浙江省衢州市高一数学《等比数列》教案（1）.doc

等比数列教材分析：本节处于必修5第二章的第四节第一课时，是学习完等差数列又一个关于数列的学习，本节中我们将对于等比数列的概念和表示方法，通项公式等系统的学习。学情分析：本节知识是学生学习完等差数列之后，紧接着关于数列的学习，由于对于等差数列的学习，学生基本上掌握了数列的一些基本要素和学习方法，相对于等差数列的学习较为容易一些，其次可引导学生使用类别的方法进行研究和记忆。教学目标：1.掌握等比数列的概念和表示方法 2.熟练等比数列的通项公式和一般运算 3.掌握等比数列的简单应用教学重点、难点：等比数列的定义和通项公式；等比数列与指数函数的关系教学过程：现实生活中的一类特殊数列细胞分裂个数可以组成下面的数列：1，2，4，8，我国古代学者提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，得到的数列是1，1/2，1/4，1/8，一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播；如果把病毒制造者发送的病毒称为第一轮，邮件接收者发送的病毒称为第二轮，以此类推；每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：1，20，202，203，除了单利，银行很有一种支付利息的方式：“复利”，即把前一期的本金和利息加在一起作为本金，计算公式是“本利和=本金(1+利率)存期，活期存入10000元，年利率是1.98%，按照复利，5年内各年末本利和分别是10000(1+0.0198)，10000(1+0.0198)2，10000(1+0.0198)3，10000(1+0.0198)4，10000(1+0.0198)5这四个问题中的四个数列分别是1, 2, 4, 8, 1,， 1,20 ,202 ,203 ,100001.0198,100001.01982,100001.01983 100001.01984,100001.01985观察四个数列有什么规特征：对于数列,从第2项起,每一项与前一项的比都等于2对于数列,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1/2对于数列,从第2项起,每一项与前一项的比都等于20对于数列,从第2项起,每一项与前一项的比都等于1.0198可知这些数列的共同特点:从第2项起, 每一项与前一项的比都等于同一常数.等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q0)因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是2，,20,1.0198.与等差中项类似,如果在a与b中间插入一个数g,使a,g,b成等比数列,那么g叫做a与b的等差中项，这时,a,b一定同号,g2=ab，等比数列的通项公式：在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳如下:a2=a1q a3=a2q=(a1q)q=a1q2 a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 可得 an=a1qn-1 上式可整理为an=qn而y= qx（q1）是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积,从图象上看,表示数列 qn 中的各项的点是函数 y= qx 的图象上的孤立点注意几点几点注意不要把an错误地写成an=a1qn对于公比q,要强调它是“从第2项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的次序颠倒公比q是任意常数,可正可负首项和公比均不为0例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?解：设这种物质最初的质量为1，经过n年剩留量是an，则由条件可知，数列an是一个等比数列， 其中a1=0.84，q=0.84,设an=0.5，则0.84n=0.5,即 nlg0.84=lg0.5,由计算器可算得 n4,答：这种物质的半衰期大约为4年。例2 根据图2.4-2中的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗? 解：若将打印出来的数依次记为 a1，a2，a3，则可得a1=1,a2=a1,a3=a2,a4=a3,a5=a4.于是可得递推公式，由于，因此这是一个等比数列，其通项公式为。评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数n,是一个常数就行了例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.解：设这个等比数列的首项a1,公比q,那么a1q2=12,a1q3=18,两式相除，q=3/2,a1=16/3,a2=a1q=8,答：这个数列的第1项和第2项分别为16/3与8.评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系思考：我们知道，等差数列an满足下列公式（1）an=am+(n-m)d；（2）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq那么，等比数列是否也有类似的公式呢？在等比数列an中an=amqn-m；2.若m、n、p、q n*，m+n=p+q，则aman=apaq例4 已知anbn是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什么结论?证明你的结论.证明：设an的公比为p，bn的公比为q，则 pq是一个与n无关的常数，anbn是以pq为公比的等比数列。思考：对例4中的数列anbn，那么数列是不是也是等比数列呢？例5 (1)已知三个数成等比数列，且其积为512，若第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三数。解：设这三数为a/q,a,aq,则(a/q-2)+(aq+2)=2a,a/qaaq=512,a=8,q=2或1/2,所以三数为4，8，16或16，8，4.(2)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解：设这四个数为ad，a，ad， 依题意有： 解得： 或 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，13. 设an是由正数组成的等比数列，公比，且，则例6 (1)等比数列an中，则 。解:由知，又，或 或(2)已知等差数列的公差，且成等比数列，则 例7 (1)已知数列an满足求数列an的通项公式；(2) 已知数列an满足a1=1，且an+1 =3an+2，求an作业布置：课本53页 1 2板书设计等比数列（1） 定义（2） 通项公式（3） 推论例题1例题2基本应用练习1练习2分类练习：（c类）(1)a1+a2=3， a4+a5=24，求an； an=2n-1(2)已知等比数列an中，a1a964，a3a720，则a11 64或1 解： 由或 q2或q22， a11a7 q2， a1164或a111（b类）(3)在等比数列an中，若2an=an+1+an+2，则公比q=_1或-2_. (4)在正项等比数列an中，若a5a6=81,则log3a1+log3a2+log3a10的值是