大学物理6-10章.pdf

41 习习习习 题题题题 6 6 1 有一个弹簧振子 振幅为 2 102 m 周期为 1s 初相为4 3 试写出它 的振动方程 并画出 x t 图 t 图和 a t 图 解 2 2 T 1 s 振动方程 mtx 4 3 2cos 102 2 速度 12 4 3 2cos 104 smtv 加速度 22 4 3 2cos 8 smta 图略 6 2谐振动方程为 4 20cos 1 0 txm 求 1 振幅 频率 角频率 周期和初相 2 t 2s时的位移 速度和加速度 解 对照谐振动的标准方程 cos tAx 可知 1 mA1 0 20 4 Hz10 2 sT1 0 1 2 2 2 0 1cos 202 7 07 10 4 t xm 1 2 44 4 4 20sin 201 0 smvt 22 2 280 4 20cos 20 1 0 amat 6 3设四个人的质量共为250kg 进入汽车后把汽车的弹簧压下 2 100 5 m 若 该汽车弹簧共负担1000kg的质量 求该汽车的固有频率 解 由 14 2 109 4 105 8 9250 mN x F k Hz m k 11 1 1000 104 4 2 1 2 1 4 6 4一立方体木块浮于静水中 其浸入部分的高度为a 今用手指沿竖直方向将 其慢慢压下 使其浸入部分的高度为b 然后放手任其运动 若不计水对木块的 粘滞阻力 试证明木块的运动是谐振动 并求出振动的周期和振幅 解 已知木块作简谐振动 其回复力必取 kxf 的形式 回复力是重力和浮力的合力 木块的平衡条件为 gSagm 水木 水木 Sam 以静浮时下底面所在位置为坐标原点 x轴向下为正 当下底面有位侈x时木块所受回复力为 a b o x 42 kxgxSgmgaxSf 水木水 所以 gSk 水 g a gS Sa k m T 222 水 水 取刚放手时为初始时刻 则 abx 0 0 0 v ab v xA 2 0 0 6 5在U形管中注入水银 其密度为 高度为l 管的截面积为S 今使水银上下振动 不计水银与管壁 的摩擦 求振动的周期 l 解 当水银面处于任意位置y时 整个水银受回复力 kysgyf 2 sgk 2 题题题题 6 5 图图图图 g l sg ls k m T 2 2 2 22 6 6一质量为1 0kg的物体放置在平板上 平板下面连着一个弹簧 现使平板 上下做谐振动 周期为0 5s 振幅为2cm 求 1 当平板到最低点时物体对平板的 压力 2 若频率不变 振幅多大时可使物体恰好离开平板 3 若振幅不变 频率多大时可使物体恰好离开平板 解 由于物体作简谐振动 在任意位置时所受作用力为 Ngm v v N v 为平板对 物体支撑力随位置不同而变 1 取坐标x轴向下为正 则maNmg 在最低点时Ax 32 0100 2 5 0 2 22222 smAa Q NmamgN9 12 则物体对平板的作用力NN96 12 2 由于物体跳离平板是N 0 所以Ammamg 2 m g A 2 2 102 6 3 由Ammg 2 可得 Hz A g 52 3 100 2 8 9 2 1 2 1 2 2 6 7一物体放置在平板上 此板沿水平方向作谐振动 已知振动频率为2Hz 物体与板面的最大静摩擦系数为0 5 问 要使物体在板上不发生滑动 最大振 幅是多少 解 mgma max Q mgAm 2 则 m gg A 2 22 101 3 2 43 6 8一水平放置的弹簧受到1N的力作用时伸长 2 100 5 m 现在此弹簧的末端 系一质量为0 064kg的物体 并拉长0 10m后放手任其振动 试求此弹簧振子作 谐振动时的周期 最大速度和最大加速度 解 1 2 20 100 5 1 Nm x F k s k m T36 0 20 064 0 22 1 max 77 1 sm m k AAv 22 max 3 31 sm m k AAa 6 9一质量为 2 1 0 10 kg 的物体作谐振动 其振幅为 2 2 4 10 m 周期为4 0s 当t 0时位移为 2 2 4 10 m 求 1 在t 0 50s时物体所在的位置和物体所受的 力 2 由起始位置运动到 2 1 2 10 mx 处所需的最短时间 解 