(李生华)几何概型教学设计.doc

课题： 几何概型教学设计厦门双十中学 李生华一、教材依据本节课是人教版普通高中课程标准试验教科书数学（必修3）第三章第三节几何概型（第一课时）。二、设计思想本课题的指导思想：1“几何概型”这一节内容是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。几何概型概念的引入过程就是问题解决的过程，以此为载体，提升学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。2 学习几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要。这充分体现了数学与实际生活的紧密关系：来源于生活，而又高于生活；同时说明了它在概率论中的重要作用，为高校的进一步学习奠定了基础。3、通过几何概型的学习，体会随机模拟中的统计思想。设计理念：通过恰时恰点的问题来引导思维，问题的设计有一定的思维梯度。几何概型这节课正是通过五个问题的不断解决来完成教学的。 三、教学目标：知识与技能：1、初步体会几何概型的意义；2、会运用几何概型的概率计算公式，求简单的几何概型的概率问题；3、让学生初步学会把一些实际问题化为几何概型，并进行分析、解决。过程和方法：1、通过游戏、问题和设问，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，并理解几何概型的概念。2、通过将一些实际问题转化为几何概型的解题过程，学会应用几何概型的概率计算公式解决问题，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识。情感态度与价值观：1、通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用；2、培养严谨的思维习惯。四、教学重点：理解几何概型的特点，利用几何概型的计算公式解决问题。五、教学难点：几何概型的判断和具有实际背景的随机事件与几何区域联系的建立；解题中准确确定几何区域D和与事件A对应的区域d，并求出它们的测度。六、教学准备（1）备课时三个问题的解决：第一，了解学情即这一届高二学生是厦门市最好的生源，初中的基础较扎实，素质较好，而且跟李老师的教学已有近一年了，平时课堂在创新上就有较多的实践机会；学生已有的认知结构是学习了两种方法计算随机事件发生的概率，一是通过做试验或用计算机模拟试验等方法得到事件发生的概率，以此来近似估计概率；二是用古典概率的公式来计算事件发生的概率，学生掌握得不错。第二，本节课的教学通过问题来引导思维，五个问题按一定的思维梯度来设计；第三，成立四人学习组和同桌两人学习组参与探求活动。 （2）课前用几何画板软件画出七幅图象。七、教学过程：（一）教学过程设计的基本思考1、注重探究过程基本知识点由学生探究得出结论，问题的设计注重于形成学生的认知冲突，最终又由学生来解决。2、注重探究方法创设五个问题情境，通过四人学习小组和数学兴趣小组同学来完成探究，从而掌握知识。3、注重探究手段用信息技术，即几何画板软件和画图工具画出七幅图象。（二）教学过程分析：1、问题的提出在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率了，怎么办？2、分析和解决问题给出五个问题，问题均由老师给出，学生进行探究和解决。3、情感体验由于新的问题出现，必然要研究新情况，探究新方法，从而突破解决。4、归纳总结本节内容所反映的数学思想方法。数形结合思想方法、了然与或然思想。（三）教学过程：1、创设问题情景，引入新课引言：前面我们已经学习了两种方法计算随机事件发生的概率，一是通过做试验或用计算机模拟试验等方法得到事件发生的概率，以此来近似估计概率；二是用古典概率的公式来计算事件发生的概率。 问题一（创新点）： 在区间0，4上任取一个整数，恰好取在区间1，3上的概率为多少？ 若x,y均从0，1，2，3，4五个整数中任取，组成25个点p(x,y)，求这些点p(x,y)恰是圆形区域(x,y)|边界或内部点的概率？（如图一）设计意图： 问题的设计在学生思维的“最近发展区”内。以题组的形式给出，分别设计了一维和二维空间古典概率模型。利用这题组复习古典概率的的特点和概率计算公式。事实上，学生们做出该题是没有问题的，这道题为下题奠定了基础。