浙江省绍兴一中高二数学上学期期末试卷（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省绍兴一中高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（）axy+8=0或xy1=0bx+y+8=0或x+y1=0cx+y3=0或x+y+3=0dx+y3=0或x+y+9=02长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）a20b25c50d2003设l，m是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）a若l，=m，则lmb若l，l，则c若l，m，则lmd若l，ml，则m4若直线y=x+m与曲线=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（）a（，）b（，1c（，1d1，）5某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）abc8d46如图，在矩形abcd中，ab=8，bc=4，e为dc边的中点，沿ae将ade折起，在折起过程中，有几个正确（）ed平面acd cd平面bed bd平面acd ad平面beda1个b2个c3个d4个7点p（3，1）在椭圆=1（ab0）的左准线上过点p且方向为=（2，5）的光线，经直线y=2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）abcd8已知点a（2，0），b（2，0），c（0，2），直线y=ax+b（a0）将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）a（0，）bcd二、填空题（每小题3分，其中第9，15题各4分，共23分）9直观图（如图）中，四边形oabc为菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形abcd为，面积为cm210李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为cm11椭圆e： +=1内有一点p（2，1），则经过p并且以p为中点的弦所在直线方程为12四面体的棱长中，有两条长为，其余全为1时，它的体积13连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦ab、cd的长度分别为2和4，m、n分别是ab、cd的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：弦ab、cd可能相交于点m；弦ab、cd可能相交于点n；mn的最大值是5；mn的最小值是1；其中所有正确命题的序号为14设圆o：x2+y2=3，直线l：x+3y6=0，点p（x0，y0）l若在圆o上存在点q，使得opq=60，则x0的取值范围是15在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，点p是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|pb|+|pd1|=的点p的个数为；若满足|pb|+|pd1|=m的点p的个数为6，则m的取值范围是三、解答题（本大题共5题，共53分）16如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱（1）试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大17已知圆c：x2+（y1）2=5，直线l：mxy+1m=0（1）求证：对mr，直线l与圆c总有有两个不同的交点a、b；（2）求弦ab的中点m的轨迹方程18如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc=60，pa=ab=bc，e是pc的中点（1）证明cdae；（2）证明pd平面abe；（3）求二面角apdc的正切值19已知圆m：x2+（y4）2=4，点p是直线l：x2y=0上的一动点，过点p作圆m的切线pa、pb，切点为a、b（）当切线pa的长度为2时，求点p的坐标；（）若pam的外接圆为圆n，试问：当p运动时，圆n是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（）求线段ab长度的最小值20如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c： +=1，设r（x0，y0）是椭圆c上的任一点，从原点o向圆r：（xx0）2+（yy0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点p，q（1）若直线op，oq互相垂直，求圆r的方程；（2）若直线op，oq的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0；（3）试问op2+oq2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由2015-2016学年浙江省绍兴一中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1与直线x+y+3=0平行，且它们之间的距离为的直线方程为（）axy+8=0或xy1=0bx+y+8=0或x+y1=0cx+y3=0或x+y+3=0dx+y3=0或x+y+9=0【考点】两条平行直线间的距离【专题】计算题；直线与圆【分析】设所求直线方程为x+y+m=0，运用两平行直线的距离公式，解关于m的方程，即可得到所求方程【解答】解：设所求直线方程为x+y+m=0，则由两平行直线的距离公式可得d=3，解得m=9或3则所求直线方程为x+y3=0或x+y+9=0，故选d【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题2长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）a20b25c50d200【考点】球的体积和表面积【专题】计算题【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：设球的半径为r，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2r）2=32+42+52