1 mx 2 0 104 2 Q 0 又 24 22 T 2 cos 104 2 2 tx 当st5 0 时 mx 2 107 1 Nmxkxf 42 102 4 2 mx 2 102 1 Q时 5 0 2 cos A x t 3 2 2 mun t st33 1 3 4 min 6 10作谐振动的物体 由平衡位置向x轴正方向运动 试问经过下列路程所需的 时间各为周期的几分之几 1 由平衡位置到最大位移处 2 这段距离的前半 段 3 这段距离的后半段 解 1 2 Q T 2 4 T t 2 6 Q 12 T t 3 3 Q 6 T t 6 11两质点沿同一直线作同振幅 同频率的谐振动 在振动过程中 每当它们 经过振幅一半的地方时相遇 而运动方向相反 求它们的相位差 并作旋转矢量 表示之 解 在一次完全完全振动中 对应于一个位置可有二个等值反向的速度 cos tAxQ sin tAv 44 a 设甲乙甲乙两质点在正方向相遇 对甲 5 0 cos 1 t sin 1 t 0 得 3 5 1 t 对乙 5 0 cos 2 t sin 2 t 0 得 3 1 2 t 3 4 21 ty b 设甲乙两质点在负方向相遇 对甲 5 0 cos 1 t sin 1 t 0 得 3 4 1 t 对乙 5 0 cos 2 t sin 2 t 0 得 3 2 2 t 3 2 21 tt 6 12两个质点作同频率 同振幅的谐振动 第一个质点的振动方程为 cos 1 tAx 当第一个质点自振动正方向回到平衡位置时 第二个质点恰 在振动正方向的端点 求第二个质点的振动方程和两振动质点的相位差 解 由旋转矢量图得 2 12 2 12 第二个振动方程为 2 cos 12 tAx 6 13原长为0 50m的弹簧上端固定 下端挂一质量为0 10kg的砝码 当砝码 静止时 弹簧的长度为0 60m 若将砝码向上推 使弹簧缩回到原长 然后放手 砝码上下运动 1 证明砝码的上下运动为谐振动 2 求此谐振动的振幅 角频 率和频率 3 若从放手时开始计算时间 求此谐振动的运动方程 正向向下 解 本题证明在任意时刻作用在物体上的合力为 kxf 的形式即可 1 以物体平衡位置为原点 x轴竖直向下为正方向 设物体平衡时使弹簧伸 长了 0 x 有 mgkx 0 当物体处于任意位置时有 kxmgxxkf 0 所以物体作简谐运动 2 取放手时刻为初始时刻 则初位移为 0 x 初速度为0 mx v xA1 0 0 2 0 0 1 0 9 9 s x g m k Hz58 1 2 45 3 由初始条件可定出 所以方程为 9 9cos 1 0 tx 6 14如图所示 质量为10g的子弹以 1 1000 m s 的速度射入木块并嵌在木 块中 使弹簧压缩从而作谐振动 若木块质量为4 99kg 弹簧弹性系数为 3 1 8 10 N m 求振幅 解 由动量守恒定律 VMmmv 得碰后速度 v Vm m V 由机械能守恒 kAVMm 0 1 2 1 2 得 m Mmk mv V k Mm A05 0 2 6 15质量为0 10kg的物体作振幅为 2 1 0 10 m 的谐振动 其最大加速度为 2 4 0m s 求 1 振动的周期 2 通过平衡位置时的动能 3 物体在何处 其动能与势能相等 解 1 因为 Aa 2 max 所以 1max 20 s A a sT314 0 2 2 JmAmVEk002 0 2 1 2 1 22 max 2 3 JmVE002 0 2 1 2 max 4 2 2 1 kxEp 2 2 1 kAEE kp 当 kp EE 时有 2 2 0 707 10 2 A xm 6 16当谐振子的位移为其振幅的一半时 其动能和势能各占总能量的多少 物 体在什么位置其动能和势能各占总能量的一半 解 1 EkA A kkxEp 4 1 2 1 4 1 2 2 1 2 1 222 所以 EEEE pk 4 3 2 EEE kp 2 1 所以 22 4 1 2 1 kAkx Ax07 0 6 17一个质点同时参加两同方向 同频率的谐振动 振动方程分别为 46 1 6cos 2 6 cmxt 2 8cos 2 3 cmxt 试用旋转矢量法求合振动方程 解 由旋转矢量图可得 cmAAA1086 