收益率即期利率与远期利率.docx

5 收益率、即期利率与远期利率平常说的债券收益率，在实际应用中存在多种多样的衡量标准及计算方法，且有不同的应用范围。本章的主要内容就是对不同收益率的含义及衡量方法加以介绍，并对经常使用的即期利率和远期利率问题进行讨论。虽然在很多文献中，收益率和利率常常被作为同义词换用，但本质上，二者是有区别的。收益率，是一定的现金流收入，如债券的息票收入、收回的本金等，相对于一定的投资或成本，如债券的买入价或市场价格，在扣除了投资成本后的利润与投资额间的比率。尽管计算方法多种多样，但基本的含义是不变的。而利率，更多的是决定固定收益工具利息额的比率，通常是与工具的面值或约定金额之间的比率，如定期存款利率、债券的息票利率等。只要想一想如果债券溢价发行，其收益率就会低于债券的息票利率，反之则高于息票利率的情况，二者间的区别应当容易理解。5.1 收益来源债券的收益来源，主要有三个方面，一是债券的息票收入，二是债券的价差收入，即买卖价差所产生的收入，三是再投资收入，即将所获得的现金流再次投资时产生的收入。除了零息债券在持有期内没有息票收入外，附息票债券都定期产生息票收入。不过，有些债券的息票收入可能会按约定递延支付，如递延息票债券等。债券的价差收入，亦称资本利得（Capital Gain）或损失（Loss）。如果买进价格低于卖出价格，投资者获得资本收益，反之将蒙受资本损失。对于嵌有赎回权的债券，债券也可能不是因为出售而招致资本收益或损失，而是源于债券被赎回。至于具体是损失或收益，取决于债券的买价是高于还是低于债券的赎回价格。无论怎样，可以看到一点，那就是有赎回权的债券，会面临更大的资本性风险。再投资收益，对不同的债券也存在很大差异。零息债券在整个寿命期间没有利息和本金的回流，也就不存在任何再投资的机会和收益。而对抵押担保债券和资产担保债券，则可能在寿命期内既有本金也有利息的偿付，从而面临更多的再投资机会或风险。举例来看，假定某面值为1000美元的5年期债券目前市场价格为957.35美元，息票利率为5%，且满足市场要求收益率为6%，则其三部分收入分别为：债券到期时的总值应当为：957.35（1.03）101286.60显然，上述第一、二项加债券目前市场价格之和不等于应得的总值，还差36.60美元，这部分差异，就源于息票收入的再投资，如下表：表7-1 债券息票收入的再投资利息收入图表 51 债券息票收入的再投资利息收入5.2 期限5.3 可再投资时间5.4 息票收入5.5 利息19257.62 28256.67 37255.75 46254.85 55253.98 64253.14 73252.32 82251.52 91250.75 100250.00 总再投资利息收入36.60 当我们加上表中的利息收入后，就得到下面的等式：（7-5-1）可见债券投资的总收入与息票利率、购买价格及再投资收益率等密切相关。对不同债券来说，这三者受利率变化及市场供求等的影响各不相同，这也是债券价差存在的重要原因。5.6 收益的传统计量法5.6.1 当期收益率当期收益率（Current Yield）是指债券的年息票收入与其当前价格之比，即：（7-5-2）例如，某债券的息票利率为6%，面值为1000美元，当前的市场价格为956.87美元，则债券的当期收益率为：显然，当期收益率的高低取决于债券的息票利率和当前价格。越是折价出售的债券，如果息票利率相同，其当期收益率越高。这一指标的优越之处在于，非常容易使用，且能表示出粗略地表示当前债券投资的息票收入高低。但其缺陷也是很明显的，最主要的不足之处就在于：只考虑了债券的息票收入而没有考虑债券的其它收入，如资本利得和再投资收益；而且也没能包含债券期限和收到利息的时间等信息。例如，某只期限很长的折价销售的债券，其当期收益率可能远高于一只期限较短的债券，但并不意味着前者在投资上一定优于后者。5.6.2 到期收益率鉴于当期收益率上述缺陷，另一种收益计算方法，假定了债券的再投资收益率等于债券自身的收益率，并设存在一假定这一收益率使债券未来的现金流的贴现值与债券当前的市场价格相等，这一利率就是债券的到期收益率（Yield to Maturity, YTM），即假定按当前价格买进债券并一直持有到期，且并假定债券的收益率与再投资收益率相等且在未来保持不变条件下，且能使债券未来现金流的贴现值等于债券当前现值时的收益率。用公式来表示，即：（7-5-3）上面的公式是假定债券的息票收入是每半年结算一次，这是因为债券市场上通常使用债券相当收益（Bond-Equivalent Yield）惯例，这一惯例的特点是在换算半年期收益率和一年期收益率时是将半年期收益率乘以2，而不是用实际利率方式计算复利。用上述公式计算债券的收益率，也是为了使所计算的收益率在整个市场上具有可比性。