荷兰现实数学教育的教学设计原则——逐步形式化.pdf

2 O 数 学通报 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 8期 荷兰现实数学教育的教学设计原则 逐步形式化 赵 晓 燕 南 京师范大学数学科学学院 2 1 0 0 4 6 对 于荷 兰 的现 实 数学 教 育 Re a l i s t i c Ma t h e ma t i c s E d u c a t i o n 简称 R ME 我们并不陌生 广 大数学教师研习后总觉言之有理 道之有据 但究 竟如 何将 这 一教 育理 念 与 实 际 课 堂 教学 结 合 我 们却 不 甚 了解 或 许 我们 可 以从 荷 兰 同行 的 具 体 教学 设 计 中 有 所 领 悟 其 实 R ME 离 我 们 并 不 遥 远 1 现 实 数 学教 育 顾 名 思义 现 实 数 学 教 育 主要 强 调 在 教 学 过程 中使 用 与生 活密切 相关 的 符合 实 际的例 子 由于找 不到 足 够 真 实 贴 切 的 问题 所 以 RME 的 理 念 不 具 备 可 操 作 性 这 是 很 多 数 学 教 师 对 RME的认 识 实 际上 这 种 理 解 十 分 狭 隘 产 生 误 解的主要原因是译 文的偏差 现实数学教育 的 说 法 是 由英 文 Re a l i s t i c Ma t h e ma t i c s E d u c a t i o n 直 译 而来 语 言环 境 的不 同 以及 词 汇 含义 上 的细 微 差别 直接 导致 读 者理 解 上 的片 面 因此 首 先 需要 对 现实 r e a l i s t i c 重新认 识 R ME是 荷 兰数 学教育 改 革 的主导 思想 兴起 于二 十世 纪 七 十年 代 以荷 兰数 学 家 和 数 学 教 育 家弗赖登塔尔为代表人物 英语 中的 去想象 t o i ma g i n e 对应 荷 兰语 z i c h r e a l i s e r e n 2 现 实 数 学教 育 的命 名 实 由此 而来 当然 从 字 面上 看 仍 易 产 生误 解 具 体 地 说 R ME 中 的 现 实 不 仅 说 明数 学 教学 要 与 真 实 生 活 情 境相 关 更 重要 的是 强调老师要提供给学生一定的问题情境 通过情 境帮助学生 在其脑海建 立与数学 相关 的 真实 的 有意 义 的 想 法 而情 境 本 身 并 不 一 定 必须 来源 于实 际 生活 可 以是 理想 化 的 想 象 的 和 编 造 的 换 句 话 说 RME并 不 要 求 必 须 以真 实 的生 活 问题 为 介 引人 数 学 教 学 也 承 认 多 数 情 况 下 理 想化 的 问题 情 境 更 利 于激 发解 决 问题 的数 学策 略 问题 的关 键 在 于 如 何 通 过情 境 帮 助 学 生 将抽 象 的数学 知 识 与 学 生 的 已有 的 现 实存 在 的 知识 经验 建 立有 效 的联 系 只要 在 学 生 头脑 中 这 个 问题情 境 是 真 实 的 并 且 他 们 可 以根 据 自己 的常识 真实 地对 待 这 个 问题 就 符 合 现 实 数 学 教 育 的要求 2逐 步形 式化 p r o g r e s s i v e f o r ma l i z a t i o n R ME认 为学 生 对数 学 表 达 的认 识 和理 解 总 是从 他们 自己 日常 的 非 正式 的推 理 开始 用 弗赖 登塔 尔 的话说 学生 对 于数 学 的认 识 始 于 常 识 c o mmo n s e n s e 相 应 地 教 学 设 计 要 求 学 生 的 数 学参 与必 须 始 于有 意 义 的情 境 遵 循 逐 步 形 式 化 的原 则 逐 步形 式化 主要 分 为三个 阶段 I非正式阶段I一1 预形式阶段I l 形式化阶段I 在 R ME的教 学 设 计 中 问 题 情 境 置 于 教 学 主线 的开端 这样不仅有助于学生完成从具体 到 抽象 的过 渡 更 重要 的在 于唤 起 学 生 非 正 式 的 推 理 让学 生利 用 已有 知识 寻找 自己的 解 决 问 题 的 办 法 通 常学 生 想 到 的 办 法都 比较 繁 琐 或 有 