222 2 2 1 radtg403 0 8 6 3 1 所以合振动方程为 cmtx 403 02cos 10 6 18已知两个同方向 同频率的谐振动的振动方程分别为 1 5cos 100 75 cmxt 2 6cos 100 25 cmxt 求 1 合振动的振幅及初相 2 若另有一同方向 同频率的谐振动方程为 33 7cos 10 cmxt 则 3 为多少时 31 xx 的振幅最大 又 3 为多少时 32 xx 的振幅最小 解 1 cmAAAAA81 7 cos 2 2121 2 2 2 1 11 1122 1122 1184 48 A sinA sin tgtg A cosA cos o 2 要使 31 xx 的振幅最大 必须使两振动同相位 075 13 合成振幅为 cmAAA12 21 3 要使 32 xx 的振幅最小 必须两振动反相 23 25 1 3 合振幅为 cmAAA1 23 6 19有两个同方向 同频率的谐振动 其合振动的振幅为20cm 合振动的 相位与第一个振动的相位之差为30o 若第一个振动的振幅为17 3cm 求第二个 振动的振幅 第一 第二两振动的相位差 解 由旋转矢量图可知 cmAAAAA o 1030cos2 1 2 1 2 2 47 230cos 30sin 1 1 AA A tg o o 6 20示波管的电子束受到两个互相垂直的电场的作用 若电子在两个方向上 的位移分别为tAx cos 和 cos tAxy 求在0 30 o 90 o 各 情况下 电子在荧光屏上的轨迹方程 解 两同频率 互相垂直的谐振动合成 其轨道方程为 sin cos 2 1212 21 2 2 2 2 1 2 AA xy A y A x 1 AAA 21 Q 0 1 0 2 代入上式得轨道方程为 02 22 xyyx yx 2 AAA 21 Q 0 1 o 30 2 轨道方程为 222 4 1 3Axyyx 3 AAA 21 Q 0 1 2 2 轨道方程为 222 Ayx 6 21一个弹簧振子的质量m 1 0kg 弹性系数k 900 1 N m 阻尼系数 1 10 0s 当振子在周期性强迫力100cos30Ft N 的作用下做稳定受迫振动 时 其角频率和振幅极大值分别是多少 解 1 受迫振动达到稳定时有 1 1 30 s p 2 受迫振动达到稳定时其振幅为 22 0 00 4 p F A m 当 0 p d dA 时振幅取极大值可求得 122 0 5 262 s p m m F Ar177 0 2 22 0 0 6 22如图所示 一个由两个密度均匀的金属米尺构成的T形尺可绕过上端 点的水平轴左右自由摆动 若摆角足够小 求摆动的周期 48 解 T形尺的微小振动是复摆振动 T形尺绕轴O的转动惯量J由两部分组成 12 17 12 1 3 1 2 222 21 ml mlmlmlJJJo T形尺的质心C至点O的距离为 C l 由质心定义可得llC75 0 则振动周期为 sglmglJT Co 95 118 1722 2 习习习习 题题题题 7 7 1一声波在空气中的波长是0 25m 速度是 1 340m s 当它进入另一介质 时 波长变成了0 79m 求它在这种介质中的传播速度 解 波在不同介质中传播时频率不变 1 1 vQ 2 2 v 1 1 2 2 4 1074 smv 7 2已知波源角频率 2 12 56 10 s 波速 1 380m s 振幅 2 1 0 10 mA 初相0 试写出波动方程 解 由波方程的标准形式 cos2cos xx yAtAt 可得 22 1 0 10cos12 56 10 380 ytx m 7 3波源作谐振动 其振动方程为ty 240cos104 2 m 它所形成的波以 x 1 30m s 的速度沿一直线传播 1 求波的周期及波长 2 写出波动方程 解 对照振动方程 tAy cos 可知 1 240 s mA 3 104 1 3 103 8 2 Ts 25 0 vT m 2 波动方程 m x t v x tAy 30 240cos104 cos 3 7 4一维谐波波源的频率为250 Hz 波长为0 1m 振幅为0 02 m 求 1 距 波源1 0 m处一点的振动方程及振动速度 2 波的传播速度 3 