要特别说明一点的是，这一惯例虽然在理论上有缺陷，但只要能正确的理解和运用它，惯例本身并不是问题。所说的正确理解与掌握，最根本的一点就是，债券相当收益中的年收益率与半年收益率间的倍数关系。比如，在比较按年付息的债券和半年付息的债券时，就应该按下面的公式进行比较：（7-5-4）同样，如果我们知道债券相当收益率，要将其转换为按年付息债券的实际收益率时，其公式将变换为：（7-5-5）举例来讲，如某债券是每年付息一次，目前的年实际收益率为5%，则其债券相当收益率为：如果5%的收益率本身为债券相当收益率，要换算成为按年付息债券的实际收益率，则为：（7-5-6）通过上述比较，可以看到惯例本身并无好坏，只是约定俗成的习惯。重要的是在使用过程中，分清楚所用的收益率是哪种含义的收益率。到期收益率虽然可以将三种收入来源都包含在内，但正如其定义中指出的，有着自身不可克服的缺陷，那就是：一再投资收益率等于债券本身的收益率，二是债券持有期内的收入进行再投资时，会一直持续投资到债券到期，三是债券会一直持有到期。这三个假定是计算债券到期收益率的基础，但显然，这三个假定都很不现实。在计算到期收益率时，一般采用迭代算法，即通过试取一收益率计算债券现金流的现值，如果现值高于债券的价格，则所用的收益率太低，否则就太高。通过多次、反复地调整，就可以找到一个收益率，使得债券的现金流贴现值等于债券的价格，这个值就是债券的到期收益率。在用Excel计算时，可以用单变量求解的方式。下表是一个用迭代方法计算到期收益率的例，某息票利率5%、5年期债券的市场价格为962.56美元，因为债券价格低于面值，所以到期收益率一定高于息票利率5%，所以先试了6%，发现太高；再试5.5%，太低；再试二者之间的5.75%，太低；再试5.75%与6.0%之间的5.875%，刚好相等，则5.875%就是债券的到期收益率。表7-2 试算法求债券到期收益率图表 52 试算法求债券到期收益率期限现金流试算收益率6.000%5.500%5.750%5.875%12524.2724.3324.3024.2922523.5623.6823.6223.5932522.8823.0522.9622.9242522.2122.4322.3222.2752521.5721.8321.7021.6362520.9421.2421.0921.0172520.3320.6820.5020.4182519.7420.1219.9319.8392519.1619.5819.3719.27101025762.70781.46772.01767.34债券价值957.35978.40967.81962.565.6.3 赎回收益率对于嵌有赎回权的债券，由于存在被提前赎回的可能性，如果再以到期收益率作为衡量其收益的指标显然存在不足，特别是当市场利率下降，债券被赎回的可能性增大时，就更不恰当。这时，就应当用赎回收益率（Yield to Call, YTC）来衡量。赎回收益，是指债券按约定的赎回价格和赎回时间赎回时的收益。有些债券可能有多个赎回时间甚至多个赎回价格，在特定条件下，可选择按某个时间或价格执行。用得较多的赎回收益率，是首次赎回收益率（Yield to First Call）和首次面值赎回收益率（Yield to First Par Call）。前者是针对债券有多个赎回时间时，以首次赎回为基础计算的收益率。对已经经过一次或几次赎回日的债券，下次赎回收益（Yield to Next Call）可能更好地表达债券的收益。而后一个首次面值赎回收益率，则是指首次按面值赎回债券时的收益率。与计算到期收益率相同之处是，都假定债券持有期内的收益率保持不变，且债券的收益率等于债券收入的再投资收益率。不同之处是假定债券持有期以被赎回时为止，且债券的到期价格为赎回价格，即可能不等于面值。有了这样的比较，现举例予以说明：设SHSZ公司的5%、10年期债券，目前的价格为1005.85美元，债券的首次赎回日为3年后的今天，赎回价格为1010美元。与前面计算到期收益率的方式相同，也可以用迭代的方法计算赎回收益率，或用Excel的单变量求解法。下表是用Excel单变量法解的。在使用单变量求解时，债券价格为目标值（目标单元格），赎回收益率为变量格，正确的输入公式后，即可以很快求出需要的值来。表7-3 赎回收益率的单变量求解图表 53赎回收益率的单变量求解期限现金流试算收益率5.100%125 24.38 225 23.77 325 23.18 425 22.60 525 22.04 61035 889.87 债券价值 1,005.85 债券的赎回收益率计算中，也是假定了投资者会持有债券直到债券被赎回、同时还假定了发行人会在赎回日赎回债券，这些假设也不一定合理。