解数学竞赛题的整体策略.pdf

数学活动课 程讲座 解数学竞赛题的整体策略 3 王 连 笑 天津市实验中学 300074 3 本文收稿日期 2002206217 本讲适合初中 在解决某道数学题时 有时不可能或者 不需要着眼于问题的各个组成部分 而是放 大我们考察问题的视角 把需要解决的问题 置于一个整体的环境中 对其进行整体处理 例1 有偶数个人围着圆桌讨论某个问 题 休息之后 他们以不同的次序又围在圆桌 旁继续讨论 证明 至少有两个人在休息前后 坐在他们之间的人数是相同的 分析 很明显 这偶数个人 在休息后围 坐在圆桌旁的坐法是五花八门的 他们的不 同坐法数是一个庞大的数字 即使人很少 比 如只有8个人 这8个人在圆桌旁的坐法就 有7 6 5 4 3 2 1 5 040种 这可以 某人比如A做标准 在A的右边第一座可以 7个人中选一人坐下 右边第二座可从剩下的 6个人中选一人坐下 如此下去 以A为标准 的不同坐法有7 6 5 4 3 2 1 5 040 种 此外 A还可换成8个人中的任一人 有8 种选法 但由于是坐在圆桌旁 则每个人都可 以做起点 因而有8 5 040 8 5 040种 如果 人数更多 坐法的不同种数会更大 显然 我 们不可能 实际上也做不到 对这么多情形一 一讨论 这就是说 在解这个题目时 不能纠 缠究竟谁坐在什么位置上 而必须探讨题目 的整体特点 对此 我们可以这样理解 设圆桌的中心 是圆心O 这偶数个 设为2n个 人对应于圆 周上的2n个点 且这2n个点恰为圆内接正 2n边形的顶点 这样 每个人对应一条半径 所谓休息之后这些人换了座位 实际上是这 人对应的半径绕着圆心按逆时针旋转了一个 角度 由于这2n条半径都进行了旋转 那么 从整体上看这2n条半径旋转的角度之和为 k 360 k为某个非负整数 如果有两条半径绕着圆心旋转了同一个 角度 则这两个位置上 在休息前后 他们之 间的人数是相同的 如果所有半径绕着圆心 旋转的角度都不相同 则这2n个半径旋转的 角度只能是 0 2 3 2n 1 其中 180 n 再考虑它们的整体 即这些半径旋转角 度之和 0 2 2n 1 2n 1 n 2n 1 180 这里旋转角度之和不具有k 360 的形 式 所以 这种情况不可能出现 因此 必有两条半径旋转的角度相同 即 在休息前后 至少有两个人坐在他们之间的 人数是相同的 从上面的分析可以看出 这个题目的解 决是把握了题目的整体结构 即这2n条半径 绕圆心旋转的角度之和为360 的整数倍 从 而一揽子解决了问题 像例1这样 把题目中的条件放到一个 整体环境中去考虑 对于已知条件的随意性 较大的题目是一种较常用的策略 例2 把1 2 10随意沿着圆周排成 2中 等 数 学 一圈 证明 一定有三个相邻的数 它们的和 不小于17 分析 这个题目条件的随意性很大 因为 1 2 10不是按原有的顺序 而是按任意打 乱的顺序排在圆周上的 我们同样不能 也没 有必要对每一种情况逐一考虑 既然证题的 目标是三个相邻数的和 就可以把所有这些 相邻三数的和做一次统一处理 设a1 a2 a10是1 2 10的任一排 列 考虑每相邻三数之和 这样的和共有10 个 S1 a1 a2 a3 S2 a2 a3 a4 S3 a3 a4 a5 S9 a9 a10 a1 S10 a10 a1 a2 对这10个和数进行整体考虑 即求这10 个和数之和 S1 S2 S10 3 a1 a2 a10 3 1 2 10 165 由于S1 S2 S10是正整数 并且它们 的和为165 则至少有一个Si不小于17 否 则 若每个Si都小于或等于16 则S1 S2 S10 160 