t 0 1s时的波 方程 并作图 解 1 波动方程为 cos2 0 02cos 250 0 1 xx yAttm 49 1 0 250 2sin10 x t dt dy v 振 以x 1 0 m代入上式得 20500cos 02 0 ty 10 sin 50020 vt 振 2 1 252501 0 smc 3 以t 0 1 s代入波动方程有 2050cos 02 0 xy 7 5一横波的方程为 2 cos yAutx 若0 01mA 0 2m 1 25vs 试求t 0 1 s时 x 2 m处一点的位移 速度和加速度 解 mxtxty 10250cos 01 0 25 2 0 2 cos01 0 1 10250sin 5 2 smxt dt dy v 振 10250cos 625 2 xtya 振 将 t 0 1 s x 2 m代入以上各式得 my01 0 0 振 v 22 625am s 振 7 6波源的振动方程为 2 6 10cos 5 yt m 它所形成的波以 1 2 0m s 的速 度在一直线上传播 求 1 距波源6 0 m处一点的振动方程 2 该点与波源的 相位差 3 此波的波长 解 1 ty 5 cos106 2 振 Q m 1 0 2 smv 2 5 cos106 2 x ty 以x 6 0 m代入得 mtyx 5 3 5 cos 106 2 0 6 2 该点的振动相位比波源落后 5 3 3 20 1 0 2 c m 7 7 波源作谐振动 周期为1 100 s 并以它经平衡位置向正方向运动时为时 间起点 若此振动以 1 400m su 的速度沿直线传播 求距波源为800cm处的振 动方程和初相 又距波源为990 cm和1000 cm处两点之间相位差为多少 解 由题意知波源的振动方程为 1 cos 200 2 yAt 1 距波源为800cm的振动方程为 1 cos 2 cos 2004 5 2 x yAtAt 50 初相 0 4 5 2 21 20 05 xx 7 8一平面波在介质中以速度 1 20m su 沿x轴的负方向传播 已知在传播 路径上某点A的振动方程为3cos4 yt cm 1 以A点为坐标原点 写出波动 方程 2 以距A点5m处的B点为坐标原点 写出波动方程 3 写出传播方 向上B点 C点 D点的振动方程 各点间的距离参看图示 u C B A D x 题题题题 7 8 图图图图 解 1 5 4cos 3xty 2 5 4cos 3xty 3 B点振动方程为 4cos 3 ty C点 5 13 4cos 3 ty D点 9 5 4cos 3 ty 7 9 两平面波源A B振动方向相同 相位相同 相距0 07 m 它们所发出的波的频率Hs30 波速 P 为 1 0 5m su 求在与AB连线成30o夹角的直线上 距A为3 m的P点处两列波的相位差 P点初相 是多少 设两波的振幅相同 初相均为零 题题题题 7 9 图图图图 解 由图知 AP BP AB 2 3 07 030cos o ABBPAP m 27 72 BPAP 7 10有一波在介质中传播 其波速 3 1 10 m su 振幅 4 1 0 10 mA 频率 Hz 3 10 若介质的密度为 3 800kg m 求 1 该波的能流密度 2 1分钟内 垂直通过一面积 42 4 10 mS 的总能量 解 1 252423322 1058 1 100 1 102 10800 2 1 2 1 mwAvI 2 JStIW 345 1077 3601041058 1 8m 5m 9m 0 07m A B o 30 3 m 51 7 11一谐波在直径为0 14 m的圆柱形管内的空气中传播 波的能流密度为 3 3 9 10 W m 频率为300 Hz 波速为 1 300um s 问 波的平均能量密度和 最大能量密度各是多少 平均来说 每两个相邻的同相面之间有多少能量 解 波的平均能量密度 53 3 10 J J m u 最大能量密度 53 26 10 J m 两个相邻同相面之间的平均能量 27 4 62 10WRJ 7 12一平面谐波的频率为500 Hz 在质量密度 33 103 1 cmg 的空气中 以 1 340m su 的速度传播 到达人耳时 振幅 4 10 