所以，在计算可赎回债券的收益率时，经常是如果债券的价格高于面值（高于赎回价格，有时），市场利率低于息票利率，债券被赎回的可能性增大，这时一般用赎回收益率替代到期收益率；否则直接计算到期收益率。5.6.4 回售收益率与赎回收益率相对应，对嵌有回售权的债券，也可以假定债券会被卖回给发行人，且债券在回售前的收益率与其再投资收益率相等时，计算出债券的回售收益率（Yield to Put）。与上面赎回收益率计算的唯一区别是赎回价与回售价的不同。5.6.5 最低收益率所谓最低收益率（Yield to Worst）是指在债券的所有可能收益率中最低的一个，比如按某债券的赎回规划（Call Schedule），共有5个赎回日并对应着不同的赎回价格。分别计算出这5个赎回收益率及债券的到期收益率分别如下：5%、5.5%、5.6%、5.2%、5.4%及6.1%，则该债券的最低收益率为5%。由于赎回权是由发行方持有的期权权利，通常情况下，发行方会选择对自己最有利的时机赎回债券。而对发行方最有利的时候，也意味着对持有人的收益可能是最低。因此，当债券同时面临多个赎回时机时，常常需要用最低赎回收益率“代表”债券的实际收益率。5.6.6 现金流收益率对于存在提前清偿风险的债券，如抵押担保债券和资产担保债券，因为背后的担保资产存在提前清偿的可能，债券也可能被提前偿还。其提前偿还的具体时间不能确定、提前偿还的数量也不确定。用到期收益率衡量其收益显然不对，因为债券并不一定会持有到期；用赎回收益率仍然不对，因为这类债券没有一个既定的赎回规划，没有赎回价格也没有确切的赎回时间。这时，理论就假定其提前偿还的速度，包括本金和利息的偿还速度是既定的，有一个平均提前偿还速度（Prepayment Rate/Speed），现金流收益率（Cash Flow Yield）就是能将预期的提前偿还现金流（包括本金和利息）贴现为债券当前市场价格的收益率。在具体计算现金流收益率时，有一点需要特别注意的，那就是资产担保债券和抵押担保债券通常是按月支付利息和本金的，要使现金流收益率与其它债券的收益率具有可比性，必须将其转化为债券相当收益率。具体公式为：（7-5-6）和前面讨论过的债券相当收益率与年收益率间的关系一样，上面的算法也是债券市场上的惯例。举例来讲，某抵押担保债券的月现金流收益率为0.7%，则其债券相当收益率为：现金流收益率也有明显的不足，主要表现在：一是假定债券的提前偿还速度保持不变，即每个月的现金收益率相等；二是假定了再投资收益率等于债券的现金收益率，这一点对于既还本又还息的抵押担保债券和资产担保债券尤为重要，因为这一假定的成立与否对再投资风险较大的此类债券，将很大程度上决定债券的实际收益。5.6.7 浮动利率债券收益差的衡量对于浮动利率债券，由于其利率是未知的，债券未来的现金流也就无法确定，要计算债券的到期收益率也就不可能。市场上常用的办法就是衡量浮动利率债券的收益差，即浮动利率公式中债券利率与基准利率间的差额部分，并以此表示债券的收益率。要计算与基准利率间的利率差，原理上必须首先假定基准利率是固定不变的，再通过调整利率差，那个能将未来现金流贴现成债券当前价格的利率差，就是债券收益率与基准利率间的收益差。市场上有多种多样的计算方法，如简单利差（Simple Margin），调整总利差（Adjusted Total Margin）及调整简单利差（Adjusted Simple Margin）等。最常用的是贴现利差（Discount Margin），计算方法如下例：某面值1000美元5年期债券，其利率计算公式为LIBOR+50基点，当前市场价格为986.95美元，其贴现利差的计算如下表：表7-4 浮动利率债券贴现利差的计算图表 54 浮动利率债券贴现利差的计算期限现金流LIBOR试算收益差（基点）50 100.00 75.00 87.50 81.25 132.56.00% 31.48 31.40 31.44 31.42 31.43 232.56.00% 30.49 30.34 30.41 30.38 30.39 332.56.00% 29.53 29.31 29.42 29.37 29.39 432.56.00% 28.60 28.32 28.46 28.39 28.42 532.56.00% 27.70 27.36 27.53 27.45 27.49 632.56.00% 26.83 26.44 26.63 26.53 26.58 732.56.00% 25.98 25.54 25.76 25.65 25.71 832.56.00% 25.16 24.68 24.92 24.80 24.86 932.56.00% 24.37 23.85 24.11 23.98 24.04 101032.56.00% 749.88 731.96 740.86 736.39 738.62 债券价值 1,000.0 979.21 989.54 984.36 986.94 具体的计算过程为：一是假定当前的LIBOR6不变，则每期的现金流应为1000（6+0.5）/232.5美元，当假定的收益差与债券的息票利率相等时，可以得到债券的价值为其面值，即1000美元。