所 疏 漏 但 这个 过程 对 于 培 养 学 生解 决 问题 的能 力 意 义 重 大 目前 国 内数 学教 学过 于重 视让 学 生熟 练 掌握 各种 简洁 高 效 的解 题 策 略方 法 学 生 可 以快 速计算 出数学题 目的答案 但对于 为什么使用这 个方法 为什么这个方法简便 等类似的问题却 无法 作答 或 者 直 接 回答 说 我 们 老 师 说用 这样 的方 法才 能解 才 简便 面对 这样 的局面 数 学 教 师不 能 简单评 价 不 能 一 句 学生 们 不 动 脑 子 了 之 而应 认真 思 考 我们 是 否 给学 生 独 立 思 考 的 土 壤 和环境 作 为教 学初 期最 重要 的 目标之 一 帮 助 2 0 1 2年 第 5 1卷第 8期 数 学通报 2 1 学生 形成 自己的 想 法 策 略 不 仅 有 利 于 新 知 识 的 自然 生 长 而且 从 根 本 上 培 养 了学 生 解 决 新 问题 的能力 因此 问题情境为数学学习提供的不只是 一 个应用 实例 更是一 种学 习资源 鼓励 学 生参 与 激 发 学生 思考 时机成熟 的情况下 数学教师指导学 生使用 较 为抽 象 的 预形 式 策 略 或 者 可视 化 模 型 例 如 数 轴 文 氏 图 表 格 等 等 帮助 学 生 进 一 步认 识 理解 所 学数 学 内容 通 常预 形 式 策 略较 学 生 的解 决方法而言更简 洁有效 可以解决不 同情境 下的 问题 但 不 及最 终 形 式化 的公 式法 则 那 么 简 洁高 效 由于这 种策 略更 贴 近学 生解 决 问题 的方 法 更 容 易理 解 所 以在 发 展 理 解 力 时 起 关 键 作 用 最 终 借 助 已有 的铺垫 学 生 能较 为轻 松地 生成 对 相 关数 学 内容 形 式化 的理 解 为了更形象地说 明逐步形式化原则在教学设 计 中的使用 现实数学 教育 的研究 者用 冰 山模 型 展示如何使用非正式 的 预形式的和形式化 的模 型或 策 略 来 发 展 学 生 对 形 式 化 数 学 表 达 的 0 浮动理解力 图 1以分数 的学习为例 预形式 的j I 非正式 的 I 图 1 冰 山模 型 包括 顶端 部分 以及下 面较 大 面 积 的 称为 浮动理解力 的区域 冰山顶端代表形式 化 的 步骤 或 者符 号化 的表 示 想要 达 到这 一 层次 需要发展学生在较低层次上 的技 能和见解 提高 其 浮 动理 解 力 此 过 程 中 学 生 将 重 新 思 考 评 定 用 于 解决 问题 的 已有 常识 和 知识 从 而促 进 学 生 使 用 形式 化 的 数 学 另 外 需 要 说 明 的是 问 题 情 境 可视 化 的表示 预 形 式策 略和 形式 化 的数 学 在 R ME的课 程和 教学 设计 中是交 织呈 现 的 并 没 有 完全严格清晰的界限 3 引入 对数 及 其运算 法则 的教 学 设计 常规 课 堂 中 这 部 分 内容 的 教 学 情 况 大致 如 下 首先对 数 函数都 是 被 看 做 指 数 函 数 的反 函数 直接 引入 的 Y一口 z l o g Y 紧 接 着 利用 指数 形 式 化 的运 算 法则 推 出对数 的运 算法 则 最后 辅 以大量 题 目练 习 尽 管 在数学 上是 正 确 的 这 种方 法 并 没有 提供 给 学 生 足 够 的 有 意义 的基 础 建 立 对 对数 及其 运算 法则 的理解 使 用 R ME设 计 的课 程 系 列 包 含 三个 部 分 首 先 由实 际问题 情境 引 入指数 增 长模 式 之 后再 给 出另 一 问题深 入研 究指 数 函数及 其形 式 化 的运算 法则 第 三 部 分 利 用 时 间 和增 长 问题 引 入 对数 具体教学设计基本路线如下图 2 臣匦 l 延 伸 旺蔓 觋 I转入 臣堕 巫 通过对 比线性增 长 研 究理解指数增 长 知识迁移 运用 进一步理解 指数增 长 和形式化 的运算 公式 对 数及其运 算法 则的学习 圈 2 3 1课 程设 计 的第 一部分 问题 1 某 天 两 个 好朋 友各 自买 了 一 匹 小 马 驹 两 匹 马驹 质 量 相 同 均 为 5 0千 克 经 过 一个 月 的 喂 养 两 个 人 比较 马 驹 的重 