从而出现了矛盾 像例2这种解题思路 为了证明至少有 一个Si 17 我们计算S1 S2 S10这个 整体 由于这个整体的和为165 那么 这10 个整数中就至少有一个不小于17 为了寻求 一个结果 而去观察这个结果所在的整体 这 就是解这种题的思路所在 例3 已知9个自然数a1 a2 a9 将 它们重新排列后得到b1 b2 b9 求证 a1 b1 a2 b2 a9 b9 是偶数 分析 本题涉及奇偶问题 理所当然地应 该考虑这9个因子的奇偶性 但如果对每个 因子独立分析 由于排列的任意性 问题势必 变得繁琐 注意到各因子的和 a1 b1 a2 b2 a9 b9 a1 a2 a9 b1 b2 b9 0 显然 若 a1 b1 a2 b2 a9 b9 这9个因子都是奇数 则9个奇数的和仍 是奇数 这就与这9个因子之和等于 0 是偶 数 相矛盾 所以这9个因子中至少有一个是 偶数 从而乘积 a1 b1 a2 b2 a9 b9 是偶数 例4 在平面上给定一直线和半径为n 厘米 n是整数 的圆以及圆内4n条长为1 厘米的线段 证明 在给定圆内可以作一条与 给定直线平行或垂直的弦 它至少和两条给 定线段相交 分析 因为这4n条线段的随意性很大 如果直接去找满足要求的弦 则问题显得过 分复杂 不妨先探讨一下 看能否找到一种较 为简单的表达形式 图1 设a是给定直 线 直线b垂直于直 线a 弦AB a 并与 两条给定线段相交 则交点在直线b上 的射影是同一点 即 AB的延长线与b的 交点 另一方面 若4n条线段在a 或b 上的 投影有重叠部分 则从重叠部分中任一点出 发作b 或a 的平行线 被圆截出的部分便是 所要求的弦 于是 我们得到了一个等价的表达方式 半径为n厘米 n是整数 的圆内 任意 4n条1厘米长的线段中 至少有两条线段在 某一给定直线a或其垂线b上的射影有重叠 部分 这样 问题变得明确而又简单了 下面就 可以研究这个等价命题 设第i条线段在a和b上的射影的长分 别为ai bi i 1 2 4n 则由三角形两边 和大于第三边得ai bi 1 32002年第5期 当第i条线段与a或b平行时 ai bi 1 考察所有4n条线段在直线a和直线b 上的射影 共8n条 的全体 则有 a1 a2 a4n b1 b2 b4n 4n 设A4n a1 a2 a4n B4n b1 b2 b4n 由于A4n B4n 4n 则A4n B4n中至少 有一个不小于2n 即 a1 a2 a4n 2n 或 b1 b2 b4n 2n 因为圆的直径为2n 所以至少有两条线 段在直线a 或直线b 上的射影是重叠的 例5 设实数a b c满足a 2 b 2 c 2 1 证明 a b b c c a 中必有一个 不超过 2 2 分析 从整体来考虑 就是设法证明 a b 2 b c 2 c a 2 3 2 若式 成立 则结论必定成立 设m为 a b b c c a 中最小 者 下面考察 a b 2 b c 2 c a 2 a b 2 b c 2 c a 2 2 a 2 b 2 c 2 2 ab bc ca 3 a 2 b 2 c 2 a b c 2 3 a 2 b 2 c 2 3 这个结论比式 弱 当然由式 不能导 出结论 且由于允许a b c 0 则式 中 等号能成立 故 a b 2 b c 2 c a 2 的上界3不能改为更小的了 当然更不能达 到 3 2 因此 我们还要设法证明 a b 2 b c 2 c a 2 6m 2 因为若式 成立 由式 就有 6m 2 a b 2 b c 2 c a 2 3 即 m 2 2 为此 不妨设m 0 否则 m 0时 结论 显然成立 由于m 0 则a b