重庆市重庆一中高三数学上学期期中试题（含解析）理.doc

2014年重庆一中高2015级高三上期半期考试 数 学 试 题 卷(理科) 2014.11一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。1已知集合，则（ ）a b c d【知识点】不等式解法；集合运算. a1 d1【答案】【解析】b 解析：a=x|-6x1,则,故选b. 【思路点拨】化简集合a、b ,再用交集定义求解.2已知，则（ ）a b c d【知识点】同角三角函数关系；二倍角公式. c2 c6 【答案】【解析】c 解析，故选c. 【思路点拨】已知等式两边平方后，利用平方关系和二倍角公式求得结果.3设,则下列不等式中恒成立的是 ( )a b c d 【知识点】不等式的性质；函数的性质. e1 【答案】【解析】a 解析：因为：，而a1，所以故选a. 【思路点拨】由函数的性质得:当时，由此得选项a 正确.【题文】4下列命题的说法错误的是 （ ）a若为假命题，则均为假命题.b“”是“”的充分不必要条件.c对于命题 则.d命题“若，则”的逆否命题为：“若, 则”【知识点】命题的真假；命题及其关系；全称命题的否定. a2 a3【答案】【解析】a 解析：若为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，不一定都是假命题，所以命题a 的说法是错误的，故选a. 【思路点拨】根据复合命题真值表判断得，选项a说法是错误的.【题文】5已知等差数列的公差若则该数列的前项和的最大值为 （ ）a b c d【知识点】等差数列及其前n项和. d2 【答案】【解析】c 解析：由所以的最大值为，故选c. 【思路点拨】由已知求得首项和公差，得到，从而知道的最大值为.【题文】6（原创）在abc中，已知，则的值为（ ）a b c d【知识点】三角形面积公式；向量的数量积. f3 【答案】【解析】d 解析：=所以=，故选d. 【思路点拨】由三角形的面积公式求得sina ，进而得到cosa，再用向量数量积公式求解.【题文】7函数在0，2上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（ ）af（1）f（）f（） bf（）f（1）f（）cf（）f（）f（1） df（）f（1）f（）【知识点】函数的单调性与奇偶性. b3 b4【答案】【解析】b 解析：因为函数是偶函数，所以函数关于直线x=2对称，所以，又因为函数在0，2上单调递增，所以，所以（）f（1）f（），故选 d.【思路点拨】由是偶函数得函数的对称性，根据对称性，把被比较大小的函数值，变换到自变量值在函数f(x)的同一单调区间上即可.【题文】8（原创）若点p是函数上任意一点，则点p到直线的最小距离为 ( ) a b c d3【知识点】导数的几何意义. b11【答案】【解析】a 解析：由（负值舍去），得曲线上切线斜率为1的点是（1,1），所以点p到直线的最小距离为，故选a. 【思路点拨】只需求曲线的切线斜率为1的切点坐标，此点到直线线的距离为所求. 【题文】9、（原创）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是 （ ） a.6，15 b.7，15 c.6，8 d.7，8【知识点】线性规划问题. e5【答案】【解析】d 解析：画出可行域如图四边形oabc内部(包括边界)，易得点b是最优解，而时，当b在线段bd 上移动，又b(1，2),d(0，4),代入得目标函数的最大值的变化范围是7，8，故选d. 【思路点拨】画出可行域，找出使目标函数取得最大值的最优解的点的集合.【题文】10. （原创）已知o为坐标原点，, ，记、中的最大值为m，当取遍一切实数时，m的取值范围是 （ ） a. b. c. d. 【知识点】向量模的坐标运算；向量模的最值. f2【答案】【解析】c 解析：因为，, ，所以，（1）当a=0时，m，（2）当a=7（a、b、c三点共线）时，则点p落在ab中点时，m取得最小值，,(3)当a0且a7时，p落在abc的外心q 时，m有最小值 q所在的直线与ab 垂直，故q 在直线y=x 上，若,则yx；当yx时到点c距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：，交直线y=x于p，当a=2时，m取得最小值，综上得：m的取值范围是，故选c. 【思路点拨】（1）当a=0(a、b、o三点重合)时，p是oc中点时，m最小；（2）当a=7（a、b、c三点共线）时，则点p落在ab中点时，m取得最小值；(3)当a0且a7时，p落在abc的外心q 时，m有最小值.三种情况下m均无最大值，故分类讨论出m的最小值，即可得到答案.【题文】二填空题：（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分） 【题文】11.在等比数列中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式_【知识点】等比数列的通项公式及前n项和公式. d3【答案】【解析】 解析：，所以.【思路点拨】利用等比数列的前n项和公式求得即可.【题文】12已知若，则_【知识点】向量垂直的性质；向量数量积的坐标运算. f4 【答案】【解析】-1或3 解析：，所以，又，解得：x= -1或x=3.【思路点拨】由向量垂直则它们的数量积为0，得关于x 的方程求解.【题文】13（原创）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 【知识点】基本不等式；不等式的解法. e3 e6【答案】【解析】 解析：正实数满足，即x+2y=4xy-4,不等式恒成立，即恒成立，变形得恒成立，即恒成立. x0,y0，4xy=x+2y+4 即或(舍去)，可得，要使恒成立，只需恒成立，化简得.