量 小 明说 我 的马 长 了 1 O千 克 小 亮 说 我 的 马 比 上 个 月 长 了 2 0 两 个人 约定 一 个 月 后 再 比较 再 见 面 时小 明说 又 长 了 1 O千克 小 亮说 又 长 了 2 0 请 问 两 匹马在 被 喂养 了一个 月后 重 量 分别 是 多 少 两个 月后 呢 通 过解 决 上述 实 际情 境 中 的 问题 可 以 纠正 学生对百分数的错误理解 认为增长率相 同 每次 的增长量便一致 同时有机会对 比线性增长模式 和指数 增 长模 式 的区别 继续 延 伸 问题 试 问经过 三个 月 四个 月 五个 月 后两 匹马 的重 量 是 多 少 通过课 堂 讨论 帮 助 学 生 绘 制 可视 化 的增 长 模 式 如下 图 3 2 2 数 学通 报 2 0 1 2年 第 5 1卷 第 8期 豳 3 尽 管这 种 图示 仍 易 产 生误 解 学 生 们 可 能 仅 仅根据图示线段的长短来判断增长的快慢 得出 两种增长模式没有区别 的答案 但 只需教师适 当 说明则可避免 总的说来 可视化的表示有助学生 清晰理解具体 的增长过程 以及计算步骤 使得整 个过 程 以更 为 直 观 的形 式 映 入 学 生 脑海 同时 解 决策 略 向形式 化 逐步前 进 3 2课程设 计 的第 二部 分 给 出另一 个 问题 由学生 解决 供 学生思 考 迁 移 相 关知 识 问题 2 已知大 肠杆 菌 每 两个 小 时 就 可 以繁 殖 出下一代 即体积 即数量 增加一倍 试验开始 时有 1 2 8个 大 肠 杆 菌 描 述 增 长 过 程 的 函 数 为 1 2 8 2 其 中 t 表示时 间 每个 单位表示 两小时 表示大肠杆菌的体积 u lu l l I I 4 00 r l l I I r 3 oc l l l I 20 0 r 1 1 l l 一 一 o p I I I l l l l I I 2 2 图 4 如 图 4 当 t 一0时 大 肠 杆 菌 的体 积 为 1 2 8 当 一1时 体积翻倍 变为 2 5 6 在 一0和 一1之 间 连续的图象表明整个过程大肠杆菌 的体积按 指 数增 长模 式进行 请问 1 参照给 出的图象 分别给 出试 验开 始 后一 个小 时 一0 5 和 三个 小 时 后 一1 5 大 肠杆菌体积的估计值 2 将所得两个估计值相除 一个小时后 的估 计值为除数 结果大概为 2 为什么 3 使用图象计算器计算 V 0 5 和 V 1 5 的 精确 值 4 什 么 和 结 果相 同 5 上述 比值是 多少 解 释这个 比值 的实际 意义 6 这 个 比值 和增 长 因子 2 每 两小 时 有 什 么 联 系 题 中以 2 作为增长因子 显然不符合大肠杆 菌实际的增长速度 但这样选择便 于学生解决 问 题 同 时为下 一部 分对 数 的引入 做铺 垫 3 3 课 程 设计 的第 三部分 经 过指 数知 识 的 学 习研 究 给 出对 数 引 人 的 第 一个 问题 情 境 涉 及 图 象分 析 和表 格 分 析 的水 草生 长问 题 问题 3 某 池塘 中 的水 草 每 天 以 翻倍 的速 度 生长 描述 此过 程 的公式 为 A一2 图 5给 出前 四 天 的具体 生 长情况 观 察 图象完 成下 列 问题 1 哪 一 时 刻 池 塘 中水 草 的 面 积 为 3 m 那 6 m 和 1 2 m 呢 恒 t 1 2 4 时 间 天 图 5 2 不借 助 图象 你 能说 出哪 一 时刻 池 塘 中水 草 的 面积为 2 4 m 吗 3 完 成下 列表 格 1 面 积 m 3 6 1 2 2 4 时 间 天 l1 6 6 4 2 O 8 6 4 2 2 0 1 2年 第 5 1卷第 8期 数 学通报 2 3 续 表 面 积 m 2 5 5 1 O 2 O 时 间 天 2 3 面 积 m 0 2 5 0 5 1 时 间 天 O 首先 教 师要 求 学 生 根 据 图 象 找 出 经 过 多少 时间水 草 的体 积达 到 了 z平 方 米 是 对 之前 马驹 问题 和细菌 问题 的延 伸 当学生 完成 表格 填 写后 进 而 要求 学 生 找 出 图象 上 未 显 示 的信 息 即 4天 以后 的水草 生长 情况 紧接着 给 出下 列表 格 