不尽相同的理念+风格迥异的设计——兼对高三数学复习的宏观思考.pdf

2 4 数学通报 2 0 1 4 年第5 3 卷第4 期 不尽相同的理念风格迥异的设计 兼对高三数学复习的宏观思考 连春兴1 王 坤2周晓知3 1 北京教院丰台分院1 0 0 0 7 3 2 北京第八十中学1 0 0 1 0 2 3 湖北宜昌枝江一中4 4 3 2 0 0 笔者最近在湖北省宜昌市枝江一中观摩了两 节高三数学复习课 针对 解三角形 的复习 同课 异构 精彩纷呈 限于篇幅 择要进行比对 不当之 处请同行指正 1 对两节课不同维度的评析 1 1 温故知新与问题导学 解三角形复习 离不开对基本工具 正弦定 理 余弦定理 的复习 对此两位老师有着不同的 处理 周晓知老师利用身居本校的优势 让学生以 学案为索引 秉持 学生不练 教师不讲 的做法 课前完成知识梳理 即在学案中呈现正弦 余弦定 理 要求学生完成各种变形填空 然后再通过一组 双基自测 题 达到温故知新的目的 上课伊始 学生分组交流自测结果 题目如下 1 三角形中边角的判断 在A A B C 中 A B 铮a b 甘s i nA s i nB 在A A B C 中 s i nA s i nB s i nC 一3 2 4 则最大内角的余弦值为一 在A A B C 中 若半 学 则B 的值 为4 5 2 三角形解的个数的判断 在A A B C 中 若A 一6 0 矗 4 3 b 一 4 抠 则B 等于4 5 或1 3 5 在A A B C 中 若A 6 0 口一2 3 c 一4 则 此三角形有两解 在A A B C 中 b s i nA 口 6 则此三角形有 两解 3 三角形形状的判断 在A A B C 中 若s i nA s i nB a 2 则此三角形 是锐角三角形 王坤老师则在课前下发一组解三角形的题 目 尽力要求学生解答 课上反馈解答情况 以了 解学生对正弦定理 余弦定理的掌握程度 由于是 借班上课 学情不熟 此举有投石问路之意 题目 如下 在A A B C 中 内角A B C 的对边分别为a b c 1 A 2 詈 B 一号 b 万 求a l 2 A 一要 吐 捂 6 一万 求B 3 A 一詈 a 1 0 c 1 0 捂 求b 4 A 一詈 a f 1 0 求6 5 A 一詈 6 2 c 3 求c o sB o 两位老师在学案上分别对正弦 余弦定理呈 现与否是有意而为 王老师不呈现定理 试图让学 生通过对问题的检索 选择问题解决的策略 加大 了思维力度 起到问题导学的作用 周老师呈现定 理使学生自然地 温故 再通过解决一定量的变 式应用而 知新 处理方式虽有区别 但他们都置 学生于学习的主体地位 从听课现场反应出的情 况看 二者并无明显差异 这说明 温故知新 和 问题导学 这一对传统与现代的教学理念可以 并行不悖 1 2 加强综合与舍末求本 从两位老师的课前训练内容看 已见两位老 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第4 期数学通报 2 5 师在适度综合与突出主干方面的差异 如在周老师布置的 自测题 中 综合了三角 形中边角的判断 三角形解的个数的判断和三角 形形状的判断 特别是 3 中的 题 由 b 2 C 2 n 2 据余弦定理可判A 是锐角 但要否定此三角 形是锐角三角形 可能需要举反例 如取 a C 1 6 一 3 满足题设 b 2 c 2 盘2 但显然B 为钝 角 对学生综合能力的要求较高 在例题与练习的 选配中也有同样要求 如 例1在 A B C 中 口 6 C 分别是角A B C 的对边 口 s i nB s i nC s i nA s i nB 6 s i nB s i nC s i nA 且a 矗 0 则C 变式 1 在A A B C 中 B 一詈 A C 一 3 则 o A A B C 周长的取值范围为 如果A A B C 是锐角三角形呢 变式 2 在A A B C 中 若a b C 成等差数列 则B 的范围为 若a b C 成等比数列呢 例1 利用向量的数量积运算公式及正弦定理 得n 2 b 2 一c 2 a b 再据余弦定理得c 一詈 变式 o 1 2 更从一般三角形到锐角三角形 从等差数 列到等比数列 连贯自然 搭配有度 其中涉及辅 助角公式 三角形内角范围 函数单调性 函数值 域 不等式组 等差 比 中项 均值定理等知识 综 合性较强 而王老师的课 不仅课前练习只涉及解三角 形 在课上例题与练习的选配上 也体现出舍末求 本的理念 如 例1 A B C 的内角A B C 的对边分别为 口 n b c a c o B b c