cmA 试求耳中的平均能量 密度和声强 解 2222 2 2 1 2 1 AA Q 362226 104 6 500 4 10 3 1 2 1 mJ 声强 22321 1 2 18 10 2 IvAvJ ms 7 13 如图所示 两相干波源分别在P Q两点处 相距3 2 由P Q发 出频率为 波长为 的两列相干波 R为PQ连线的上的一点 求 1 自P Q发出的两列波在R处的相位差 2 两波在R处干涉时的合振幅 P Q R 解 1 3 2 322 r 2 P点处干涉时的合振幅为 题题题题 7 13 图图图图 QPQPQP AAAAAAA cos2 22 合 7 14如图所示 1 s 2 s为两相干波源 相距4 1 s较 2 s的相位超前2 问在 1 s 2 s的连线上 1 s外侧各点的合振幅如何 又在 2 s外侧各点的合振幅如 何 P Q 题题题题 7 14 图图图图 解 P点在 1 s点左侧 1221 21 2 2 2 PsPsPsPs 2121 2 2 2 1 cos2AAAAAAA 2 3 4 1 s 2 s 52 Q点在 2 s右侧 0 4 2 2 2 21 21 QsQs 2222 121212 2cosAAAA AAA 7 15 波源位于同一介质中的A B两点 如图 其振幅相等 频率皆为100 Hz B比A的相位超前 若A B相距30 m 波速为 1 400m s 试求AB连线 上因干涉而静止的各点的位置 A B x 题题题题 7 15 图图图图 解 已知 m c 4 100 400 以A点为原点 对于x轴上一点x 030 xm 正向波相位为 2 AA x t 负向波相位为 2 30 BB tx 相位差为 2 230 ABAB x 令 21k 得 152xk 7 6 5 7k K 得 x 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 m 等处为两波相干而静止 7 16 如图所示 一个物体系在一质量线 P 密度为0 0020kg m 的细绳上 细绳跨过 一个轻滑轮 左端连在一个频率不变的振子 P上 P与滑轮之间的绳长度是2 00mL m 已知当物体质量等于16 0kg或25 0kg时 绳 题题题题 7 16 图图图图 上出现驻波 问 振子P的频率是多少 可使绳上出现驻波的物体最大质量是 多少 解 由于波速 ysymg u s 有 1 1 m g u 2 2 m g u 111 222 4 5 um um 30m 53 按照驻波条件 2 Lk 因此有 1 122 kk 21 12 4 5 k k 又因为 12 1kk 得 1 5k 2 4k 而 2 2 2 1 L m k 22 2 350 um g Hz 2 令1k 得 max 24Lm 相应的质量为 222 max 400 u mkg gg 7 17一列火车以 1 20m s 的速度在静止的空气中行驶 若机车汽笛的频率为 500 Hz 问 1 一静止听者在机车前和机车后所听到的声波的频率各为多少 2 设在另一列火车上有一乘客 当该列车以 1 10m s 的速度驶近和驶离第一列火 车时 乘客听到的声波的频率各为多少 已知声波在静止空气中的速度为 1 340m s 解 1 声波相对于空气以 s v运动 观察者不动 听者在机车前 Hz vv v s 531 20340 340 500 听者在机车后 Hz vv v s 472 20340 340 500 2 声源与观察者都相对于空气运动 声源速度为 1 20 smvs 观察者速度 为 1 0 10 smv 两车驶近时 Hz vv vv s 547 20340 10340 500 0 两车远离时 Hz vv vv s 458 20340 10340 500 0 54 习习习习 题题题题 8 8 1若一打足气的自行车内胎在7 0 C o 时轮胎中空气压强为 5 4 0 10 Pa 则 在温度变为37 0 C o 时 轮胎内空气压强为多少 设内胎容积不变 解 由nRTpV 可知 当15 3100 3715 273 2 Tk 轮胎内空气压强为 PaTpTp 5 1122 1043 4 8 2 氧气瓶的容积为 23 3 2 10 m 其中氧气的压强为 7 1 3 10 