【思路点拨】不等式恒成立，即恒成立，由基本不等式结合不等式的解法得，故只需恒成立，解关于a 的不等式可得结论.【题文】（14）（15）（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分【题文】14如图，pa是圆o的切线，切点为a，po交圆o于b,c两点，则= 。【知识点】切割线定理；直角三角形的性质. n1【答案】【解析】 解析：设圆o的半径为r，则由切割线定理得1，则op=2，连接oa ，因为oap是直角三角形，ap 是斜边中线，所以ab=bo=oa=1，所以oab=60，所以=. 【思路点拨】由切割线定理求得圆的半径，再由直角三角形的性质求出pab.【题文】15在直角坐标平面内，以坐标原点o为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点m的极坐标为，曲线c的参数方程为(为参数)，则点m到曲线c上的点的距离的最小值为 。【知识点】极坐标与直角坐标互化；参数方程与普通方程互化；两点间距离公式. n3【答案】【解析】 解析：点m的直角坐标为（4,4），曲线c的普通方程为：，曲线c是圆.m到圆心(1,0)的距离为，所以点m到曲线c上的点的距离的最小值为.【思路点拨】把点m的极坐标化为直角坐标，曲线c的参数方程化为普通方程，知曲线c是圆.根据m到圆上点的距离的最小值是：m到圆心距离减去半径得结果.【题文】16若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是_.【知识点】不等式有解得条件. n4【答案】【解析】 解析：设，则函数f(x)的值域为-3,3，因为不等式af(x)存在实数解，所以a-3.【思路点拨】关于的不等式存在实数解，则a 大于或等于|x+1|-|x-2|的最小值.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程【题文】17（本题满分13分）已知等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数。（1）求此数列的公差d；（2）当前n项和是正数时，求n的最大值【知识点】等差数列及其前n项和. d2 【答案】【解析】(1)-4;(2)12. 解析：（1）d为整数，（2） 的最大值为12.【思路点拨】(1)根据已知列出关于公差d的不等式组，解此不等式组即可；（2）由得n的范围，再由n是正整数得n的最大值.【题文】18. （本题满分13分）如图为的图像的一段（）(1)求其解析式；(2)若将的图像向左平移个单位长度后得，求的对称轴方程 【知识点】的图像与性质. c4【答案】【解析】（1）ysin；（2）x (kz). 解析：(1) 由已知图像得a=,由,且得 ，所以，所求解析式为ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kz)，则x (kz)，f(x)的对称轴方程为x (kz)【思路点拨】（1）由已知图像得a=, ，由,又得，所以ysin；（2）由（1）得f(x)= sin，再根据正弦函数的周期求函数f(x)的周期.【题文】19（本小题满分13分）已知函数图像上一点处的切线方程为()求的值；()若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围【知识点】导数的应用. b12【答案】【解析】() a2,b1；() 解析：解：(),.,且.解得a2,b1 (),设, 则,令,得x1(x1舍去). 当x时, h(x)是增函数；当x时, h(x)是减函数.则方程在内有两个不等实根的充要条件是解得【思路点拨】() 由 和 在直线上，得关于a、b的方程组，解此方程组得a、b值；() 设，利用导数确定函数h(x)在区间上的单调性，找到极值点，从而得关于m的不等式组，求得m范围.【题文】20（本小题满分12分）已知函数，在区间内最大值为，（1）求实数的值；（2）在中，三内角a、b、c所对边分别为，且，求的取值范围【知识点】三角函数单元综合. c9【答案】【解析】（1）-1；（2），（当为正三角形时，） 解析：（1）,当时，最大值为，所以（2），解得由正弦定理得：所以，（当时取最大值）所以，（当为正三角形时，）【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，把已知函数化为：f(x)= ,进而求得f(x)在区间内最大值+m+1=,所以m=-1；（2）由（1）得，再由正弦定理及等比定理得=，因为可得.【题文】21. （原创）（本小题满分12分）已知点点p在轴上，点q在轴正半轴上，点m在上，且满足,.(1)当点p在轴上移动时，求点m的轨迹方程c;(2)给定圆n: ，过圆心n作直线，此直线与圆n和（1）中的轨迹c共有四个交点，自上而下顺次记为a,b,c,d,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列，求直线的方程。【知识点】轨迹方程求法；直线与圆锥曲线；直线方程. h9 h8 h1【答案】【解析】（1）；（2）解析：（1）设，带入得。圆n：，直径，圆心，设的方程为带入得，设则，因为线段成一个等差数列，所以直线的方程为【思路点拨】（1）设出m、p、q的坐标代入,，求得点m的轨迹方程c；（2）设出直线的方程，代入m的轨迹方程c，由弦长公式得:,再由线段成一个等差数列得，解得，从而得直线的方程.【题文】22. （原创）（本小题满分12分） 已知数列满足：（1）求的通项公式； （2）求证：.【知识点】已知递推公式求通项；放缩法证明不等式. d1 e7【答案】【解析】（1）；（2）证明：见解析.