问题二：（创新点） 在区间0，4上任取一个实数，恰好取在区间1，3上的概率为多少？ 在正方形ABCD区域(x,y)| 0x4,0y4中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在圆形阴影区域(x,y)|的概率是多少？（图二） （图一） （图二）设计意图：在知识形成过程的“关键点”上提出问题二，此题的编拟与学生思维的“最近发展区”形成了认知冲突。学生会凭直觉猜想用长度来计算，用面积来计算，但不知所以然，这无疑为几何概念的引出铺垫了基础。老师适时地引出问题三。问题三（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少? （图三）设计意图：以学生做游戏为载体，问题来自于生活，如何解决?这就是所“需”。观察甲在哪种情况下获胜的概率大？为什么？通过分析这两个游戏，其一：此题的随机事件的发生应理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点，引导学生初步体会把具有实际背景的随机事件与几何区域联系在一起（创新点）；其二：针对问题一的概率计算和问题二概率计算的猜想，引导同学们思考：对于 “无限性”类问题，其概率的计算公式是什么呢?同学们自然会联想到面积等测度,把上述几何图形的测度的比值求定义为问题二的概率就显得合理。(过渡自然)老师此时引导学生给这类新的概率模型命名,并引出今天的新课课题几何概型.2、建构概念：（）几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.（）几何概型的基本特点：）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；）每个基本事件出现的可能性相等（）几何概型的概率公式：一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域内为事件，则事件发生的概率P（A）=设计意图：通过对比、归纳，将新的知识建构到旧的知识系统，完成知识的延伸。3、例题：例1： （1）. 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.（图四）分析: 收音机每小时报时一次，某人午觉醒来的时刻在两次整点报时之间都是等可能的，且醒来的时刻有无限多个的，因而适合几何概型。设A=等待的时间不多于10分钟.事件A发生：打开收音机的时刻恰好位于50,60时间段内。（2）如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，假设细菌到任意区域的可能性相同。用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率。（图五）设计意图：例题的选择贴近学生实际，入手比较容易；从时间长度，实物长度，面积，体积等各个度量上认识几何概型；通过解决一些实际问题，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法。例2：再回首问题三，刚才同学们利用了长度（弧长）和面积两种测度，同学们思考，还可以用测量几何区域的什么度量来计算？四人研究小组一起把多种解法进行归纳，并由一位同学作中心发言人。设计意图：在数学知识之间联系的“联结点”上提出例1，利用上述公式计算并解释为什么甲获胜的概率是一样的。 法一（利用B区域所占的弧长）：法二（利用B区域所占的面积）：法三（利用B区域所占的圆心角）：方法三设计意图（创新点）：指针在转盘的圆心角的任一位置都是随机的，都是等可能的，故选择圆心角作为问题解决的切入点是可行的，这样测量几何区域的尺度除了前面介绍的长度、面积、和体积外，角度也可以；这样既拓展了概念的外延，又为问题四的探究奠定概念基础，这也是新教材处理中值得商榷的地方。4、探究发现问题四：在等腰直角三角形ABC中，（1）在斜边AB上任取一点M，求AM的长小于AC的长的概率？（2）过直角顶点C在ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率？设计意图：这是一道值得探究的好题。解答本类题的关键是将基本事件的全部及其事件包含的基本事件转化为相应线段的长度和区域角等测度。