Pa 氧气厂规 定压强降到 6 1 0 10 Pa 时 就应重新充气 以免经常洗瓶 某小型吹玻璃车间平 均每天用去 3 0 40m在 5 1 01 10 Pa 压强下的氧气 问一瓶氧气能用多少天 设 使用过程中温度不变 解 由RT M PV 得气体质量的计算公式 RT PV M 按题意V T不变 压力为 1 P和 2 P时分别对应的氧气质量为 RT VP M 1 1 RT VP M 2 2 即氧气瓶中可供使用的氧气质量为 2121 PP RT V MMM 每天使用的氧气质量为 RT VP M 则一瓶氧气可使用的天數为 5 9 10013 1400 10 1001300 32 5 4 21 PV PPV M M N天 8 3在湖面下50 0m深处 温度为4 0 C o 有一个体积为 53 1 0 10 m 的空气 泡升到湖面上来 若湖面的温度为17 0 C o 求气泡到达湖面的体积 取大气压为 5 0 1 013 10 Pap 解 由 2 22 1 11 T VP T VP 可得空气泡到达达湖面时体积为 1 12 21 2 V TP TP V 55 由题意知 84 584 41 10013 1 508 91000 1 5 01 ghPP atm 代入上式 得 3 2 1 6110 4273 17273 84 5 cmV 8 4如图所示 一定量的空气开始时在状态为A 压力为2atm 体积为 l 2 沿直线AB变化到状态B后 压力变为1 atm 体积变为l 3 求在此过程中气 体所作的功 解 理想气体作功的表达式为 dVVpW 功的数值就等于p V P atm 图中过程曲线下所对应的面积 注意到 2 A 1 atm 5 1 013 10 Pa 33 11 10lm 1 B 有 2 1 10150 2 ABCD WSBCADJ O 1 2 3 V l 题题题题 8 4 8 5 气缸内贮有2 mol的空气 温度为27 0 C o 若维持压力不变 而使空气的 体积膨胀到原来体积的3倍 求空气膨胀所作的功 解 由物态方程 11 nRTpV 气缸内气体的压强 11 V nRTp 则作功为 JnRTVVVnRTVVpW 3 1112112 1097 92 8 6一定质量的空气 吸收了410 cal的热量 并在1 atm下体积从10升膨 胀到15升 问空气对外作了多少功 它的内能改变了多少 解 热由热力学第一定律 WEQ 可知该空气等压膨胀 对外作功为 JVVpW 2 12 100 5 内能改变为 JWQE 3 1021 1 8 7 1 mol的空气由热源吸收热量 4 6 36 10 cal 内能增加 5 4 18 10 J 问 是 它对外作功 还是外界对它作功 作了多少功 解 由热力学第一定律得气体所作的功为 JEQW 5 1052 1 负号表示外界对气体作功 8 8 100g的水蒸汽自120 C o 升至140 C o 1 在等容过程中 2 在等压过 程中 各吸收了多少热量 解 水蒸气为三原子分子 其自由度 6 i R i CV 2 R i Cp 2 2 1 等容过程 JTTnCQ VV 3 12 1077 2 56 2 等压过程 JTTnCQ pp 3 12 1069 3 8 9 如图所示 系统从状态A沿ABC变化到状态C过程中 外界326J的 热量传递给系统 同时系统对外作功126J 如果系统从状态C沿另一曲线CA回 到状态A 外界对系统作功52 J 则此过程中系统是吸热还是放热 传递多少热 量 解 系统经ABC过程所吸收的热量及对外所作的功分别为 JQABC326 JWABC126 由热力学第一定律可得由A到C过程中系统内能的增量 JWQQE ABCABCCAAC 200 从C到A 系统吸收的热量为 JWEQ CACACA 252 上式中负号表示系统向外界放热252J 这里要说明的是由于CA是一末知过 程 上述求出的放热是过程的总效果 而支其中每一个微小过程来讲并不一定都 是放热 p p atm B C A D C A E B O V l O 1 2 3 4 V l 题题题题 8 9 图图图图 题题题题 8 10 图图图图 8 10 如图所示 一定量的理想气体经历ACB过程吸热200 J 则经历ACBDA 过程时吸热又为多少 解 