=50，r=s球=4r2=50故选c【点评】本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题3设l，m是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）a若l，=m，则lmb若l，l，则c若l，m，则lmd若l，ml，则m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】阅读型；空间位置关系与距离【分析】由线面平行的性质定理可判断a；又线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可判断b；由线面平行的性质定理可判断c；由线面平行的性质定理可判断d【解答】解：a若l，=m，则l，m平行或异面，只有l，才有lm故a错；b若l，l，则由线面平行的性质定理，l，=m，则lm，又l，故m，由面面垂直的判定定理得，故b正确；c若l，m，则由线面平行的性质可得l，m平行、相交、异面，故c错；d若l，ml，则m与平行、相交或在平面内，故d错故选b【点评】本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质定理的应用，考查空间想象能力，注意定理的条件的全面性，以及直线与平面的位置关系，是一道基础题4若直线y=x+m与曲线=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（）a（，）b（，1c（，1d1，）【考点】直线与圆相交的性质【专题】作图题【分析】根据题意画出曲线=x的图象，结合圆与直线的位置关系的判定进而得到答案【解答】解：由题意可得：曲线=x表示圆的右半圆，即如图所示当直线y=x+m与圆x2+y2=1相切时，则m=，结合图象可得：若直线y=x+m与曲线=x相切时，则m=平移直线y=x可得若直线y=x+m与曲线=x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为：（，1故选b【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的图象，以及圆与直线位置关系的判定，并且掌握数形结合的数学思想5某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）abc8d4【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥acdef和一个三棱锥组fabc成的组合体，四棱锥acdef的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组fabc的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积v=+=，故选：a【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为n棱锥（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台6如图，在矩形abcd中，ab=8，bc=4，e为dc边的中点，沿ae将ade折起，在折起过程中，有几个正确（）ed平面acd cd平面bed bd平面acd ad平面beda1个b2个c3个d4个【考点】直线与平面垂直的判定【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】利用线面垂直的判定定理求解【解答】解：在矩形abcd中，ab=8，bc=4，e为dc边的中点，在折起过程中，d点在平面bce上的投影如右图de与ac所成角不能为直角，de不会垂直于平面acd，故错误；只有d点投影位于o2位置时，即平面aed与平面aeb重合时，才有becd，此时cd不垂直于平面aebc，故cd与平面bed不垂直，故错误；bd与ac所成角不能成直线，bd不能垂直于平面acd，故错误；aded，并且在折起过程中，有adbc，存在一个位置使adbe，在折起过程中ad平面bed，故正确故选：a【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意线面垂直的判定定理的合理运用7点p（3，1）在椭圆=1（ab0）的左准线上过点p且方向为=（2，5）的光线，经直线y=2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）abcd【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】根据过点p且方向为a=（2，5）求得pq的斜率，进而可得直线pq的方程，把y=2代入可求得q的坐标，根据光线反射的对称性知直线qf1的斜率进而得直线qf1的方程，把y=0代入即可求得焦点坐标，求得c，根据点p（3，1）在椭圆的左准线上，求得a和c的关系求得a，则椭圆的离心率可得【解答】解：如图，过点p（3，1）的方向=（2，5）所以kpq=，则lpq的方程为y1=（x+3），即lpq=5x+2y=13与y=2联立求得q（，2），由光线反射的对称性知：kqf1=所以lqf1为y+2=（x+），即5x2y+5=0，令y=0，得f1（1，0），综上所述得：c=1， =3，则a=，所以椭圆的离心率e=，故选a【点评】本题主要考查了直线与椭圆的关系充分利用了光线反射的性质8已知点a（2，0），b（2，0），c（0，2），直线y=ax+b（a0）将abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（）a（0，）bcd【考点】直线的一般式方程【专题】直线与圆【分析】先求得直线y=ax+b（a0）与x轴的交点为m（，0），由0可得点m在射线oa上求出直线和bc的交点n的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：若点m和点a重合，求得b=；若点m在点o和点a之间，求得 b1；若点m在点a的左侧，求得b2，综合起来可得结论【解答】解：由题意可得，三角形abc的面积为s=aboc=4，由于直线y=ax+b（a0）与x轴的交点为m（，0），由直线y=ax+b（a0）将abc分割为面积相等的两部分可得点m在射线oa上设直线和bc的交点为 