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习题解答及练习习题解答及练习 第一章第一章 绪论绪论 1 1 基本概念基本概念 一一 题解题解 一 判断下列微分方程的阶 1 2 5 x yxye 1 22 sin 1 tyt ytytt 3 2 1 n n d y y dx 4 4 2 sin0 yxyx yxyy 解 1 三阶 2 二阶 3 阶 4 四阶 n 二 判断 2 xx y xexe 0是否是方程2yyy 的一个解 解 求出的一阶 二阶导数为 y x 2 xxxx xxxx y xeexeexe y xeexexe x 0 x 将其代入微分方程得 22 2 xxxxx yyyxeexeexe 其中所以 是该方程的一个解 它的定义区间为 x y x 三 判断是否为方程 1y x 2yyy 的一个解 解 由得对任意区间都有 1y x 0 0 y xyx x202 011yyy 所以 1y x 不是该方程的解 四 证明在区间 0lny x 上是方程0 xyy 的一个解 而区间 不是它的定义区间 证明 当时 0 x 2 1 yy 1 xx 将其代入微分方程 得 2 11 0 xyyx xx 所以 是该方程在区间 0lny x 上的一个解 因为负数及零的对数无意义 所以区间 不是解的定义区间 五 求初值问题的解 已知其通解为0 3 2yyy x yCe 其中C为 任意常数 解 因为对任意C的值 x yCe 均为此微分方程的解 所以可以利 用初始条件来求的值 由C 3 3 2 yCe 得将的值代入通解 得到该初值问题的解 3 2 Ce C y x 3 2 x yex 六 求边值问题40 0 86 yyyy 1的解 已知其通解为 12 sin2cos2 y xCxCx 解 将边界条件0 1 86 yy 代入通解中 得到方程组 12 12 22 0 22 31 1 22 CC CC 解此方程组 得到 12 31 CC 将其代入得到 y x 31 sin2cos2 y xxx 即为此边值问题的解 1 2 导出微分方程的实例导出微分方程的实例 一一 几何问题几何问题 例 1 在xoy平面上求有下列性质的曲线的方程所满足的微分方程 它 上面任一点的切线均与过坐标原点O与该点的直线垂直 P x yP 解 设所求的曲线方程是 yy x 过点曲线的切线的斜率为 P x y dy dx 又的斜率为OP y x 因切线与OP垂直 它们的斜率成负倒数 即有 1 dy y dx x 或 dyx dxy 此即为所求的曲线方程所满足的微分方程 例 2 一曲线 其上每一点的切线的斜率为该点横坐标的二倍 且通过 点求此曲线的方程所满足的微分方程及定解条件 3 4 P 解 设曲线方程为曲线在其上任一点的切线的斜率为 yy x P x y dy dx 依题意可得 2 3 4 dy x dx y 即为所求的微分方程及定解条件 例 3 求下列曲线族所满足的微分方程 1 2 sin yxCC 为参数 2 yCxCC 为参数 C 3 4 22 1 xayba b 为参数 1 xx yaebexa b 为参数 解 1 1 sin yx x求导得 对 cos yx C 2 取 1 2 的平方和得 22 1yy 此即为曲线族 1 所满足的微分方程 2 2 yCxC 3 4 yC 把 4 代入 3 得 2 yxyy 此即为曲线族 3 所满足的微分方程 3 5 22 xayb 1 两边对x求导得 2 2 0 xayb y 6 6 式两边再对x求导得 2 22 2 0yb yy 7 由 7 得 2 1y yb y 8 由 6 得 2 1yy xa y 9 将 8 9 代入 5 并整理得 3 2 2 1yy 此即为曲线族 5 所满足的微分方程 4 1 xx yaebex 10 11 1 xx yaebe xx yaebe 12 由 10 12 得 1yyx 此即为曲线族 10 所满足的微分方程 二二 物理及其它问题物理及其它问题 例 1 设质量为的物体 在时刻m0t 时自由下落 在空气中受到的阻 力与物体的速度成正比 试建立受空气阻力的自由落体运动规律所满 足的微分方程 解 将质量为的物体视为一个质点mM 设 x t为 时刻质点tM下落 的距离 则质点下落的规律为 xx t 而质点M下落的速度为 dx v dt 加速度为 2 2 dvd x a dtdt 质点的运动规律应服从牛顿第二定律 即其中表示外力总和 由于质点 Fma FM所受力有重力和空气 阻力 mg dx k dt 于是有 2 2 d xdx mk dtdt mg 这就是受空气阻力的自由落体运动规律所满足的微分方程 例 2 考虑一物质A经化学反应 全部生成另一种物质B 设A的初始 质量为10公斤 