由于债券当前的市场价格低于面值，所以应假设高于50个基点的情况计算债券的价值。通过100，75，87.5及81.25个基点的试算，可以得到当利率差为81.25个基点时，非常接近债券当前的市值，也可直接使用Excel 的单变量求解法进行计算。这样，浮动债券的贴现利差，就为81.25个基点。用这一指标衡量浮动债券的收益率显然存在不足：一是基准利率不变，二是收益差不变，三是对有帽子利率或保底利率的浮动债券，这一方法不适用。对第一项不足，如果基准利率的波动呈正态分布，或在整个适合期内具有某个平均利率，且所假定的不变利率刚好等于这一平均利率时，可以得到在一定程度上的加以克服。收益差不变这一假定与到期利率等指标的假定是一致的，在理解上不存在新的困难。5.6.8 美国短期国债的收益率美国的短期国债都是零息债券，期限为1年或1年以下。作为零息债券，其价格通常以1美元的百分比来表示，如债券的价格为98.25，意思是按面值的98.25%出售。这类债券的利率，常用折扣收益率（Yield on Discount Basis）表示：（7-5-7）为了说明折扣收益率的计算，举一例：设报价日为7月18日，下一个交割日为7月21日，一债券将于同年的11月25日到期，债券今天的价格为98.66。要计算债券的折扣收益率，首先要算出债券从交割日至到期日的天数，从7月24日开始，到11月25日总共为124天，则该债券的折扣收益率为：注意上述收益率是以折扣为基础的，这不同于附息票债券的收益率。同时，上述公式使用的时间为一年360天，这是美国短期国债报价和计算折扣收益率时的惯例；而美国长期国债的收益率计算中使用的可能365天一年，在具体使用时一定要清楚加以区分。在美国财政部的网页上，可以看到其公布的短期债券收益率包括两个数字，一个是折扣收益率，一个是投资收益率，例如在美国财政部公布的短期国债拍卖结果中，就可以看到两种利率：表7-5 美国短期国债近期拍卖结果 /AI/OFBills图表 55 美国短期国债近期拍卖结果 /AI/OFBills期限发行日期到期时间存续天数价格折扣收益率投资收益率28-DAY03-24-200504-21-20052899.792.700%2.743%91-DAY03-24-200506-23-20059199.29222.800%2.859%182-DAY03-24-200509-22-200518298.46563.035%3.125%7-DAY03-08-200503-15-2005799.95202.465%2.500%其中，折扣收益率的计算采用的就是前面介绍的方法。例如91天债券的折扣收益率，就等于（1-99.2922）（360/91）2.80。注意，表中两种收益率的计算时，无论是在时间，还是在计算收益率所使用的价值基础都不同。在时间上，折扣收益率是按1年360天计算、而投资收益率则按1年365天计算；计算收益率是时，折扣收益率是以债券的面值为基础计算的，而投资收益率则是以投资额或债券的市场价格为基础的。另外，表中的投资收益率，则指的是债券相当收益率。对于如何将折扣收益率转换成债券相当收益率，Suresh M. Sundaresan将其区分为两种情况：按债券的交割日至到期日间的时间大于或小于182天，分别提出两个不同的公式 Suresh M. Sundaresan, Fixed Income Markets and Their Derivatives, 2nd ed. 北京大学出版社，2003年第一版，第131页。，当Dsm小于或等于182天时，公式为： （7-5-9）按这一公式，前面例中债券的债券相当收益率应为3.9979，如果将这种方式计算的债券相当收益率转换成年实际收益率，则为（1+3.9979/2）2-14.0379当从交割日至到期日的时间长于182天时，债券相当收益率的计算公式是： （7-5-10）这一公式背后有一个基本假定，认为即使对零息票债券，在半年时也会按债券相当收益率一半的收益率产生收益，而且这部分收益在剩下的时间里还会产生相应的再投资收益。这一假定虽然与零息票债券的事实不符，但与附息票的其它债券的债券相当收益率的计算惯例、以及债券的到期收益率计算中，所假定债券的、再投资收益率与到期收益率相等是一致的。而债券相当收益率本身就是一个便于不同债券间相互比较的惯例算法，而市场在惯例与精确之间，显然是选择了惯例，即为了选择了更好地与其它债券的收益率进行比较。