o sA 一詈c 求证 0 0 1 a 2 一b 2 f 2 0 2 t a nA 一4 t a nB 变式 A A B C 中 若口一b c o sC c s i nB 求B 例1 的设计 试图使学生洞悉正弦 余弦定理 除解三角形外 在解决综合问题时 还有两个基本 的变形方式 试想 从题干 a c o sB b c o sA 一 0 菩c 出发 我们既可以利用正弦定理 把等式化为 J 角的关系 也可以逆用余弦定理 把等式化为边的 关系 而两个证明题支决定了变形方向 此题起点 虽低 却体现出王老师帮学生巩固基本技能 树立 解题目标意识的高立意 放在例1 的位置 又为后 续例题 练习题奠基 学生可趁热打铁解决变式 分别用正 余弦定理均可解出B 自然起到了固 化 双基 的作用 1 3 巩固技能与突出主干 两位老师在后续例题的设计上 也表现出教 学理念的些许差异 先看周老师的设计 例2 在 X A B C 中 n b f 分别为角A B C d 一厶 的对应边 若s i n 2 等一 则 A B C 的形状为 变式 在A A B C 中 若 n 2 6 2 s i n A B 一 口2 6 2 s i n A B 则三角形的形状是 例2 需要由半角公式 把题设化为 C C O SA b 之后若用正弦定理 即可转化为角的关系 s i nC c o sA s i nB s i n A C 然后运用和角 公式即得s i nA c o sC 一0 于是可判C 一9 0 若用 余弦定理 即可转化为边的关系 口2 b 2 C 2 结 论同上 而变式的解决 在运用和 差角公式并化 简得 b 2s i nA c o sB 口2C O SA s i nB 后 综合运用 正弦定理 边化角 或余弦定理 角化边 可分别 得到 s i n2 A s i n2 B 或 口2 一b 2 口2 b 2 一f 2 o 于是 均可得等边或直角三角形的判断 综上 所述 例2 及其变式的解决 依然没有离开正 余 弦定理两种基本的变形运用形式 从中体现出周 老师 巩固技能 的用意 而王老师例2 例3 及其变式的设计 却体现 出突出主干的特色 如 例2已知n b c 分别为A A B C 三个内角 A B C 的对边 若6 C 一2 a 3 s i nA 一5 s i nB 则 角C 一 变式 在A A B C 中 若b 2 一a c c o s A C 2 C O SB 一詈 求B 厶 例3已知a b C 分别为A A B C 三个内角 A B C 的对边 若口c o sC 3 口s i nC 一6 一c O 1 求A 2 若n 一2 A A B C 的面积为 3 求b c 变式 在A A B C 中 a C 6 b 2 C O SB 万方数据 2 6 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第4 期 求口 c 的值 例2 及其变式都涉及利用角的函数值求角的 问题 同时也都体现出方程组模型的运用 利用正 弦定理变换 例2 的两个题设条件可转化为由两 个方程构成的三元 口 6 c 一次方程组 总可实现 其一表示其二的目的 于是 利用余弦定理 C O SC 约分得解 其变式依然可把题设转化为两个方程 s i nA s i nc s i n 2 B s i nA s i nc 联立的方程 组 整体换元后 易得B 一詈 据题设 舍弃B 扣 例3 的 1 题可利用正弦定理 两角和的正弦 公式 辅助角公式 把题设化简为三角方程 2 s i n A 要 1 于是得A 6 2 题把三角形 面积公式与余弦定理联立 并在解方程过程中用 到整体消元 代换 同样强化了方程思想的运用 相应变式的解决把解方程组的技能提升到新的层 次 首先用余弦定理 c o sB c z 1 a z b z 一百7 并 化简得c 2 口2 6 2 芸口f 再由口 c 6 及6 2 得f 2 a 2 一b z 3 2 2 a c 联立 可得 芸a c 3 2 2 a c 口c 一9 进而口一f 3 正弦定理 余弦定理在给我们提供了两个解 三角形的重要工具的同时 还为我们提供了重要 的方程模型 王老师正是抓住了这一数学主干知 识与思想方法设计例题 通过例1 例2 例3 及其 变式的搭配 将 方程 主元 模型 等一般解题策 略融人其间 体现了数学解题从目标人手 从条件 人手 从目标 条件同时入手的常见思路 凸显了 削枝强干 渐次提升的设计理念 2 对高三复习的宏观思考 周 王两位老师的课 都获得了听课教师的一 致好评 究其原因 除了他们都坚持 先学后导 关注学生的学习行为外 还有他们的例题和变式 