n，则由，可得点n的坐标为（，），若点m和点a重合，则点n为线段bc的中点，则=2，且=1，解得a=，b=，若点m在点o和点a之间，则点n在点b和点c之间，由题意可得三角形nmb的面积等于2，即mbyn=2，即（2+）=2，解得a=0，故b1，若点m在点a的左侧，则2，ba，设直线y=ax+b和ac的交点为p，则由求得点p的坐标为（，），此时，np=，此时，点c（0，2）到直线y=ax+b的距离等于，由题意可得，三角形cpn的面积等于2，即=2，化简可得（2b）2=2|a21|由于此时 0ba1，（2b）2=2|a21|=22a2 两边开方可得2b=，则2b，即b2，综合以上可得，b的取值范围是故选：b【点评】本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题二、填空题（每小题3分，其中第9，15题各4分，共23分）9直观图（如图）中，四边形oabc为菱形且边长为2cm，则在xoy坐标中四边形abcd为矩形，面积为8cm2【考点】平面图形的直观图【专题】计算题【分析】由斜二测规则知：ac分别在x轴和y轴上，故在xoy坐标中ac分别在x轴和y轴上，且oa=2，0c=4，即可的答案【解答】解：由斜二测规则知：ac分别在x轴和y轴上，故在xoy坐标中ac分别在x轴和y轴上，且oa=2，0c=4，由平行性不变找出对应的b点，可以得到：在xoy坐标中四边形abcd为矩形，且面积为8故答案为：矩形；8【点评】本题考查平面图形的直观图的斜二测画法及面积关系，考查作图能力10李师傅在建材商店购买了三根外围直径都为10cm的钢管，为了便于携带，他将三根钢管用铁丝紧紧捆住，截面如图所示，则铁丝捆扎一圈的长度为30+10cm【考点】弧长公式【专题】数形结合；分割补形法；三角函数的求值【分析】连接圆心与切点得出三条切线长是两圆的圆心距，三条弧长是一个圆的周长，求出它们的和即可【解答】解：如图所示，铁丝捆扎一圈的长度为三条公切线的长度+三条弧长，即3ab+3弧bc=3o1o2+圆o1的周长=30+10故答案为：30+10【点评】本题考查了圆的弧长与切线长的计算问题，是基础题目11椭圆e： +=1内有一点p（2，1），则经过p并且以p为中点的弦所在直线方程为x+2y4=0【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设所求直线与椭圆相交的两点的坐标，然后利用点差法求得直线的斜率，最后代入直线方程的点斜式得答案【解答】解：设所求直线与椭圆相交于a（x1，y1），b（x2，y2），则，两式相减得又x1+x2=4，y1+y2=2，kab=因此所求直线方程为y1=（x2），即x+2y4=0故答案为：x+2y4=0【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，是中档题12四面体的棱长中，有两条长为，其余全为1时，它的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由题意如图，三棱锥的三条侧棱长为：1，底面边长分别为：1，计算其底面积及高，从而求出其体积【解答】解：由题意画出图形，pa=pb=pc=bc=1，ab=，ac=，所以abc是直角三角形，o为ac的中点，po垂直底面abc；易知po=；三棱锥的体积为：1=，故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积的求法，正确处理棱锥的棱长之间的数据关系，po垂直底面abc，是本题解决的关键，考查空间想象能力，计算能力，是基础题13连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦ab、cd的长度分别为2和4，m、n分别是ab、cd的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：弦ab、cd可能相交于点m；弦ab、cd可能相交于点n；mn的最大值是5；mn的最小值是1；其中所有正确命题的序号为【考点】球面距离及相关计算；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】计算题【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题【解答】解：错误易求得m、n到球心o的距离分别为3、2，若两弦交于n，则ommn，rtomn中，有omon，矛盾分别取球o的两条弦ab、cd的中点e、f，则oe=，of=，即可以看做弦ab、cd分别是球半径为3和2的球的切线，且弦ab在半径为2的球的外部，弦ab与cd只可能相交与m点，且mn的最大距离为2+3=5，最小距离为32=1，当m、o、n共线时分别取最大值5最小值1综上可得正确的命题的序号为故答案为：【点评】本题考查了球体的切线的性质及其空间位置关系问题，此类考题对空间想象能力的要求较高，考生对与命题的正确性不能分析到位，是该题的错误率较高本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题14设圆o：x2+y2=3，直线l：x+3y6=0，点p（x0，y0）l若在圆o上存在点q，使得opq=60，则x0的取值范围是【考点】直线和圆的方程的应用【专题】计算题【分析】圆o外有一点p，圆上有一动点q，opq在pq与圆相切时取得最大值如果op变长，那么opq可以获得的最大值将变小因为sinopq=，qo为定值，即半径，po变大，则sinopq变小，由于opq（0，），所以opq也随之变小可以得知，当opq=60，且pq与圆相切时，po=2，而当po2时，q在圆上任意移动，opq60恒成立因此，p的取值范围就是po2，即满足po2，就能保证一定存在点q，使得opq=60，否则，这样的点q是不存在的【解答】解：由分析可得：po2=x02+y02又因为p在直线l上，所以x0=（3y06）故10y0236y0+34解得即x0的取值范围是，故答案为【点评】解题的关键是结合图形，利用几何知识，判断出po2，从而得到不等式求出参数的取值范围15在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，点p是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|pb|+|pd1|=的点p的个数为12；若满足|pb|+|pd1|=m的点p的个数为6，则m的取值范围是（2，2）【考点】点、线、面间的距离计算【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】（1）由题意可得点p是以2c=2为焦距，以a1为长半轴，为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求（2）利用三角形两边之