这一上述假定用公式表示就是：（7-5-11）例如，假定当前的交割日为2003年4月18日，到期日为2004年4月9日的短期美国国债的要价折扣率为5，则债券的价格应为（这里2004年是闰年，一年为357天）：根据前面的公式，可以计算出，债券相当收益率为：可见，计算出来的债券相当收益率要高于折扣率。对于附息票的短期国债，其累积利息的计算公式是： （7-5-12）要将息票利率转化为债券相当年收益率，其公式则是：（7-5-13）设现在的交割日为2004年11月1日，息票利率为5、到期日为2005年3月15日的美国短期国债的净价为100-28美元，即 rc=5%, DNCD-SD=134天， DSD-LCD=47天。则债券的发票价格应为100+（28/32）+5/210047/181根据前面的公式，可以计算出该债券的到期收益率为：5.7 美国国债收益率与收益曲线美国国债是世界发行量最大和影响最广的债券，其主要品种包括3个月、6个月及1年期的短期债券；2、5及10年期的中期债券和30年期的长期债券，和防通胀债券等。通过大量的柜外市场交易，美国国债的市场收益率已经成为世界金融市场上计算其它相关金融工具收益的重要基础和参照，这也是为什么在分析其它债券之前必须讨论美国国债收益率的原因。5.7.1 美国国债的收益曲线美国的国债收益曲线是以COB对新发国债的出价为基础计算到期收益率，并以准三次厄密样条函数（Quasi-Cubic Hermite Spline Function）插值的方法完成的。由于新发国债常常以接近面值的价格交易，因此以这些债券收益率为节点，用上述方法插值得到的收益曲线，亦常称为平价曲线（Par Curve）。如果某一时段对拟合曲线非常必要却没有相应的新发债券时，美国财政部也有权以其它债券进行补充，通常是以非新发债券替代，比如以离到期时间还有7年的10年期债券替代7年期债券，以及对20年期及以上的债券，则使用的集合利率。根据美国财政部2001年7月31日公布的新发行债券的拍卖利率，可以得到图5-1的收益曲线，其中的原始数据如表5-1。在表中，只有有限的数据，难以划出一个较为连续的收益曲线，一般的方法是采用线性插补法（Linear Interpolation），假定两点之间的缺失点与两端的点呈直线，并与时间成正比，根据下面的公式就可以算出其它年份的数据： （5-1）图表 56 2005年3月15日美国新发国债拍卖利率美国国债拍卖利率年投资利率%期限7天2.528天3.5950天4.953月3.486月3.381年4.242年 3.97 5年4.6610年5.18930年5.46图表 57 2001年7月31日美国国债收益曲线 资料来源：/AI/OFNtebnd，其中包含有28天和50天两种短期现金管理债券。这一收益曲线表明，当时美国国债的收益率在短期曾经出现过3个月利率高于半年期利率，1年期利率高于2年期利率的情况。但总的趋势是向上倾斜的，即市场预期将来的利率或高于现期利率，这是收益曲线的经常状态。但也可能出现向下倾斜的收益曲线，即期限越长的债券，收益率反而低于期限短的债券，这种“反常”的收益曲线被称为反转收益曲线（Inverted Yield Curve），1989年3月就出现过这种情况。另一种较少出现的情况是水平收益曲线，即长期和短期债券的收益没有明显差异，收益曲线呈水平，1989年12月28日就出现过这种情形。注意，收益曲线中大部分的点都是通过线性插补的方法得出的，所以在谈到收益曲线时，应当清楚，曲线本身只是一种近似，并不完全是实际国债收益率。要特别注意的是，国债的收益曲线是以新发证券（On-the-Run）为基础来绘制的，这只能代表某一个时点上，新发行国债的拍卖利率，与当前市场上那些非新发证券相比，可能有较大的差异。这是因为，即使期限与新发证券相似的其它国债，因为息票利率的不同而具有不同的再投资风险。息票利率的差异也使债券可能有不同的久期，并对市场利率的变化有不同的敏感性。另外，由于新发国债有较好的流动性，且便于一些投资者利用回购、债券质押贷款等方式融资参与投资，这种投资方式或使新发债券的实际收益率高于其名义收益率或拍卖利率。前期发行的债券，由于流动性和收益性的改变，其当前的收益率可能与新发债券当前的收益率存在较大差异。二者进行比较，新发债券较高的流动性、期限更接近于特定期限（如10年）等更能代表当前市场对未来市场利率的预期。所以，一般使用新发债券为基础绘制收益曲线。5.8 理论即期利率理论即期利率（Theoretical Spot Rate）是以市场上国债的收益率为基础，从理论上推导出的无风险国债收益率。虽然从理论上似乎直接使用各不同期限的零息债券（包括剥离债券）收益率就可以绘制出实际的即期收益率曲线。