c互不相等 设a b 1 q 1 试求p q的值 分析 此题的条件中没有给出具体的数 而又要求求出p q的值 这就有一定的困 难 若将已知条件逐个分析 几乎得不到什么 信息 若整体地看已知条件 即把 2p 1 q 和 2q 1 p 统一观察就会发现 2 p 1 q 和2 q 1 p 至 少有一个小于2 不然的话 若 2p 1 q 2 2q 1 p 2同时成立 则应有 4中 等 数 学 2p 1 2q 2q 1 2p 把这两个式子相加得 2p 2q 2 2p 2q 即 2 0 这显然是不可能的 通过对已知条件的整体观察 我们就找 到了解题的途径 因为2 p 1 q 和2 q 1 p 至少有一个小于2 不妨设2 p 1 q 1可知 只有p 3 从而q 5 于是 p q 8 有些数学题所讨论的对象本来就是某个 整体中的一部分 命题者在编拟题目时 故意 把它们从整体中分离出来 即隐蔽了整体中 所具有的某些优秀品质 割断了它与周围各 部分的有机联系 这就使得解题者一时抓不 住题目的规律性的东西 因此 在解这类题目 时 就要设法把题目的整体还原出来 然后从 整体上加以分析处理 例7 已知 x 2 2 2 1 2 y 2 2 2 3 2 z 2 2 2 5 2 w 2 2 2 7 2 1 x 2 4 2 1 2 y 2 4 2 3 2 z 2 4 2 5 2 w 2 4 2 7 2 1 x 2 6 2 1 2 y 2 6 2 3 2 z 2 6 2 5 2 w 2 6 2 7 2 1 x 2 8 2 1 2 y 2 8 2 3 2 z 2 8 2 5 2 w 2 8 2 7 2 1 求x 2 y 2 z 2 w 2 的值 分析 如果把已知的四个等式看作四个 方程 就是四个关于x y z w的方程组成的 方程组 解这个方程组求出x y z w的值是 相当困难的 但是 我们把这四个等式看成一 个整体 暂时把x y z w看作已知数 则这 四个等式可以还原成一个以2 2 4 2 6 2 8 2 为根 的关于t的方程 x 2 t 1 2 y 2 t 3 2 z 2 t 5 2 w 2 t 7 2 1 同时 据题目的要求 只要求出x 2 y 2 z 2 w 2 的值即可 因而不必求出x y z w的 值 而只考虑它们的整体x 2 y 2 z 2 w 2 整理方程 可得 t 4 x 2 y 2 z 2 w 2 84 t 3 a2t 2 a3t a4 0 又因为2 2 4 2 6 2 8 2 为方程 的根 则 t 22 t 42 t 62 t 82 0 整理得 t 4 2 2 4 2 6 2 8 2 t 3 a2t 2 a3t a4 0 比较方程 和 的t 3 的系数可得 x 2 y 2 z 2 w 2 84 2 2 4 2 6 2 8 2 解得x 2 y 2 z 2 w 2 36 例8 曲线L将边长为a的正 ABC分 为两个面积相等的部分 证明 曲线L的长l 满足l a 2 4 3 图2 分析 为了便于思考 我们把曲线L补成一条闭 曲 线 为 此 可 以 把 正 ABC连续翻五次 还原 成一个正六边形 如图2 所示 这样 闭曲线就把正 六边形的面积分成相等的 两部分 闭曲线围成的面 积是正六边形面积的一 半 而面积一定的闭曲线中 圆的周长最小 设圆的周长为l 半径为R 则 6l 6l 2 R 又因为 R2 1 2 6 3 4 a 2 R 4 27 a 2 52002年第5期 则l 1 3 R a 2 4 3 把正三角形和曲线L进行整体还原 构 成正六边形和闭曲线 从而形成了一个良好 的解题环境 例9 解方程x 2 x 7 5 分析 直接解这个方程需要进行两次平 方 但是 