2007年数一试题及详解.pdf

2007 年年全国全国研究生入学研究生入学统一统一考试考试 数学一试题数学一试题 一一 选择题选择题 1 10 小题 每小题 4 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项符 合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 当0 x 时 与x等价的无穷小量是 A 1 e x B 1 ln 1 x x C 11x D 1 cosx 解解 当0 x 时 1 e x x 1 11 2 xx 2 11 1 cos 22 xxx 故用排除法可得正确选项为 B 事实上 000 1111 ln ln 1 ln 1 1 112 limlimlim1 1 2 xxx x xxx xxx xx x 或 1 lnln 1 ln 1 1 x xxxo xxoxxoxx x 所以应选 B 2 曲线 1 ln 1exy x 的渐近线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解解 11 limlimln 1 e limlimln 1e0 xx xxxx yy xx 所以0y 是曲线的水平渐近线 00 1 limlimln 1ex xx y x 所以0 x 是曲线的垂直渐近线 1e ln 1e ln 1e 1e limlim0limlim1 1 x x x x xxxx y x xxx 1 limlimln 1 e0 x xx byxx x 所以yx 是曲线的斜渐近线 故选 D 3 如图 连续函数 yf x 在区间 3 2 2 3 上的图形分别是直径为 1 的上 下半 圆周 在区间 2 0 0 2 的图形分别是直径为 2 的下 上半圆周 设 0 d x F xf tt 则下列结论正确的是 A 3 3 2 4 FF B 5 3 2 4 FF C 3 3 2 4 FF D 5 3 2 4 FF 解解 利用定积分的几何意义 可得 2 2 1113 3 1 2228 F 2 11 2 2 22 F 202 2 020 11 2 d d d1 22 Ff xxf xxf xx 所以 33 3 2 2 44 FFF 故选 C 4 设函数 f x在0 x 处连续 下列命题错误的是 A 若 0 lim x f x x 存在 则 0 0f B 若 0 lim x f xfx x 存在 则 0 0f C 若 0 lim x f x x 存在 则 0 0 f D 若 0 lim x f xfx x 存在 则 0 0 f 解解 取 f xx 则 0 lim0 x f xfx x 但 f x在0 x 不可导 故选 D 事实上 在 A B 两项中 因为分母的极限为 0 所以分子的极限也必须为 0 则可推得 0 0f 在 C 中 0 lim x f x x 存在 则 00 0 0 0 0 limlim0 0 xx f xff x ff xx 所以 C 项正确 故选 D 5 设函数 f x在 0 上具有二阶导数 且 0fx 令 n uf n 则下列结论正 确的是 A 若 12 uu 则 n u必收敛 B 若 12 uu 则 n u必发散 C 若 12 uu 则 n u必收敛 D 若 12 uu 则 n u必发散 解解 选 D 取 lnf xx 2 1 0fx x 12 ln10ln2uu 而 lnf nn 发散 则可排除 A 取 2 1 f x x 4 6 0fx x 12 1 1 4 uu 而 2 1 f n n 收敛 则可排除 B 取 2 f xx 20fx 12 14uu 而 2 f nn 发散 则可排除 C 故选 D 事实上 若 12 uu 则 21 1 2 1 0 2 12 1 uuff f 对任意 1 x 因为 0fx 所以 1 0fxfc 对任意 21 121 f xffxx 故选 D 6 设曲线 1L f x y f x y具有一阶连续偏导数 过第 象限内的点M和第 象限内的点N T为L上从点M到点N的一段弧 则下列小于零的是 A d T f x yx B d T f x yy C d T f x ys D d d xy T fx yxfx yy 解解 M N 点的坐标分别为 1122 M x yN xy 则由题设可知 1212 xxyy 因为 21 dd0 TT f x yxxxx x N表示N的横坐标 21 dd0 TT f x yyyyy dd TT f x yss