但由于零息债券的流动性通常不如附息票债券，零息债券的收益率中包含了流动性风险的溢价，而市场上需要使用即期利率作价值分析的，更多的属于附息票债券；二是零息债券与附息债券在税处理上不同，零息债券在持有期内，即使没有实际的现金流入，但所获得的利息税仍然必须当期缴纳，从而存在负的现金流，附息债券没有这一问题；三是存在一些美国国外的投资者，因为在税的处理上的不同，比如对剥离债券中的本金部分课以较低税率，而对息票部分则课以较高的税率等。如果直接用剥离债券（零息债券）的实际收益率作为理论即期利率，则所有上述因素都必须加以考虑。鉴于这些原因，实际工具中，还是用附息债券推导理论即期利率，最常用的推导方法包括剥离法（Bootstrapping）、样条函数法（Spline）及久期法（Duration Method）等。5.8.1 剥离法剥离法的出发点有两个，一是以新发国债的收益率为基础，因为新发国债既不存在信用风险，也没有流动性风险，且是通过拍卖形式发行，新发国债的收益率代表了市场的公平价。这一出发点目前也受到一些怀疑，原因是有些投资者可以利用回购等融通资金，加之不同投资者在税收方面的差异，从而使市场表现出来的收益率也不一定能真实反映市场收益率。尽管有这方面的怀疑，这仍然是目前使用最普遍的方法之一。另一种思路是使用新发债券的面值收益曲线（Par Yield Curve），即通过调整新发债券的息票利率，并使其等于债券的到期收益率，这时债券的价格也正好等于其面值。以调整后的息票利率为基础，计算出的债券收益率曲线，即面值收益曲线。其中，短期国债，即1年和1年以下的美国国债，因为本身是零息债券，其收益率已经是即期利率，不需要再作调整。计算面值收益率的基本原理，与前一章中无套利定价法一样，即附息票债券的收益应与债券相当的无息债券的收益一致，即不存在利用剥离或重构进行套利的机会。现举例进行说明，设当前美国国债的面值收益率如下表前三栏所示，则相应各期的即期收益率应如下表最后一栏所示：表7-6 美国国债即期利率的计算（剥离法）图表 58美国国债即期利率的计算（剥离法）半年年YTM到期收益率（BEY）%价格即期收益利率（BEY）%10.5 2.50 - 2.5000 21.0 2.60 - 2.6000 31.5 2.75 1000 2.7525 42.0 2.80 1000 2.8030 52.5 2.90 1000 2.9054 63.0 3.00 1000 3.0085 73.5 3.20 1000 3.2177 84.0 3.50 1000 3.5363 94.5 3.80 1000 3.8595 105.0 4.00 1000 4.0761 说明：1、 表中的收益率均为债券相当收益率（BEY）。2、 表中的YTM是面值收益率，即经过调整后债券现金流的收益率等于其面值时的收益率。3、 表中的数字是用Excel电子表格中的单变量求解法计算图7-1 面值收益率即期收益率设债券的息票利率为2.75，面值为1000美元，前半年和1年的即期利率为2.5和2.6，债券当前以面值在市场进行交易。根据这些信息，就可以计算1年半的即期利率。根据前面无套利假定，设1年半时的即期利率为3，则应有下式的成立：（7-5-14）上式的含义是，将债券各期的现金流分别是当期的即期利率贴现，其和应当等于债券的价格，由于这里使用的债券到期收益率与其息票收益率相等（经过调整后的，即面值收益率），所以，各现金流之和应当等于债券的面值。解上述方程，可以求出3等于2.7525%。有了1年半的即期利率，很容易算出第2年，即第4期的即期利率。以此类推，可以求出以后各期的即期利率，这种从已知的即期利率出发，一期一期地向前推进求解的方法，就是剥离的求即期利率方法。这一方法结合了无套利定价和传统现金流贴现法的优点，且综合考虑了金融市场上不同交易策略的影响。用剥离法求出的即期利率与债券本身的到期收益率之间，会有一定的差异。如前面例题中的数据，其到期收益率和到期收益率之间的差异，就图表5-7所示。图表 59 到期收益率与即期收益率5.8.2 样条函数法由于美国的新发债券只有3个月、6个月、1年期短期债券，及2、5、10和30年中长期债券。如果完全用新发债券推导5年以后债券的即期收益率，中间相隔的年限就太长，也可能有较大的误差。为了弥补这一缺陷，有人提出将20年期和25年期的被替代债券的面值收益率加进来。例如美林（Merrill Lynch）证券就使用的实时样条函数法（Real Time Spline）就是针对这一缺陷的。样条函数法最初是由麦卡罗（McCulloch，1975）提出的，其作法是将整段资料分布范围切割成许多小区段，再分别以最小平方误差等计量方法估计各区段函数之参数值。不过为确保整条曲线之连续，在估计时须加上函数及其各阶微分于切点连续等条件。