如果考虑与这个方程成对的方程 x 2 x 7 m 将二者看成一个整体 就构成由x m作为未 知数的方程组 方程 与方程 相乘 就可去掉根号 得 x 2 x 7 5m 解得m 1 把m 1代入方程 再与方程 相加就 得 2x 2 6 由此解得x 11 把x 11代入方程 检验可知x 11为 原方程的根 把题目中的已知条件或结论中的元素看 成一个整体 进行整体代换 是解数学题时一 种常用的策略 从这个角度讲 换元法就是一 种整体代换方法 我们看下面的题目 图3 例10 如图3 在 ABC中 D E分别 是边BC AB上的点 且 1 2 3 如 果 ABC EBD ADC的周长依次为 m m1 m2 证 明 m1 m2 m 5 4 分析 为了叙述方便 我们设BC a AC b AB c 注意到题设中给出的条件 1 2 3 则题目中涉及的三个三角形是三 个相似三角形 即 ABC EBD DAC 考虑相似三角形的周长比 则有 m1 m ED b m2 m DC b 再设法把ED DC用a b c表示出来 由 DC b b a 得 DC b 2 a ED b BD a a DC a 1 b 2 a 2 这样 m1 m m2 m ED b DC b 1 b a b 2 a 2 把要证明的 m1 m2 m 看成一个整体 用字 母t进行整体代换 即设t m1 m2 m 就得到 t 1 b a b 2 a 2 b a 2 b a t 1 0 这是一个关于 b a 的一元二次方程 此方 程显然有实根 于是 1 4 t 1 0 t 5 4 即 m 1 m2 m 5 4 通过以上十个例题的分析可以看出 当 有些问题进行局部处理有困难时 我们把需 要解决的问题看作一个整体 通过研究问题 的整体形式 整体结构或作种种整体处理 可 以使问题能够顺利而简捷地解决 练 习 题 1 已知a b c是实数 x y为任意实数 设 A a b x b c y c a B b c x c a y a b C c a x a b y b c 求证 A B C不能都是正数 也不能都是负数 2 一个打纸洞机可以放在平面上任一点 当它 工作时 可以把和它距离为无理数的点打掉 至少需 要多少台打纸洞机 才能把平面上的所有点都打掉 6中 等 数 学 3 A和B是平面 内的两点 过A B的直线为 r 在直线r的同侧有n个不同的点P1 P2 Pn 证 明 由A到Pi i 1 2 n 的距离的集合与由B到 Pi i 1 2 n 的距离的集合中 至少有一个集合 至少有n个不同的元素 4 设p1 p2 q1 q2为实数 且p1p2 2 q1 q2 证明 方程x2 p1x q1 0和x2 p2x q2 0中 至少有一个有实数限 5 桌子上放着1 993根火柴 甲 乙两个儿童轮 流每次可取1 2 3根 谁能最后取完火柴 谁就获胜 若甲先取 问哪个儿童取胜 他应该怎样去玩这场 游戏 练 习 题 提 示 1 考察A B C的整体 易得A B C 0 从而 A B C不可能全为正数 也不可能全为负数 2 显然 两台打纸洞机是不够的 为了证明三台 打纸洞机足够 只要证明平面上的任一点到这三点 的距离之中至少有一个无理数就可以了 因而只要 设法构造出一个有三个距离的有关和式 这个和式 的整体如果是无理数 那么就有一个距离是无理数 为此 可以把三台打纸洞机放在A 0 0 B d 0 C 2 d 0 其中d 42 设P是平面上任一点 P到A B C的距离分别 为a b c 由b是 PAC的中线长可得a2 c2 2b2 2 2 于是a b c不可能都是有理数 即P点至少 被一台打纸洞机打掉 3 考虑一切以A或B为中心且至少经过Pi中