T的弧长 0 d d0d0d0 xy TT fx yxfx yyxy 所以应选 B 7 设向量组 123 线性无关 则下列向量组线性相关的是 A 122331 B 122331 C 122331 2 2 2 D 122331 2 2 2 解解 由 122331 0 可知应选 A 或者因为 122331123 101 110 011 而 101 1100 011 所以 122331 线性相关 故选 A 8 设矩阵 211100 121 010 112000 AB 则A与B A 合同且相似 B 合同 但不相似 C 不合同 但相似 D 既不合同也不相似 解解 由 2 211 121 3 112 EA 可得 123 3 0 所以A的特征值为 3 3 0 而B的特征值为 1 1 0 所以A与B不相似 但是A与B的秩均为 2 且正惯性指数都为 2 所以A与B合 同 故选 B 9 某人向同一目标独立重复射击 每次射击命中目标的概率为 01 pp 则此人第 4 次射击恰好第 2 次击中目标的概率为 A 2 3 1 pp B 2 6 1 pp C 22 3 1 pp D 22 6 1 pp 解解 p 前三次仅有一次击中目标 第 4 次击中目标 1222 3 1 3 1 C ppppp 故选 C 10 设随机变量 X Y服从二维正态分布 且X与Y不相关 XY fxfy分别表示 X Y的概率密度 则在Yy 的条件下 X的条件概率密度 X Y fx y为 A X fx B Y fy C XY fx fy D X Y fx fy 解解 因为 X Y服从二维正态分布 且X与Y不相关 所以X与Y独立 所以 XY f x yfx fy 故 XY X YX YY fx fyf x y fx yfx fyfy 应选 A 二二 填空题填空题 11 16 小题 每小题 4 分 共 24 分 把答案填在题中横线上 11 1 2 2 1 1 e d x x x 解解 1111 22 2 2 1 2 11 11 e de deee xxx x xx 12 设 f u v是二元可微函数 yx zf xy 则 z x 解解 利用复合函数的求导公式 可直接得出 1 12 ln yx z fyxfyy x 13 二阶常系数非齐次微分方程 2 432e x yyy 的通解为y 解解 对应齐次方程的特征方程为 2 12 4301 3 则对应齐次方程的通解为 3 12 ee xx yCC 设原方程的特解为 2 e x yA 代入原方程可得 2222 4 e8 e3 e2e2 xxxx AAAA 所以原方程的特解为 2 2e x y 故原方程的通解为 32 12 ee2e xxx yCC 其中 12 C C为任意常数 14 设曲面 1xyz 则 dxyS 解解 由积分域与被积函数的对称性有 d0 dddx Sx SySzS 所以 11134 3 d dd8 33323 ySxyzSS 故 4 d3 3 xyS 15 设矩阵 0100 0010 0001 0000 A 则 3 A的秩为 解解 3 01000001 00100000 1 00010000 00000000 AAr A 16 在区间 0 1中随机地取两个数 则这两个数之差的绝对值小于 1 2 的概率 为 解解 利用几何概型计算 图如下 所求概率 2 1 1 32 14 A D S S 三三 解答题解答题 17 24 小题 共 86 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 11 分 求函数 2222 2f x yxyx y 在区域 22 4 0Dx yxyy 上的最大值 和最小值 解解 1 求函数 2222 2f x yxyx y 的驻点 A 1 21 1 O y x 因为 2 2 220 420 x y fxxy fyx y 所以 0 22 0 11 x xx y yy 所以函数在区域 22 4 0Dx yxyy 内的驻点为 2 1 2 1 和 0 0 2 求函数在边界线上的极值 作拉格朗日函数如下 222222 2 4 L x yxyx yxy 则 2 2 22 2220 4220 40 L xxyx x L yx yy y L xy 解之得 02 3 20 1 xx x yy y 于是条件驻点为 3 1 3 1 0 2 2 0 而 2 12f 3 12f 0 00f 0 28f 2 04f 比较以上函数值 可得函数在区域 22 4 0Dx yxyy 上的最大值为 8 最小值为 0 