和大于第三边，以及点p的个数为6个时，短半轴长小于，求出m的范围【解答】解：正方体的棱长为2，bd1=2，点p是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|pb|+|pd1|=，点p是以2c=2为焦距，以a=为长半轴，以为短半轴的椭圆，p在正方体的棱上，p应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件满足|pb|+|pd1|=的点p的个数为12个（2）满足|pb|+|pd1|=m的点p的个数为6，|pb|+|pd1|=m|bd1|=2，m2，正方体的棱长为2，正方体的面的对角线的长为2，点p的个数为6，b，短半轴长b=， ，解得m2m的取值范围是（2，2）故答案为：12，（2，2）【点评】本题考查满足条件的点的个数的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用三、解答题（本大题共5题，共53分）16如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm的内接圆柱（1）试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；二次函数的性质【专题】数形结合【分析】（1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的底面半径，再表示出圆柱的侧面积；（2）由（1）求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值【解答】解：（1）设所求的圆柱的底面半径为r，它的轴截面如图：由图得，即s圆柱侧=（2）由（1）知当时，这个二次函数有最大值为6，当圆柱的高为3cm时，它的侧面积最大为6cm2【点评】本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想17已知圆c：x2+（y1）2=5，直线l：mxy+1m=0（1）求证：对mr，直线l与圆c总有有两个不同的交点a、b；（2）求弦ab的中点m的轨迹方程【考点】轨迹方程【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（1）利用直线l：mxy+1m=0过定点p（1，1），而点p（1，1）在圆内，判定直线l与圆c总有两个不同交点a、b；（2）设出弦ab中点m，用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程【解答】（1）证明：直线l：mxy+1m=0过定点p（1，1），而点p（1，1）在圆内，直线l与圆c总有两个不同交点；（2）解：当m与p不重合时，连结cm、cp，则cmmp，又因为|cm|2+|mp|2=|cp|2，设m（x，y）（x1），则x2+（y1）2+（x1）2+（y1）2=1，化简得：x2+y2x2y+1=0（x1）当m与p重合时，x=1，y=1也满足上式故弦ab中点的轨迹方程是x2+y2x2y+1=0【点评】本题考查轨迹方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题18如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc=60，pa=ab=bc，e是pc的中点（1）证明cdae；（2）证明pd平面abe；（3）求二面角apdc的正切值【考点】二面角的平面角及求法【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证cdae；（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到pd平面abe；（3）过e点作empd于m点，连结am，由（2）知ae平面pcd，则ampd，则ame是二面角apdc的平面角通过解三角形aem，即可得到所求值【解答】（1）证明：pa底面abcd，cd平面abcd，pacd，又accd，acpa=a，cd平面pac，又ae平面pac，cdae；（2）证明：pa底面abcd，ab平面abcdpaab，又adab，adpa=aab平面pad，又pd平面padabpd，由pa=ab=bc，abc=60，则abc是正三角形ac=abpa=pce是pc中点aepc由（1）知aecd，又cdpc=cae平面pcdaepd，又abpd，abae=apd平面abe；（3）解：过e点作empd于m点，连结am，由（2）知ae平面pcd，则aepd，则pd平面aem，ampd，则ame是二面角apdc的平面角设ac=a，ad=，pa=a，pd=a，am=，在rtaem中，ae=a，em=a，则taname=【点评】本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用，考查空间二面角的求法，考查运算和推理能力，属于中档题19已知圆m：x2+（y4）2=4，点p是直线l：x2y=0上的一动点，过点p作圆m的切线pa、pb，切点为a、b（）当切线pa的长度为2时，求点p的坐标；（）若pam的外接圆为圆n，试问：当p运动时，圆n是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（）求线段ab长度的最小值【考点】直线和圆的方程的应用【专题】综合题；直线与圆【分析】（）因为pa是圆m的一条切线，所以map=90，所以mp=，即可点p的坐标；（）设p（2b，b），因为map=90，所以经过a、p、m三点的圆n以mp为直径，其方程为：，即（2x+y4）b（x2+y24y）=0，即可得出结论；（）求出点m到直线ab的距离，利用勾股定理，即可求线段ab长度的最小值【解答】解：（）由题可知，圆m的半径r=2，设p（2b，b），因为pa是圆m的一条切线，所以map=90，所以mp=，解得所以4分（）设p（2b，b），因为map=90，所以经过a、p、m三点的圆n以mp为直径，其方程为：即（2x+y4）b（x2+y24y）=0由，7分解得或，所以圆过定点9分（）因为圆n方程为（xb）2+（y）2=即x2+y22bx（b+4）y+4b=0 圆m：x2+（y4）2=4，即x2+y28y+12=0得圆m方程与圆n相交弦ab所在直线方程为：2bx+（b4）y+124b=011分点m到直线ab的距离13分相交弦长即：当时，ab有最小值16分【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c： +=1，设