在一小时内生成B物质 公斤 试求物质3B的质量所 满足的微分方程 这是化学问题 它遵循质量作用定律 化学反应的速度跟参与反应的 物质的有效质量或浓度成正比 设x表示在 时刻所生成tB物质的质量 则10 A Mx 是t时刻A物 质参与反应的有效质量 按上述定律有 0 0 AA AA dMdM kMkM dtdt 01 解 用常数变易法 得到通解为 exp exp yxCQ xx dx 即代入初始条件后得到 1 exp 2exp 01 exp 1 xCxx y Cxx 0 0y 2 C 即则有 2 1exp 01 yx x 1 2 1exp 1 y 本题要求连续解 即应有 1exp 1 1 2 1 exp 1 Cy 求出 1 2 e 1 C 所以 所求的连续解为 2 1 01 2 1 exp 1 expxx y exx 11 4 20 dy xyxy dx 解 这是的伯努利方程 作下列变换 4n 3 zy 代入原方程 得到 63 dz xz dx x这是以 为未知函数的线性微分方程 它的通解为 z exp 6 3 exp 6 zxdxCxxdx dx 整理得到 2 1 exp 3 2 zCx 代回原变量 得到原方程的通解 2 3 11 exp 3 2 Cx y 即 1 3 2 1 1 exp 3 2 y Cx 此外 还有特解 0 y 12 2 1 exp 3 dy yx dxx 解 设 则方程可化为 exp u y 2 2 3duuu dxxx 这是的伯努利方程 作变换2n 1 zu 并用 11 的 方法得到原方程的通解为 3 2 2 exp 2 x y Cx 13 设 12 y xyx是方程 yp x yq x 的两个不同的解 求证它的任 意一个解满足恒等式 yy x 1 21 y xy x KK yxy x 为常数 证 由通解公式知 exp exp yy xp x dxCq xp x dx dx 1 其中C为对应的某任意常数 y x 12 y xyx也应 1 来表示 设它 们对应的任意常数分别为 1212 C CCC 且 则由 1 式得到 11 2121 y xy xCC K yxy xCC 2 4 黎卡提方程黎卡提方程 求解下列方程 14 22 42xyyxy 0 解 将方程改写为 2 2 42dyy y dxxx 这是黎卡提方程 它有特解 1 2 y x 作下列变换 2 yz x 代入原方程得 2 dz z dx 两边积分得 1 xC z 此外 0z 也是一解 代回原变量 得到原方程的解为 21 yy 2 xxCx 15 22 1 2yyxy x x 解 这是黎卡提方程 它有特解 2 1 1y 作下列变换 2 1yz x代入原方程得 2 1 dz zx dx 2 z 1 这是伯努利方程 再作变换 1 u z 代入方程 1 后得 2 1 1 du x u dx 用线性方程的求解方法求出该方程的下列解 22 exp exp 33 x uxCx x dx 代回原变量后达到原方程的下 列形式解 2 22 2 exp 3 1 1 exp 3 x x yxyx x Cx dx 2 5 全微分方程与积分因子全微分方程与积分因子 x有关 一 积分因子仅与 16 443 xydxxy dy 0 3 解 44 M x yxyN x yxy 33 4 MN yy yx 所以 33 3 4 MN yyyx Nxy 5 x 这样 原方程有积分因子 5 5 exp xdx 1 xx 原方程两边乘以 5 1 x 得到全微分方程 43 54 0 dxyy dxdy xxx 因而方程的通解为 4 4 ln 4 y xC x 二 积分因子仅与有关 y 17 cot2 cos 0 xx e dxeyyy dy 解 cot2 cos xx M x yeN x yeyyy 0 cot x MN e yx y得到 cot cot x x MN eyyx y Me 原方程有积分因子 exp cot sinxydyy 原方程两边乘以sin得到全微分方程 y sincos sin20 xx eydxeyyydy 因而方程的通解为 11 sincos2sin2 24 x eyyyy C 二 积分因子仅与 x y有关 18 322 53 37 0 xyy dxxxydy 解 把原方程重新组合 232 53 37 0 xydxx dyy dxxy dy 对第一括号 可取 1 2 1 x y x y 乘第一括号得 53 53 ln dxdydx y xy 这样第一括号的积分因子通式为 53 1 2 1 x y x y 同理第二括号乘 2 3 1 x y xy 得 37 37 ln dxdydx y xy 这样第二括号的积分因子通式为 37 2 3 1 x y xy 试求使 1 2 5337 12 23 11 x yx y x