由图中数据有 BBAA VpVp 则A B两状态温度相同 故ABC过程内 能变化0 ABC E 由热力学第一定律得系统对外界作功 JQEQW ABCABCABCABC 200 在等体过程BD及等压过程DA中气体作功分别为 0pdVWBD JVVppdVW DAADA 1200 则在循环过程ACBDA中系统吸热为 1000 ACDBDDA QWWWWJ 负号表示在此过程中 热量传递的总效果为放热 8 11 2mol理想气体的体积在300K的温度下从 33 4 10 m 等温压缩到 33 1 10 m 求在此过程中气体作的功和吸收的热量 4 3 2 1 57 解 等温过程 0 E 由热力学第一定律知 TT WQ 其所作的功和吸收的热量为 J V V nRTQW TT 3 1 2 1091 6ln p atm 8 12 如图所示 使1摩尔的氧气 1 由a等温地变到b 2 由a等容地变到c 2 a 变b 再由c等压地变到b 试分别计算所 作的功和吸收的热量 1 c b O 22 4 44 8 V l 题题题题 8 12 图图图图 解 1 等温过程 0 E J V V VpQW a b ababab 2 105 31ln 2 等容过程 0 ac W 2 56 4 10 22 accaca ii QnR TTnRTnRTJ 3 等压过程 JVVpW cbccb 2 107 22 JVpVp i TT i nQ ccbbcbcb 2 104 79 2 2 2 2 JQQQ cbacacb 2 107 22 JWW cbabc 2 107 22 8 13一定量的的氮气 温度为27 C o 压力为1 atm 今将其绝热压缩 使体 积变为原来的1 5求压缩后的压力和温度 解 由绝热方程 2211 VpVp 得氮气绝热压缩的压强为 atmp V V p51 95 4 1 1 2 1 2 又由 1 21 1 1 VTV 得 kT V V T571 1 1 2 1 2 8 14 试证明1 mol理想气体在绝热过程中所作的功为 12 1 R TT A 证 2 11 1 1 VV VV pV WpdVdV V 58 2 2 1 1 1 1 11 1 1 1221 1 1 11 V V V V pVVdVpVV pVpVR TT 8 15 0 32 kg的氧气作如图所示的循环 设 12 2VV 求循环效率 p p a 等 温 等 b a 容 绝 d 热 c c b O 1 V 2 V V O 1 V 2 V V 题题题题 8 15 图图图图 题题题题 8 16 图图图图 解 121212 3 1221 ln ln ln 5 76 10 ABCD WWWnRTVVnRTV V nR TTVVJ 4 12112 ln 3 81 10 ABDAABDA V QQQWE nRTVVnCTTJ 由此得到该循环的效率为 15 QW 8 17一卡诺热机的低温热源温度为7 C o 效率为40 若要将其效率提高到 50 求高温热源温度提高多少度 解 由卡诺热机效率 2 1 1 T T 得高温热源温度 2 1 1 T T 同理 新高温热源温度是 2 1 1 T T 所以 高温热源温度提高量为 112 11 99 4 11 TTTTK 8 18 如图所示为理想的狄赛尔 Diesel 内燃机循环过程 它由两绝热线 ab cd 一等压线 bc 及一等容线 da 组成 试证明此热机的效率为 KT300 1 KT200 2 59 32 1 3 12 2 1 1 1 VV V V V V 证证证证 因为 bc QQ 吸 da QQ 放 由 1 111 bc ad bcp adV bc da TT TT TTnC TTnC Q Q Q Q 吸 放 其中 2 1 V V T T b c 1 2 1 V V T T a b 1 3 1 1 VTVT cd Q 解上各式 可证得 32 1 3 12 2 1 1 1 VV V V V V p p b c d p d d c p c a a p a O 2 V 3 V 1 V V O c V b V V 题题题题 8 18 图图图图 题题题题 8 19 图图图图 8 19 汽油机可近似地看成如图所示的理想循环 这个循环也叫做奥托 Otto 循环 