第（2）问引导学生为什么选择区域角，而不是线段的长度呢？其错误的本质原因是什么？区域角的任一角度所对的边长在直角三角形ABC中是不同的，故造成非等可能处理。5、思维提升、发散问题五（创新点）：请同学们再回首问题一和问题二，如果把圆形区域的实线部分改为虚线表示，分别求p(x,y)恰为圆形区域整点的概率和黄豆落在阴影部分区域的概率？ （图六） （图七）设计意图：在数学问题变式的“发散点”提出问题五，与问题一、二首尾呼应。很明显，学生会认为由于虚线的原因造成问题一的答案会改变，而问题二的答案则猜想不会变，老师把握契机追问为什么？引导学生知其所以然。通过此题，引导学生理解事件的区域和一个单点有关的特殊情况。如果随机事件A所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0即p(A)=0,但它不是不可能事件。设问：又请同学们想一想，若p(A)=1,，它是不是必然事件呢？（此时教师要大胆放手，由学生进行总结几何概型与古典概型的区别与联系）6、小结：（1）通过五个恰时恰点的问题来引导思维，通过五个问题的不断解决来完成教学。（2）通过实例分析了几何概型的特点，给出了几何概型的概念及其概率的计算公式。（3）本节课用到的数学思想方法：数形结合思想方法、了然与或然思想方法。（4）四人学习小组课后探究题（下节课时请每一组的中心发言人汇报）：ABCD如图八，在边长为4的正方形ABCD区域中， 给出一个不规则的图形，请同学们设计一种方法并由模拟实验算出黄色阴影部分面积？ 设计意图：在数学学习最终回归生活问题解决的“应用”上提出课后探究题，为下节课的教学埋下伏笔。（5）板书设计。课题：几何概型1、几何概型的定义： 2、几何概型的特点：- 问题分析区域或学生解答区3、几何概型的概率公式：4、几何概型与古典概型的区别八、教学反思：反思一：课堂教学通过问题来引导思维，问题的设计要有一定的思维梯度，学生的问题掌握主要通过思维冲突的解决来实现。本节课设计了五个问题，问题一符合学生的“最近发展区”，不难解决；问题二形成认知冲突，学生会猜想如何做，但不知所以然；问题三以学生做游戏为载体，比较甲在哪种情况下获胜概率大？通过分析这两个游戏，其一：此题的随机事件的发生应理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域内的点，引导学生初步体会把随机事件与几何区域联系在一起；其二：与古典概型进行特征比较，找出本节课所要研究的模型几何概型，过渡自然，当然会引人入胜；问题四是一道值得探究的好题，解答本类题的关键是将基本事件的全部及其事件包含的基本事件转化为相应线段的长度和区域角等测度 ，如何选取才能体现等可能呢，引导学生把握不管古典概型，还是几何概型，基本事件发生的等可能性是关键点；问题五的设计是在变式的“发散点”提出，与问题一、二首尾呼应，引导学生理解事件的区域和一个单点有关的特殊情况，从而比较几何概型与古典概型的异同点，最终把握几何概型概念的内涵和外延；在数学学习最终回归生活问题解决的“应用”上提出课后思考题，通过用模拟的方法解决不规则图形的面积问题让学生掌握几何概率的计算公式，并学会解决生活中的问题。五个问题及课后思考题各有各的功效，学生听完课后反响很大，认为李老师的课上得很自然，很有“数学味”。反思二：如何把握好新课的引入？笔者对新课程实施着重在创设有助于学生学习的有效情境方面做了积极的探索和实践，本节课要使学生不断地产生学习意向，引起学生的认识需要，就要创设出一种学习气氛，使学生急欲求知，主动思考；因此设置出有关的问题和操作，利用学生已有的知识经验和认知结构，造成认知冲突，达到了良好的教学效果。当然，这堂课教学后对学生进行回访，分析得与失，有部分学生感觉课上得有点快，特别是问题一和问题二题目虽好，但阅读的时间较长，会把注意力分散，希望老师上课前打印出来发给学生，效果更好的，我接受学生提出的中肯意见。反思三：充分发挥四人学习小组和数学兴趣小组的功能，让学生大胆展现其智慧成果。反思四：迎着困难上是教师专业成长的关键。问题一是我在备课组发言时提出的，起初我是这样设计：在正方形ABCD整点区域(x,y)| 0x4,0y4，中随机撒一粒黄豆，假设黄豆均落在整点（即横、纵坐标均为整数）位置上，则黄豆恰落在圆形区域(x,y)|整点的概率是多少？备课组老师听了后提出，