教学如果仅仅是孤立知识点的讲解，那么数学教育必然要陷入枯燥乏味的泥沼，教师教得累，学生学得更累。事实上，在现实的教学中，不少师生在面对数学时，无可避免地遭遇着类似的尴尬。在中职数学教学中由于学生数学基础普遍较差、学习兴趣相对较弱，这种境况就更是普遍。如何在数学教学中还原作为“思维的体操”的数学的本来面目，在学生感知能力范围内，使学生充分体验数学思维本身的精妙，是数学教学者必须要思考的问题，也是逃避上述尴尬局面的有效途径之一。鲜活、精妙的数学思维潜伏在教材所呈现的知识点中，数学教师如何在分散的知识点中还原、复苏数学的思维轨迹并在教学中引导学生进入到相应的思维状态中，其基本的过程可为下表所示：教材数学教师的思维活动学生的思维活动数学家的思维活动文字备课教学参透复苏激发中职数学国家规划教材（丘维声版）在编写的过程中充分突现了数学思维本身在教学过程中的参透，在教师的引导下，学生可以主动地、生动活泼地参与到教学过程中来。下面笔者结合三角函数教学中的实践谈一点粗浅的体会。在三角函数学习之前，学生已经学习了集合与函数以及幂函数、指数函数、对数函数等几个基本初等函数，根据美国心理学家布鲁姆的掌握学习法，在学习新知识前，学生必须具备学习新知识的思维态势及相应的知识具备。在学习三角函数之前，教师应引导学生建立怎样的思维态势呢？l 基于集合映射的函数概念：函数是非空集合到数集的映射。基本初等函数是数集到数集的映射。l 基本初等函数研究的一般方法：揭示初等函数的基本结构，即DM,在此基础上通过描点法作图，呈现函数的整体面貌及函数的性质。在此思维态势下，对于待展示、研究的三角函数，如何承继初等函数研究的基本脉络呢？ 且看思维的“旅行”之路。准备：基本初等函数是数集到数集的映射，直角坐标系是研究函数的最直观的舞台。为了在更广泛的范围内研究角并把角的研究融入基本初等函数研究的思维轨道中，教材编写者充分呈现了数学家的思维轨迹，即以下三个方面的准备工作。完成了对角的概念的推广。由早期对于角的静态认识两条射线所组成的几何图形提升至对于角的动态认识一条射线绕着它的端点旋转所形成的旋转量。建立了初等数学中完备的角的定义。把角的范围扩充到任意大小的角。把角放入笛卡尔坐标系引入了象限角、终边相同的角等概念；建立了一种新的度量角的制度弧度制，使得可以用实数来表示角。结合前面角的概念的推广，建立起角的集合与实数集的一一对应关系。至此，在直角坐标系中来研究三角函数可以说是“万事皆备，只欠东风”了。艰苦而快乐的探索：在直角坐标系中利用角终边上点的坐标建立了三角函数的定义，进而根据定义明确了三角函数的定义域，在基本初等函数的基本结构中，三角函数的求值问题就成为最后的堡垒。数学家们在攻克这一堡垒的过程中呈现了怎样一种思维脉络呢？数学中由特殊到一般（问题认识）、由一般转化到特殊（问题解决）的思想方法在此被展示得淋漓尽致。且看：角的认识：（0， ） （0，2 ） （，）对角的认识分两阶段完成：静态认识阶段：由两条射线所组成的几何图形。无方向元素。动态认识阶段：一条射线绕着它的端点旋转所形成的几何量。考虑方向元素，分正角、负角、零角。求值的途径：分橫向和纵向两个方向推进。橫向：三角函数定义由角终边上一点P的坐标（x,y）及r(=r)来完成,基于此，可以想见，六个函数之间必存在着非常紧密的联系。这种紧密的联系体现在同角三角函数间的八个基本恒等式：sin2x+cos2x=1,1+tg2x=1,1+ctg2x=1；sinxcscx=1,cosxsexx=1,tgxctgx=1tgx=,ctgx=。通过这八个同角三角函数的基本恒等式，就可以在已知一个角的某一个三角函数时，求出这个角的其它五个三角函数值。纵向：（，） (0，2 ） (0， ）第一步实现方法：利用终边相同的同名三角函数值相等，即：F（2K）F（），KZ。当（0,2）时，就把任意角的求值问题转化为0到2角的求值问题。第二步实现方法：为了探索如何把0到2角的求值问题转化为0到的求值问题，数学家首先巧妙地引进了单位圆，以此简化正弦、余弦的定义。yP(x,y)xo其次，从求值这一角度，当为锐角时，把（，），（，），（2）分别表示为或，或，或，然后利用定义及已经获得的同角三角函数关系，得到了以下两组诱导公式：F（F（，F（F（，F（2F（；F（，F（，F（；其中F表示角的六个三角函数，表示角的F的互余函数。通过这两组公式使得（，），（，），（2）区间内的三角函数求值问题转化为（0，）区间内的三角函数求值问题。在解决求值问题的同时，我们发现当时，以上公式也成立，由此为三角函数式的化简、恒等式证明提供了极大的方便。通过上述求值问题上的艰苦探索，求值问题在橫向上只要已知一个就可以求另五个，在纵向上简化为求锐角三角函数值的问题，而锐角三角函数的求值问题数学家已经编制成了专门的三角函数表，查表就可解决。求值问题一解决，三角函数的图象也就唾手可得，优美的正弦、余弦曲线、正切、余切曲线呼之欲出，水到渠成。得到三角函数的图象以后，“看图说性质”，三角函数的性质也就一览无余。在中学数学的教学中，三角函数部分是代数部分的重头戏，内容多，篇幅大，公式多，难度大，无论是学生的学还是教师的学，都是一块难啃的硬骨头。笔者在几年的教学过程中，觉得在三角函数的教学中宜从基本初等函数在初等数学阶段的一般研究方法着手，把三角函数的教学始终放到基本初等函数研究的背景中，从基本初等函数研究关键在揭示函数的基本结构（DM）着手，紧抓主线，纲举目张。同时承继前期幂函数、指数函数、对数函数研究的经验，就可以在教学中使学生有熟悉感，通过实现知识的迁移顺利完成三角函数部分的学习，同时享受数学思维旅行的乐趣。中职数学教学由于学生基础相对较差，学习能力相对较弱，在教学的深广度上必须有别于普高学生的教学。如何既正视中职学生的现实又使中职学生在数学学习中有所成，抓知识呈现的主线、抓数学思维的训练，不失为一种现实而可行的教学策略。要真正实施这一策略，作为教学主体的数学教师必须吃透教材，对于数学知识呈现的思维脉络有精深的体会，唯