2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 O 1 1 l 2 13 t O 1 1 58 2 2 32 2 5 8 2 81 3 3 1 7 3 3 2 3 46 3 58 3 7 O A 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 20 2 1 2 2 23 24 2 5 2 6 t 3 81 3 9 1 4 4 09 4 17 4 25 4 3 2 4 39 4 46 4 5 2 4 58 4 6 4 4 70 表 格 给 出很 多组 水草 面 积和 生 长时 间 的对 应 数据 当学 生 明 白表 格 的关 系 后 定 义 t A 为 表 示 当水 草 达 到 面 积 A 时 需 要 经 过 的 时 间是 t 的缩 略 形式 当然 最 初 时 刻 t 一0时 水 草 的 面 积 为 l m 8 一3表示 经 过 3天 水 草 的面积 可 以 长至 8 m 即 原 始 面 积 的 8倍 同 样 地 t 2 0 一 4 3 2 说 明 当 水 草 的 面 积 为 2 0 时 需 要 经 过 4 3 2 天 继续 引 导 学生 观察 表格 由于 表格 中有 整 数 有 小 数 学 生 们 的 注 意 力 首 先 集 中 在 t 1 一0 2 一1 8 一3和 1 6 一4这 四组 简单 的数 据 上 通过学生观察或教师引导发现其 中蕴含 的等 量 关 系 f 2 t 8 一t 1 6 2 8 1 6 进 而 推 广 到 整 个表 格 的数 据 上 进 行 验 证 如 t 5 t 3 1 5 2 3 2 1 5 8 3 9 3 9 1等 等 这 个 过 程 中 学 生参 与 观 察 归 纳 以及 验 证 自 己逐 步 建 立 起有意义 的联系 从而为对数 的学 习提供预形式 材 料 有 了 以上铺 垫 学生 的认 知 结构 里 已 存 在 生 成 对 数及 其运 算 法 则 的形 式 化 表 达 的 土壤 教 师 这时给出抽象 的 符号化的表达和公式 学生接受 起 来并 不 困难 4教 学设 计 分 析 想要 理解 上 述在 R ME理 念 指 导下 设 计 的教 学 路 线 最 好 先 明确 T r e f f e r s 5 对 于水 平 数 学 化 和垂直数学化的区分 水平数学化是指从现实世 界进入到数学 世界的过程 要求学习数学时从丰 富的 需要数学来组织的实际背景入手 即从可 以 数学化的实际情境进入学习 运用数学工具组织 问题 形 成模 型 从 而解 决 问题 垂 直数 学 化 指 的 是 数 学世 界 内部 的活 动 即通 过 概 念 和 策 略 之 间 的联系对数学系统重新构建 RME的突出特点就 是 同时注 重这 两 方 面 的 渗 透 上 述设 计 中 的每 个 部 分都 以给 出 问题 情 境 为 开 端 利用 学生 已有 常 识 和技 能解 决 问题 这 样 安 排 符合 水 平 数 学 化 的 要求 而指数函数和对数函数互为反函数 相关概 念 运算 法 则 图象 之 间都 有 直 接 联 系 因此 以指 数增长为铺垫体现了垂直数学化的要求 学生在学习数学的过程中要经历不 同的理解 阶段 从能够依据情境找出非正式 的解决方法到 找 到不 同层 次 的便 捷 方 法 或 通 法 再 到 对 数 学 概 念 和策 略方 法 有深 刻 的见 解 因此 需 要 运 用 渐 进 的 教学 方法 或 者 预形 式 策 略 引 导 学 生数 学 化 设 计 中提供 各种 可视 化 的模 型 如 增长模 式 简 图 表 格 图象 作为沟通非正式的 依据情境的数学和形 式化 的数 学 的桥梁 由课程 设 置顺 序 和 教 学材 料 我们 可以得到下 列逐步形式 化的设计示 意 图 6 预形 图 6 弗赖登塔尔将数学诠释为人类 的活动 认为 学习数学唯一正确的方法是 实行 再创造 即教 师 引导和 帮 助学 生 本 人 把 要 学 的东 西 创 造 出来 2 4 数 学通报 2 0 1 2年 第 5 1 卷 第 8期 整个 教 学设 计 过 程 以 问题 为 线 索 以解 决 问题 的 学生 为 主体 由指数 到对 数 的过程 中 基 于情 境 的 问题逐步减少 