试论数学反例及其构造.pdf

收稿日期 2003 05 15 作者简介 冯素芳 1966 女 首都师范大学应用数学专业毕业 讲师 试论数学反例及其构造 冯素芬 北京工业职业技术学院 北京 100042 摘 要 学会构造反例是一种重要的数学技能 应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中 以期培养学生合理怀疑的 批判精神0 为创新教育作一些尝试 关键词 数学反例 创见学习 反例构造 中图分类号 G642 41 文献标识码 B 文章编号 1671 6558 2003 03 55 03 On Maths Anomaly and its Construction Feng Sufen Beijing Vocational innovation study anomaly construction 数学中的反例 是指出某数学命题不成立的例 子 它是相对于数学命题而言的具体的实例 是反 驳与纠正错误数学命题的一种方法 重要的反例往 往会成为数学殿堂的基石 因为反例是相对于命题而言的 所以对反例进 行分类时 也从数学命题的不同结构以及条件 结论 之间的关系中进行归纳与划分 按照这种方式 数 学中的反例可以划分为三种类型 1 1 基本形式的反例 数学命题有以下四种基本形式 全称肯定判断 全称否定判断 特称肯定判断 特称否定判断 其 中 一与四 二与三是两对矛盾关系的判断 遵循这 矛盾关系的判断之实例可以互相作为反例 例如 费尔马曾猜想 对任何非负整数 n 形如 22 n 1 的 数都是素数0 这是全称肯定判断 所有 S 都是 P 但以后 欧 拉举 出反 例 当 n 5 时 22 5 1 4294967297 641 6700417 是合数 这特称为否定 判断 有 S 不是 P 这样费尔马猜想就不能成立 1 2 关于充分条件假言判断与必然条件假言判断的 反例 充分条件的假言判断是判断某事物情况是另一 事物情况充分条件的假言判断 可表述为 P y q 即 有前者 必有后者0 但是 没有前者 不一定没有 后者0 可以举反例 没有前者 却有后者0说明之 这种反例称为关于充分条件假言判断的反例 必要条件的假言判断是断定某事物情况是另一 事物情况必要条件的假言判断 可以表述为 P z q 即 没有前者 就没有后者0 但是 有了前者 不一 定有后者0 可以举反例 有了前者 没有后者0说明 之 这种反例称为关于必要条件假言判断的反例 第 2 卷 第 3 期 2003 年 7 月 北京工业职业技术学院学报 JOURNAL OF BEIJING VOCATIONAL TECHNICAL INSTITUTE OF INDUSTRY l 2 Vol 3 Jul 2003 例如 级数 r n 1an 收敛则 lim ny an 0 但一般项趋于 零只是级数收敛的必要条件 可以举反例 r n 1 1 n 的 一般项 1 n y 0 n y 但 r n 1 1 n 发散 1 3 条件改变型反例 当数学命题的条件改变 增减或伸缩 时结论不 一定正确 为了阐明这点所举的反例称作条件改变 型反例 这在阐述一些数学基本定理时经常用到 例如闭区间上连续函数性质定理 最值定理 若函 数f x 在 a b 上连续 则 f x 在 a b 上至少取得 最大值和最小值各一次 如果条件 a b 减弱为开 区 间 a b 则定理不成立 可举反例 f x x3在 1 1 上连续 但无最值 如果条件连续改为 f x 在 a b 上某些点间断 则结论不成立 可举反 例 f x 1 x 在 1 1 上无最值 数学在自身发展的过程中 要同时做好两个方 面的工作 一个是发现原有理论的局限性 另一个是 建立新的理论 并为新理论提供逻辑基础 而发现 原有理论的局限性 除了生产与科学实验新的需求 以外 很大程度上靠举反例来进行 特别是在数学发 展的转折时期 典型的反例往往能推动新理论的诞 生 数学发展的历史证明 对数学问题与数学猜想 能举出反例予以否定 与给出严格证明是同等重要 的 而在数学教学中 恰当地引用反例 往往能帮助 学生加深对数学知识的理解和掌握 有助于澄清数 学概念与定理 为数学的严谨性与科学性作出优雅 的贡献 提高数学修养 数学中的概念与定理有许多结构复杂 条件结 论犬牙交错 使人们不易理解 反例则可使概念更加 确切与清晰 使定理条件与结论之间的关系揭示的 一清二楚 一个数学问题用一反例予以解决 给人 的刺激往往犹如一出好的戏剧 如讨论周期函数及 其最小正周期时 不少人以为周期函数必有最小正 周期 其实 举个反例就澄清了这种看法 f x 1 x 为有理数 1 x 为无理数 设T 为有理数 因为 x 为有理数时 x T 也为 有理数 x 为无理数 x T 也为无理数 所以 f x T 1 x 为有理数 1 x T 为无理数 所以有 f x T f x 即 f x 以任何有理 数T 为周期 但有理数中无最小正数 所以 f x 不 存在最小正周期 数学是一门严密的抽象的思维科学 