其中de和cb是绝热过程 1 证明此热机的效率为 cd be TT TT 1 式中 b T c T d T和 e T分别为状态b c d和e的温度 2 利用 CTV 1 上述效率公式可写成 1 1 bc VV 解 求证方法与上题相似 1 该循环仅在CD过程中吸热 EB过程中放热 则热机效率为 CD BE CDV BEV CD EB TT TT TTnC TTnC Q Q 1 11 2 在过程BC和DE中 分别分别应用绝热方程 CVT 1 有 11 CCBB VTVT 11 CDBE VTVT 由此两式可得 60 1 B C CD BE V V TT TT 将此结果代入 1 中 即可得 1 1 BC VV 得证 习题习题习题习题 9 9 1 已知分布概率 d dd dx yx yxy x y 其中0 xa 0yb a 问反射光中哪种波长的可见光得到加强 解 因 321 nnn 故薄膜上下面面反射光都不发生半波损失 又0 i 所以反射光程差 kdn 2 2为加强 即 k dn22 当k 1 2 3时 o A 3 1 102 11 属于红外区 o A 3 2 106 5 属于黄光 o A 3 3 107 3 属于紫外区 10 10折射率52 1 3 n的照相机镜头表面涂有一层折射率38 1 2 n的 2 MgF 增透膜 若此膜仅适用于波长nm550 的光 则此膜的最小厚度为多少 解 因干涉的互补性 波长为550nm的光在透射中得到加强 则反射中一 定减弱 两反射光的光程差dn2 2 2 因干涉相消条件 2 12 2 k得 2 4 12 n kd 取k 0 则nmd3 99 min 10 11一单缝宽度ma 4 100 1 透镜的焦距为mf5 0 若分别用 nm400 1 和nm760 2 的单色光垂直入射 问它们的中央明纹宽度各为多少 解 对nm400 1 m a f l 3 101 104 2 对nm760 2 m a f l 3 202 106 7 2 10 12一单色光垂直照射于一单缝 若其第三级明纹位置正好和600 nm的 68 单色光的第二级明纹位置一样 求前一种单色光的波长 解 因为衍射角与波长成正比 当两波长的衍射角相等时 明纹位置一样 即 2 5 2 12 sin 2 ka 2 7 2 12 sin 3 ka 由 32 sinsin 可得 nm6 428 7 5 10 13已知单缝宽度ma 4 100 1 透镜焦距mf5 0 用nm400 1 和 nm760 2 的单平行色光分别垂直照射 求这两种光的第一级明纹离中心的距离 以及这两条明纹之间的距离 若用每厘米刻有1000条刻线的光栅代替这个单缝 则这两种单色光的第一级明纹分别距屏中心多远 这两条明纹之间的距离又是 多少 解 1 单缝 明纹位置 f a kfftgx 2 12 sin 对nm400 1 mmf a x3 2 3 1 1 对nm760 2 mmf a x7 5 2 3 2 2 所以 mmxxx7 2 12 2 光棚 明纹位置 f ba k fftgx sin 对nm400 1 cmf ba x2 1 1 对nm760 2 cmf ba x8 3 2 2 所以 cmxxx8 1 12 10 14 在双缝干涉实验中 两缝的间距为0 3mm 当用平行单色光照射双缝 时 正负第5级暗纹的间距为22 78mm 已知屏幕到双缝的距离是1 20m 求入 射光波长 它是什么颜色的光 解法一 在双缝干涉中 屏上暗纹位置 21 2 k D xk d 因此 正负第5级暗 纹的之间的距离 55 119 2 D sxx d 所以 569 5 10 sd nm D 注意 5 2sx 69 解法二 因双缝干涉的明 或暗 条纹是等距的 相邻暗纹的间距 d D x 注意到正负第5级暗纹之间所包含的相邻条纹间隔数为10 故 10 s x 所以 569 5 10 xsd dnm DD 黄光 10 15一双缝装置的一个缝被折射率为1 40的薄玻璃片所遮盖 另一个缝被 折射率为1 70的薄玻璃片所遮盖 在玻璃片插入以后 屏上原来的中央极大所在 点现在为第五级明纹 假定nm480 且两玻璃片厚度为d 求d 解 插入介质前的光程差 1211 krr 插入介质后的光程差 222112 11krdnrdn