作为首位使用样条函数法的研究者，McCulloch先假设折现因子曲线(discount factor curve)的函数型态为三次多项式，估计出折现因子后再转换为所欲求之收益曲线，因此这种方法又称为多项式配适法（Polynomial Spline），后来，瓦西克和方（Vasicek and Fong，1982）提出折现因子曲线是应是指数递减型态(Exponential Decay)，从而将函数设定为三次式指数函数(Cubic Exponential)，其方法也就被称为指数配适法（Exponential Spline）。他们在使用最小平方误差法分段估计各参数值，并求出收益曲线函数方面是相同的。英国Y还提供专门的软件CUBEDTM以三次样条函数法计算债券的即期收益率，并绘制出即期收益曲线。其中美国财政部公布的每日国债利率使用的就是三次样条函数法 /offices/domestic-finance/debt-management/interest-rate/yield.html。例如，根据2004年9月30日我国1、2、3、5、6、7、8、10年期国债的收益率，在Matlab软件中，用三次样条函数按天插值，可以得到我国国债收益曲线为：图表 510 2004年9月30日我国国债收益曲线图7-2 2004年9月30日我国国债收益曲线目前我国已有一些网站开始提供国债收益曲线等基础数据服务，例如在网址/JrjBond/qzsyl.as 中，提供了国债和企业债券的到期收益率数据。而网址/chinabond/index.jsp中，则提供了国债收益曲线，包括货币市场曲线、交易所收益曲线等多种债券的收益率、收益曲线的样本采集等相关资料。例如2004年10月28日2010年2月1日，中国债券收益率曲线就是以下表中的国债品种为基础计算的：就可查出以下一些曲线的情况：表7-7 2004年10月28日中国债券收益率曲线样本组列表图表 511 2004年10月28日中国债券收益率曲线样本组列表10年2月1日中国债券信息网查询的收益曲线根所上面的数据，绘成的收益曲线图如下图。要说明的是，虽然有些文献中，不严格地将这种直接以附息国债的收益率为基础绘出的曲线称为利率期限结构，但这并不是严格意义上的利率期限结构。因为，利率期限结构指的是零息债券折扣收益率，而不是附息债券的到期收益率。利率期限结构中的利率，是指所计算的期限以前各期的即期利率对以前各期的现金流进行贴现的，而到期收益率则是假定债券持有到期时的整个期限内其收益率不变。二者是有本质区别的，而且常常也不一样。目前中国债券信息网所提供的收益曲线族系，每天提供161条各类收益曲线，分别可以从收益率类型分为到期收益曲线和即期收益率曲线各9条、远期的到期收益率曲线和远期的即期收益率曲线各70条、浮动利率点差收益率曲线3条；按债券品种国债收益率曲线67条、中央银行债收益率曲线2条、政策性金融债收益率曲线24条、商业银行次级债收益率曲线22条、企业债收益率曲线（AAA级）44条、短期融资券收益率曲线2条；按交易场所包括银行间收益率曲线85条、交易所收益率曲线44条、全市场国债收益率曲线22条；按按利率品种包括：固定利率收益率曲线159条、浮动利率收益率曲线3条；按曲线不同的构建方式包括样本数据相对丰富、收益率值比较准确原生曲线7条：银行间固定利率国债收益率曲线、固定(银行间、交易所)、浮动，中央银行债收益率曲线、银行间固定利率政策性金融债收益率曲线：固定、浮动（1y、R07D）；由于市场基础较弱，处于不断探索、完善中的派生曲线154条，分别是即期收益率曲线、远期收益率曲线、企业收益率曲线、商业银行次级债收益率曲线和短期融资券收益率曲线。详细情况如下图表所示：图表 512 中国债券信息网上提供的2004年10月28日的国债收益曲线族系图要说明的是，在使用前面提到的相关指数和参数时，一定要弄清楚相关指数和参数的计算办法、依据和可能涉及的相关假定。例如：价格指数的基期是2001年12月31日。财富指数是按全价计算的、净价指数则是按净价格计算的等；到期收益曲线和即期收益曲线含义不同，都必须仔细加以区分。图7-3 中国债券网上提供的2004年10月28日的国债收益曲线5.8.3 在Excel中利用三次样条函数估计利率期限结构图7-5-3中的国债收益曲线，可以用Excel中的规划求解法，以最小二乘法的原理进行估计。假设债券收益率与债券的到期时间之间呈如下的函数关系：Ya+bx+cx2+dx3由上式可以计算出多个相应时点上的理论收益率Y，当（Y-Y）的平方和值最小的时候，在统计上就表明对收益率的预测误差已经最小。利用Excel中的规划求解工具，可以估计出a、b、c、d四个模型参数。有了这些参数，再在实际值之间，插入相应的理论期限值，就可以绘出债券的利率期限结构图。具体的操作，请同时参考本章相应的Excel文件。相应的步骤是：第一步，将选取的样本债券的收益率在Excel中列表。