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第五章线性系统理论 数学模型是由描述系统的变量和常量构成的数学表达式 建立数学模型后 首先要区分系统是线性还是非线性的 以前的科学研究主要对象是线性系统 而今正转向非线性系统 并且未来科学的本质上是非线性科学 第一节线性关系 线性与非线性原本就是一对数学关系 用以区分不同变量之间的两种基本的相互关系 常量之间并没有线性和非线性的区分 变量之间的关系 因变量和自变量成比例的变化 即变化过程中二者的比值不变 称为线性函数 函数 线性函数 非线性函数 因变量和自变量之间的变化过程中二者的比值变化 最简单的一元线性函数的一般形式为 y ax ba 代表因变量与自变量的不同比率b 线性函数的截距 截距 有实际意义 函数形式为y ax b 没有实际意义 则 x1 x b a y ax1 线性静态系统 简单的变量关系用一元函数表示较为复杂的变量关系须用多元函数表示如 z ax by 函数所表示的图形就是3维空间中的一张平面 函数仅仅是描述一个变量对另一个变量的依存关系 如果要表示多个变量之间的相互依存关系 则应该用以下的数学形式 a11x1 a12x2 a13x3 b1a21x1 a22x2 a23x3 b2 它表示变量x1 x2 x3只能在给定的若干个代数关系内变化 并且每个变量的变化都影响另外两个变量的变化 以上所讲的变量之间的关系都是静态相互关系 都是用函数和代数方程进行描述 实际上的动态过程中的诸变量的相互依存关系要丰富的多 其数学表达式中将出现微分 差分 积分等描述动态特性的项 反映这些动态量对各个变量的依存关系 例如某动态过程有两个变量x和y 均为时间的可微函数 导数代表它们的变化速率 dx dt ax bydy dt px qy从公式可以看出两个导数同时取决与x和y 反映了x和y相互的动态作用 线性动态系统 若f x 满足一下条件 1 加和性 f x1 x2 f x1 f x2 2 齐次性 f kx kf x 即f ax1 bx2 af x1 bf x2 就称f为线性的 其中f代表某种数学操作 x为数学操作对象 f x 表示对x施行操作f 这种数学操作具有线性的基本要求 称为叠加原理 线性和非线性可以区分不同的序关系 序关系 线性序 非线性序 一个序列中的事物前后顺序衔接 一个接着一个排成一条长链 序列中存在分支 闭合环路或者其他复杂情形 当实际问题被表示为数学形式 特别是解析形式时 线性与非线性的区别显而易见 只包含变量的一次项是线性特性 企业的均为非线性特性 而没有给出数学表达式的实际现象往往可以通过直观的判断 能够用线性数学模型描述的系统称为线性系统 所具有线性基本特性 1 输出响应特性 2 状态响应特性 3 状态转移特性等 它们均满足叠加原理 这些特性即对线性系统的基本限制称为线性假设 是一种理论假设 第二节线性系统 一个系统能否使用线性模型 它取决于1 系统本身非线性特性的强弱 2 实际应用场合对允许误差的要求 s s s u1 u2 y1 y2 u1 u2 y1 y2 如图所示 以系统为对象揭示了叠加原理的内涵 加和性的意义是现行系统表示互不相干的独立作用 齐次性不是加和性的简单扩展 它意味着如果在系统中将输入倍化 那么输出也将同样倍化 不会发生定性的 结构性的变化 例如三角函数 y cos t和y acos t 注意点 满足叠加原理是线性系统的基本判断依据 有了数学模型 就可以直接按模型判别 如果没有数学模型可以采用实验手段进行判别 但是如果未加假设的话 叠加原理只适用于有限项之和 叠加原理和整体涌现性的区别 连续线性系统的动力学方程 第三节线性系统的动态行为描述 对于变系统系统 系统的系数为t的函数 因此 对于最简单的一维系统就有 对于二维系统 有 矩阵式描述对象整体特性的数学工具之一 方程给定后 借助代数方法 通过分析系数矩阵 可以全面的了解系统的动态行为 以此类推至多维线性系统 第四节线性系统的相图 系统到达后若没有外部作用将保持不变或可以回归的状态称为定态 动态系统有不同类型的定态 最简单的一类定态用数学中的奇点或不动点表示 线性系统定态点的主要类型为鞍点 结点和焦点 如下图所示 二维空间 鞍点 在三维空间中定义 图中的坐标原点 经过 鞍点 平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向 每个平面与曲面相交得到对应的曲线 代表该方向的发展轨迹 不同的方向有的上升 有的下降 影射汽车市场 诸如二手车置换的兴旺 汽车金融的产生 弱者被淘汰出局 汽车出口呈上升态势 自主品牌的崛起 技术创新成企业竞争王牌 不同的方面将有不同的发展 y x x t 不稳定结点 如组织溃散 文化感弱的团队会越来越难以形成一个有机的有力整体 y x x t 稳定结点 如团队的建立 起初建立起来的团队是动荡不稳定的 但是最后有一个趋于稳定有效的过程 y x y x 两张图分别表示稳定焦点和不稳定焦点 举例来说就如企业团队在合作的过程中团队成员向团队核心人物靠拢或着远离团队领导人 第五节线性系统的平庸行为 线性系统的划一性 1 线性系统的轨道稳定性完全取决于控制参量或特征值 与系统初态无关 如音量调节器 不论初始音量事多少 我们旋转音量按钮 则音量固定为几分贝而不是当前初始值的多少倍 2 只要判明一条轨道稳定或不稳定 既可断定所有轨道是否稳定 唯一例外的是存在鞍点的情况 有一个特征方向上存在稳定轨道 但是其他所有轨道并不是稳定的 3 与布满相空间的无穷多条不稳定轨道相比 个别稳定轨道的存在不能改变整个系统不稳定的结论 总结 一个线性系统是否稳定不能只看某条轨道是否稳定 而应整体看待 因为线性系统只可能存在不动点型的定态 这一单纯性决定了系统行为的单纯性和平庸性 所以线性系统不存在极限环 即表明它不可能自发的产生周期运动 只有外部输入周期性强迫作用是 系统才会产生周期运动 线性系统可能没有吸引子 即使如最简单的一维线性系统dx dt a