18 本题满分 10 分 计算曲面积分d d2d d3d dIxz y zyz z xxy x y 其中 为曲面 2 2 1 01 4 y zxz 的上侧 解解 的方程为 2 2 1 01 4 y zxz 添加一个平面 2 1 2 0 1 4 z y x 取下侧 则 与 1 构成闭曲面 其所围区域记 为 于是 11 1 I 而 d d2d d3d dxz y zyz z xxy x y 23xzyzxy xyz 11 00 2 21 4 3d d d3dd d6 1 d y xz z x y zz zx yzzz 2 112 1 4 d d2d d3d d3d d3d d0 y x xz y zyz z xxy x yxy x yxy x y 上式可直接由被积函数的奇偶性和积分区域的对称性可得 所以 11 1 I 19 本题满分 11 分 设函数 f x g x在 a b上连续 在 a b内具有二阶导数且存在相等的最大值 f ag af bg b 证明 存在 a b 使得 fg 解解 令 F xf xg x 则 F x在 a b上连续 在 a b内具有二阶导数且 0F aF b 1 若 f x g x在 a b内同一点c取得最大值 则 0f cg cF c 于是由罗尔定理可得 存在 12 a cc b 使得 12 0FF 再利用罗尔定理 可得存在 12 使得 0F 即 fg 2 若 f x g x在 a b内不同点 12 c c取得最大值 则 12 f cg cM 于是 111222 0 0F cf cg cF cf cg c 于是由零值定理可得 存在 312 cc c 使得 3 0F c 于是由罗尔定理可得 存在 1323 a cc b 使得 12 0FF 再利用罗尔定理 可得 存在 12 使得 0F 即 fg 20 本题满分 10 分 设幂级数 0 n n n a x 在 内收敛 其和函数 y x满足 240 0 0 0 1yxyyyy 证明 2 2 1 2 1 nn aa n n II 求 y x的表达式 解解 由题设可得 12 2 0120 1 1 2 nnnn nnnn nnnn ya xyna xyn na xnnax 代入240 0 0 0 1yxyyyy 可得 2 010 1 2 240 nnn nnn nnn nnaxna xa x 012 0 1 0aaa 即 2 000 1 2 240 nnn nnn nnn nnaxna xa x 比较同次项系数可得 2 2 1 2 1 nn aa n n II 由 012 0 1 0aaa 2 2 1 2 1 nn aa n n 可得 22121231 22211 0 22 22 nnnn aaaaa nnnnn 故 2 212 00 11 e n nx nn yxxxx nn 21 本题满分 11 分 设线性方程组 123 123 2 123 0 20 40 xxx xxax xxa x 与方程 123 21xxxa 有公共解 求a的值及 所有公共解 解解 将方程组和方程合并 后可得线性方程组 123 123 2 123 123 0 20 40 21 xxx xxax xxa x xxxa 其系数矩阵 22 11101110 1200110 1400310 12110101 aa A aa aa 2 11101110 01100110 003200011 001100 1 2 0 aa aaaa aaaa 显然 当1 2aa 时无公共解 当1a 时 可求得公共解为 T 1 0 1k k为任意常数 当2a 时 可求得公共解为 T 0 1 1 22 本题满分 11 分 设三阶对称矩阵A的特征向量值 123 1 2 2 T 1 1 1 1 是A的属于 1 的一个特征向量 记 53 4BAAE 其中E为 3 阶单位矩阵 I 验证 1 是矩阵B的特征向量 并求B的全部特征值与特征向量 II 求矩阵B 解解 I 535353 11111111111 44412BAAE 则 1 是矩阵B的属于 2 的特征向量 同理可得 53 22222 41B 53 33333 41B 所以B的全部特征值为 2 1 1 设B的属于 1 的特征向量为 T 2123 x x x 显然B为对称矩阵 所以根据不 同特征值所对应的特征向量正交 可得 T 12 0 即 123 0 xxx 解方程组可得B的属于 1 的特征向量 TT 212 1 0 1 0 1 0 kk 其中 12 k k为不全为零的任意常数 由前可知B的属于 2 的特