yxy 12 uuvv设 既有 5337 23 11 xyx x yxy y 得到 5231 3173 解得此方程组 1 2 于是得到原方程的积分因子为 11 22 x yx y 以 11 22 x yx y 乘原方程的两边得到 5337 2222 2 2 0dx ydx y 于是方程的通解为 5337 2222 2 x yx y C试证 19 设函数 f ug u连续可微 且 f ug u 试证方程 0yf xy dxxg xy dy 有积分因子 1 xyf xyg xy 证明 用 乘方程两边 得到 0 f xyg xy dxdy x f xyg xyy f xyg xy 1 因为 f xyg xy M x yN x y x f xyg xyy f xyg xy 2 1 M x yN x y yx fxy x f xyg xyf xy x fxyg xy x f xyg xy 2 fxy g xyf xy g xy f xyg xy 所以 1 是全微分方程 2 6 一阶隐式微分方程一阶隐式微分方程 20 2 3 41yy y 解 将原方程两边开方 得 2 1 21yy y 当时 分离变量 得 0 1yy 2 1 21 dy dx y y 两边积分 得 1 1xC y 两边平方 整理得通解 2 1 1 y xC 此外 0 1yy 也是方程的解 21 2 ln yxyxxy 解 设 dy p dx 原方程化为 2 ln yxpxxp 1 两边关于x求导 得到 22 lnln22 dpdp pxxpxpxppx dxdx 化简后得到 ln20 dp xxpxp dx 由此得到 ln 2 x p x 或 dp xp dx 把 ln 2 x p x 代入 1 得到原方程的一个特解 21 ln 4 yx 由方程 dp xp dx 解得 C p x 代入 1 得到原方程的通解 2 ln yCxC 22 2 21yxy 0 解 解出x 并令 dy p dx 得 1 22 p x p 两边关于求导 得到y 2 111 22 dpdp pdyp dy 整理得 2 1 2 p dpdy p 两边积分 得 2 1 ln 42 p pyC 因而 得到原方程的下列参数形式的通解 2 1 22 1 ln 42 p xp p p yp C 第三章习题解答及练习第三章习题解答及练习 设有 yxf dx dy 2 RG 结论 1 GCyxf在 G 内处处至少有一解 2 在 G 内关于 y 具有 L 条件 或有局部的 L 条件 或 yxf y f 有界 或 GC y f 在 G 内处处至多有一解 在假设 1 2 下 的解可以延拓至饱和 解 的解对初值具有连续依赖性 和可微性 条件 2 中取 GC y f 例 1 设 且Gp 0 0 p y f 则在 G 内关于 y 不具有 L 条件 yxf 解 反设在 G 内关于 y 具有 L 条件 yxfGyxp 000 那么 L const 0 使 对 0 yxp 00 yxpG 有 0000 yyLyxfyxf 即 L L yy yxfyxf 0 000 L L y f yy yxfyxf p yy 0 0 0 000 lim 矛 盾 例 2 设有连续性 也可有解 例如 y xdx dy1 y 0 0 有解 y kx Rk 但y x yxf 1 在 0 0 处不连续 例 3 设有 L条件 解也可唯一 例 如 00 0ln y yyy dx dy 0 0 xy 有 解Dx 0 0 0 y 0 0lnlim lim 0 00 xfyyyxf yy 连续 0y y f 设有 L条件 但 y 0 时有通解 y x ce ey0 x ce ey0 x ce ey 方程 在处仅有一解 此方程有奇解 0 0 x0 y 例 4 仅有连续性还不足以保证解的唯一性 例如 3 1 y dx dy y 0 0 2 3 1 RCyyxf 显然0 y与 2 3 xy 是其 解 例 5 设 yxf dx dy 其中 21 RCyxf 0 0 yxf 此方程有非常数解 使 xy 0 lim 0 yx xx 则 0 x 证 假设 0 x 则为有限点 00 yx lim 00 0 xyx xx 故 为过点的解 非常数 另一方面 xy 00 yx0 0 y xf 0 yy 也是过的解 即 方程有两个解过点 因为 00 yx 00 yx 21 RCyxf 方程在 2 R内处处有唯一解 从而出 现矛盾 例 6 n y dx dy y 0 0 1 当 0 n 1 时 解不唯一 2 n1 时 解唯一 3 对 2 1 n n 1 求解 解 显然连续 1 n yyxf n n y n ny y f 1 1 在 y 0 时不连续 解可能不 唯一 显然与都是其解 故解不唯一 0 yxny n 1 1 2 1 n n