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正方形中常见辅助线例谈一、截长补短法例1：如图1，四边形ABCD是正方形，E，F是AD，DC上的点，且EBF=，则EF与CF+AE相等吗？说明理由.分析：可考虑将FC延长至P，使CP=AE，这样，只需说明EF=PF即可.解：延长FC到P，使CP=AE，连接BP，BCDEPFA图1四边形ABCD是正方形，AB=BC， A=BCD=BCP=，AE=CP， ABECBP.BE=BP， ABE=CBP，ABC=ABE+EBC=，CBP+EBC=，即EBP=.EBF=，PBF=EBP-EBF=-=.EBF=PBF =.BE=BP，BF=BF， EBFPBF，EF=PF.PF=PC+CF，CP=AE，EF=CF+AE.说明:想说明一条线段等于两条线段的和，有两种方法：截取法和延长法.截取法是在长线段中截去一短线段，再说明剩余部分等于另一短线段;延长法是将一短线段延长，使整条线段等于两短线段的和，再说明整条线段等于长线段.通过全等说明两线段相等是常用方法.二、有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长构造全等三角形例2：如图2，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CD+CP.求证：AQ平分DAP.分析：由AP=CD+CP通常选用截长补短的方法.即在PC的延长线上截一条线段等于CD，但若延长AQ交BC的延长线于E，可达到同样效果，即也可得证CD=CE.1PDCBAEQ2图1证明：延长AQ交BC的延长线于E.四边形ABCD为正方形，AD=CD，ADBC，DCBC， D=，D=DCE=.又1=2，DQ=CQ.ADQECQ.AD=EC， DAQ=E.AP=PC+CD，AP=PC+AD=PC+CE=PE.PAQ=E. DAQ=PAQ.AQ平分DAP.说明：有以正方形一边中点为端点的线段时，常把它延长构造全等三角形，为证题创造条件.三、有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形例3：已知：如图3，在正方形ABCD中，M为AB的中点，MNMD，BN平分CBE并交MN于N.求证：MD=MN.分析：要证MD=MN，可证它们所在的三角形全等，而它们所在AMD与MBN不可能全等，而由M为AB中点，想到如取AD中点，则有DP=MB，再连接PM，这时可证DPM与MBN全等.EDCBA图3PMN12证明：取AD的中点P，连结PM，则DP=PA=AD.四边形ABCD为正方形，AD=AB，A=ABC=，1+AMD=，2+AMD=.1=2.M为AB中点，AM=MB=AB.DP=MB，AP=AM.APM=AMP=.DPM=.BN平分CBE， CBN=.MBN=MBC+CBN=+=.DPM=MBN. DPMMBN.MD=MN.思考：若把M为AB中点改为M为AB上任一点（不与A、B重合
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