而形式化的表达逐渐增多 提供可 视化的材料 帮助学生概括指数增长现象 理解其 数学结构 进而迁移到其它问题情境 中 向更高层 次 的形 式 化迈 进 最终转 向对数 学 习 依托 问题 和 表格 生成 所学 内容 遗憾 的是 上 述 设 计 未 提 供 更 为 详 细 的 指 导 说 明 细 化各 个 阶段 的教学 我 们只 能大 致领 略 设 计思 路 5 结束 语 荷 兰 在几 次数 学 成 就 国际 比较测 试 T I MS S 和 P I S A 中都 取 得 了 骄 人 的成 绩 位 于九 个 西 欧 国家之 首 也超 过包 括美 国 澳大 利亚 和新 西 兰在 内 的其他 西 方 国家 这 与 近 四十 年 来 R ME 的理 论指 导密 不可 分 尽管 由于 中荷 教 材 编排 和 课 时安 排 的不 同 上述 设计 并 不完 全 适 用 于 我 国的 实 际 教学 但 我 们仍可以通过它进一步体会如何使用 RME指导 自身教 学 具 体 地 说 问题 情 境 作 为 一 种 教 学 资 源 有助 于激 发学 生 已有 的知识 和技 能 为新 知 识 的生长 提供 丰 富 的 环 境 预形 式 的策 略和 可 视 化 的模型则能帮助学生由理解非正式的数学过渡到 理解形 式 化 的数 学 教 师 明确 所 授 数 学 内容 的情 况下 从数 学外 部 的现 实 生 活 和 数 学 内部 的相 关 联 系两方 面 出发 给学 生提 供 再创造 的条 件 面 对我 国数 学课 堂重 解 题套 路 轻 自主思 考 重 格 式 规 范 轻运 用 灵活 的现 实 问题 寻求 现实 数 学教 育 和课 堂教 学 的结合 点 就显 得尤 为重 要 参 考 文 献 1 弗赖登塔尔著 陈昌平 唐瑞芬译 作 为教育任务 的数学 M 上海 上海教育 出版社 1 9 9 5 2 Va n d e n H e uv e l Pa n hu i z e n M M a t h e ma t i c s Ed u c a t i o n i n t h e Ne t h e r l a nd s A g u i d e d t o ur Fr e ud e n t ha l I ns t i t u t e C RoM f o r I CM E9 Ut r e c h t Ut r e c h t U n i v e r s i t y 2 0 0 0 3 B o s wi n k e l N F Mo e r l a n d s 2 0 0 1 He t t o ne v a n d e i j s b e r g Th e t o p o f I c e b e r g I n De Na t i o n a l e Re k e n d a g e n e e n pr a k t i s c h e t e r u g b l i k U t r e c h t The Ne t h e r l a n d s Fr e ud e nt ha l I ns t i t u t e 4 Da v i d C W e b b De s i g n Re s e a r c h i n t h e Ne t h e r l a n d s I nt r o d u c i n g Lo g a r i t h m s U s i n g Re a l i s t i c M a t h e ma t i c s Ed uc a t i o n J o u r n a l o f Ma t h e ma t i c s E d u c a t i o n a t Te a c h e r s Co l l e g e S p r i n g Su mm e r 2 4 7 5 2 2 0 1 1 5 Tr e f f e r s A W i s ko b a s a nd Fr e u d e n t ha l Re a l i s t i c M a t he m a t i c s Ed u c a t ion Edu c a t i o n a l S t u di e s i n M a t he ma t i c s 2 5 8 9 1 0 8 1 9 9 3 6 赵 晓燕 冲 击 下 的荷 兰数 学