在本次操作中，由于原一年期债券选取了两只债券，剩余到期期限分别为0.647和1.036年，考虑到第二只在期限上更接近一年，且发行时间在后，所以，只选择了第二只债券作为一年期债券的代表。第二步，将收益率的理论收益率计算公式列入表中，计算出理论估计值Y，并同时将Y-Y，及(Y-Y)2也列入表中，同时计算(Y-Y)2之和。第三步，在规划求解对话框中，以 a、b、c、d四个参数为可变单元格，以(Y-Y)2所在单元格为目标单元格求最小值，就可以估计出a、b、c、d四个参数，在本例中分别为：0.0238、0.0046、-0.00021和0.000003；从而求出收益率的表达式为：Y0.0238+0.0046x-0.00021x2+0.000003x3第四步，以求出的表达式为基础，分别计算从0.5到30年，以年为单位的理论收益率，并以此为基础，绘出期限结构图如下：图表 513 用样条函数计算的收益曲线图7-4 用样条函数计算的收益曲线要说明的是，这个图与中国债券网上的图略有差异，笔者曾试过，如果在规划求解的过程中，不对Excel计算的迭代次数进行调整，当计算有较大的误差，比如离差平方和为0.000055时，得到的曲线就与中国债券网上的图非常相似。由于中国债券网并未详细说明其计算方法，所以无法断言这种相似是不是一种偶然。5.8.4 久期法久期限(duration)最先由Macaulay(1938)提出。依Macaulay duration之定义，久期相同的债券，不论息票利率为何、不论是附息或零息债券，皆视为有着相同“有效”到期期限(“Effective” Maturities) 或“真正”到期期限(“True” Term To Maturities)之债券。从实务应用的角度观之，由于债券市场的交易型态中，久期是买卖报价之重要依据，亦即在流动性与税负等条件皆相同之情况下，市场对一张附息债券与另一张有着相同久期限的零息债券所要求的收益率是相同的。因而可透过此种调整方式，将各附息债券之收益率与其久期之关系描绘出一条久期收益曲线(Yield to Duration)，以此当作零息债券收益曲线之估计值，这就是久期法。5.8.5 零波动利差零波动利差（Zero-Volatility Spread），亦称静态利差（Static Spread），是非国债债券与国债的即期利率曲线之间的利率差，其计算的基础是：以国债的即期利率与一个利差之和对债券的现金流贴现，其贴现总值与债券的市场价格相等，这时的利差称为静态利差。之所以这样称，是因为这一利差不是非国债债券与国债收益率之间在某一点上的利差，而是就整个债券的寿命期而言的利差。而之所以被称为零波动利差，是因为这种计算方法中假定即期收益曲线是不变的，其波动性为零。与前面计算浮动利率债券贴现利差一样，零波动利率也可以用迭代试算的办法，或Excel中单变量求解的方法计算。如用前面一例中的即期利率为基础，计算一5年期7%企业债券，债券当前的市场价格为112.5，同期国债的面值收益率为4.077%，则其结果如下：表7-7 零波动利差的计算图表 514 零波动利差的计算期限 (半年）现金流即期利率BEY%零波动利差（基点）1030202523.46732135334.4657834.4318734.4488234.4403434.442942353.333.8396733.7732233.8064233.7898233.79493353.505333.1734633.075933.1246333.1002533.107724352.804533.0385832.9086332.9735232.9410632.951015352.906732.4837532.3242132.4038632.3640132.376226353.009631.9054831.7176331.8113931.7644731.778857353.218831.1914330.9774931.0842531.0308231.047198353.537330.3004730.0634430.181730.1225130.140649353.860529.3375229.0798729.2083829.1440529.163751010354.077841.7287833.5278837.6172835.5698836.1968债券价值1131.4651121.881126.661124.2671125上表计算的利差中，前四栏是试算法，后一栏是用Excel 中单变量求解计算的。另外，上表中的利差值也是年利差，且也是按债券相当利率计算。名义利差是假定国债的收益曲线为水平线，即某一点的国债收益率等于其它各期的国债收益率。如果即期利率曲线趋于水平，零波动利差与名义利差间的