训练题都选配得较恰当 这对调动学生积极性 培 养学生能力都有好处 也有利于发挥教师的示范 作用 但不容讳言 两位老师在课堂上却表现出 不尽相同的教育理念 由此导致了风格迥异的教 学设计 这样做 他们都基于自己对数学的理解 对学生基础的评估 虽有差异 但也各有道理 从枝江一中学生优异的课堂表现看 周老师 高起点 大综合 反复巩固技能 的授课风格也许 是合适的 但着眼全国更大的范围来思考 王老师 的课 低起点 强主干 渐次提升技能 的授课理念 也有合理性 笔者由此联想到对高三复习的系统 思考 从目前中学教学实际看 一个不争的事实是 三年功课两年完 留下一年做复习 我们无意评判 这样做的合理性 我们只想尊重现实 把一年复习 时间充分利用 提升教学效率 2 1 要区分高三不同轮次复习的目标定位 当前各校通常的做法是 把高三复习分为 9 月至1 2 月 2 月至4 月一模前 4 月至六月高考 前 三个轮次 如果三个轮次不作区分 胡子眉毛 一把抓 势必导致 夹生饭 反复炒 必然影响复习 效果 笔者的思考是 复习好比 盖大楼 第一轮复 习的功能相当于 打地基 侧重整体布局 构建知 识网络 复习着眼点要强调知识的结构性把握 克 服 见木不见林 弊端 要实现这样的预期 就应该 强调用简单问题反映基本规律 思想方法 控制习 题难度 降低综合性 深化基本概念的理解与落实 通性通法 以帮助学生强化 战略上藐视敌人 的 信心 第二轮复习的功能相当于 建主体 通常 以专题形式复习 通过解一定量的综合题 达到巩 固知识 熟练技法 提炼思想 发展能力的目的 从 心理上帮学生树立 战术上重视敌人 的观念 第 三轮复习相当于 精装修 通常围绕模拟考点进 行比较深入细致的讨论 同时注意查漏补缺 根据 模拟考试的情况 加强教学诊断 对同学实施有针 对性的考前辅导 培养仔细严谨 有错必究的思维 品质 所以 三个轮次的复习要目的要求不一 内 容错落有别 难度循序渐进 而不能简单地重复 基于这样的思考 一轮复习很关键 制约着后 续复习的效果 所以 复习目标宜实不宜高 除结 构上把握不同内容的知识体系 洞悉各知识板块 的基本思想方法外 还要刻意培养学生落笔有据 会而必对的思维品质 凭借严密的思考 规范的表 达 会到哪做到哪 不会不做心里不慌 这是着眼 于素质教育的理念 不论学生基础 都应尽力达到 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第4 期 数学通报 2 7 的基本要求 而在能力培养方面 则应针对学生熟 悉的题型可产生本能的反应 对不熟悉的题型很 难做到具体问题具体分析 束手无策的教学现状 着力培养学生面对陌生的问题情景 挖掘隐含信 息 综合运用数学知识解决问题的心理素质和 能力 2 2 如何在解三角形中体现一轮复习的特色 解三角形内容比较简单 一轮复习在 控制习 题难度 降低综合性 方面空间不大 但在强调知 识的结构性把握方面 还是有可为的 2 2 1把解直角三角形与解斜三角形问题整合 从数学发展史看 解三角形的知识与方法必 然是从解直角三角形开始的 对于解任意三角形 我们肯定经历了通过作垂线 化斜为直 把任意 三角形转化为直角三角形来解的历史进程 正 余 弦定理必然是解直角三角形 工具 技术革新的 产物 所以 教学中我们一定要引导学生看到正 余 弦定理给我们带来的计算优势 尽享 革新 后的 1 便捷 例如 在 X A B C 中 A 3 0 口一 c 5 求 厶 b 此题若利用 化斜为直 的方法 势必遭遇 过点 B 向线段A C 引垂线 不知垂足是在A C 上 还是 在A C 延长线上 的麻烦 但若利用正弦定理 据 未 一未L 立得 s i nC 一1 于是 毫无悬念 地得到C 9 0 进而得b 5 3 另一方面 我们 也要看到 学生面对解三角形现实的问题情境 思 维返璞归真 化斜为直 依然可能是问题解决的 最佳策略 例如 在 A B C 中 a 8 b 1 0 A B C 的 面积为2 0 3 则 A B C 中最大角的正切值 此题的正确答案有两个 一万 詈瓶在解题过程中 同 学比较容易由面积公式得出 s i 行c 雩 所以c 一号或吾兀 当c 詈7 时 最大角就是C B 6 l 1 6 0 A a 8D C 所以t a nc 一一 3 但当c 一等时 因为6 口 所以 最大角是B B 如何求 如果运用余弦定理得出 C 再用正弦定理得s i nB 或用余弦定理求 C C O SB 最后推出t a nB 姜 3 方法虽然无误 但 却可能由于运算环节太多 造成五花八门的错误 事实上 学生 过点A 作线段B C 边上的高 如 图