有自己独 特的思维方法 凭直观或想当然去理解它 往往会 差之毫厘 失之千里0 因此 在数学教学中 让学 生掌握严密的逻辑推理与各种思维方法的同时 学 会举反列亦十分必要 在概念与定理的教学中 构 思巧妙的反例 能使概念与定理变的简捷明快 容 易掌握 在习题基本训练的教学中 举反例是反驳 与纠正错误的有效办法 是学生创见学习的有利武 器 经常性的训练有助于形成学生批判性和创造性 的良好思维品质 有助于培养学生合理怀疑的 批判 精神0 为学生的创新思维 创见学习奠定良好的思 维习惯和求 真0的科学精神 基于以上认识 学会构造反例就一种重要的数 学技能 应该成为数学教学的基本训练内容而渗透 于教学过程之中 下面介绍一些寻求反例的思考方 法 构造反例常见方法有 2 1 特例构造法 注意考察题设的特例 能简捷地发现反例 例如 对于命题 若 P a b 为圆 x2 y2 r2 r 0 内部的任意一点 则在此圆中以 P 为中点的弦所 在直线方程为 a x a b y b 0 我们来构造 反例 考虑其特殊情况 P 是圆心0 a b 0 这时 每条弦的中点都是圆心 过中点的弦的方程都应是 0 x 0 0 y 0 0 然而 y 0 与此形式不符 即 为反例 上述方法常用于选择题的求解之中 例 当 a 1 b 1 2 时 arctana arctanb 的 弧度等于 A P 2 B P 3 C P 4 D P 5 取一个特殊值 如 a 0 b 1 得 arctana arc2 tanb P 4 这个特例从逻辑上讲 其意义在于否定了 A B D 也就从反面肯定了 C 构造一个命题的反例 是判断命题及其逆命题 真伪的常用方法 例如 对于命题 两个非周期函教的和 差 积 商一定是非周期函数0 可构造以下反例 函数 sinx 1 x2 与 1 x2均不是周期函数 而 sinx 1 x2 1 x2 sinx 显然是周期函数 一个反例简洁明 快地否定了原命题 56 北 京 工 业 职 业 技 术 学 院 学 报 第 2卷 2 2 形象构造法 形象构造法是指联系问题的几何意义 结合图 形或想象的形象特征 构造出恰当的反例 这种方法 在几何中用得最多 例 试作反例说明下列命题错误 一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行 四边形 解 如图 1 所示 作 ABCD 过 A B C 三点以 及A C D 三点分别作两个圆 让 B在 O AMC上移动 使得 AB AE 则在四边形 AECD 中 图 1 E D AE CD 但它不是平行四边形 2 3 逆向思维构造法 考虑命题的反面 运用 逆向思维0构造反例 就 能否定命题 例 考察命题 任意三角形 ABC 则覆盖此三 角形的最小圆是它的外接圆0是否正确 分析 所给命题易证对于直角三角形及锐角三 角形都成立 证略 对于钝角三角形却不成立 通过逆向思维来构造反例 先作一个圆 再作含 圆上十分接近的三点的 P Oc 如图 2 显然 P 就是 v ABC的外接圆 但覆盖 v ABC的 P Oc要比 P O 来 得小 图 2 一般地可以证明 覆盖钝角三角形的最小圆是 以其最大边 AB为直径的圆 且此圆比 v ABC 的外 接圆小 2 4 类比构造法 按照反例的特点与思维方法 在新的领域类似 构造反例 这种方法就是类比构造法 例 关于连续函数是否除个别点外处处可导的 问题 魏尔斯特拉特 1860年给出一个著名反例 f x r n 0a nCos bnPx 其中 b 为奇整数 0 a 1 3 2 P f x 在 上连续 但处处不可导 范德 瓦尔登 1930 年用类似的方法 构造出另 一个无处可微连续函数的例子 他先想到函数 y x 在 x 0 处连续不可导 接着联想对这个函数进行 无限次翻造 再进行叠加 这样得到的函数一定每一 点都具有这一特性 他把振动曲线 y CosPx 改为 振动折线 U x x 1 x 1 规定U x 2 U x 把 U的定义域扩张到所有实数 在这个基础 上 他构造出优美的反例 f x r n 0 3 4 nU 4nx 不难证明 f x 在 上连续 但处处 不可导 事实上 反例的构造方法是很复杂的 对不同的 数学分支构造方法也不同 需要我们在日常工作及 教学中不断摸索 但是带领学生批判地学习先人留 给我们的宝贵的数学文化知识 是我们作为教育工 作者对学生 创新思维0及求新 求异 求真的 科学 精神0的培养 应有的思想影响与追求 民主性 开放性和技术性不断增强的未来社会 需要我们教师改变 静态的 绝对的0数学教育观 改 变教师对任何问题都给出正确解答和合理解题途径 的纯客观的传授知识方式 而应更多去尝试把数学 学习看作探索性的 大力提倡学生参与的动态活动 使学习过程更多包括问题解决 合作学习 批判性讨 论 容忍学习中学生出现的错误并推崇教师适时制 造出错误 再通过师生共同努力去消除错误 从中 让学生体会更多的探索与研究的快乐 以实现我们 的双重目标 一是数学教育的基本目标 帮助学 生学