湖北省宜昌市三峡中学、金东方中学高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

湖北省宜昌市三峡中学、金东方中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科） 一.选择题：（共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2（5分）方程mx2+ny2=1不可能表示的曲线为（）a圆b椭圆c双曲线d抛物线3（5分）下面几种推理中是演绎推理的序号为（）a半径为r圆的面积s=r2，则单位圆的面积s=b由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电c由平面三角形的性质，推测空间四面体性质d由平面直角坐标系中圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（xa）2+（yb）2+（zc）2=r4（5分）设ar，若函数y=ex+ax，xr，有大于零的极值点，则（）aa1ba1cd5（5分）已知xr，命题p：x0，命题q：x+sinx0，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6（5分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）abcd7（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于a、b两点若线段ab的中点的横坐标为3，则ab的长度为（）a8b7c6d58（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，h是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则h与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）abcd9（5分）如图所示，在空间直角坐标系中bc=2，原点o是bc的中点，点a的坐标是（，0），点d在平面yoz上，且bdc=90，dcb=30，则向量的坐标为（）a（，）b（，1，）c（，）d（，1，）10（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为xy+4=0，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，p到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）abcd11（5分）在直三棱柱abca1b1c1中，ca=cb=1，bca=90，aa1=2，则异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为（）abcd12（5分）定义在（0，+）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）a3f（2）2f（3）b3f（4）4f（3）c2f（3）3f（4）df（2）2f（1）二填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知命题“彐xr，2x2+ax”是假命题，则a的取值范围是14（5分）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是15（5分）如图所示，它们都是由小正方形组成的图案现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f（n），则：（）f（5）=；（）f（n）=16（5分）直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支交于不同两个点，则实数k的取值范围是三解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知命题p：x，x2a0，命题q：x0r，x02+2ax0+2a=0；若命题（pq）是假命题，求实数a的取值范围18（12分）如图，飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为a，b，c），b在a的正东方向，相距6km，c在b的北偏东30的方向上，相距4km，p为航天员着陆点某一时刻，在a地接到p的求救信号，由于b，c两地比a距p远，因此4s后，b，c两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s求bap的大小19（12分）函数f（x）=lnx+ax（ar）（1）a=0时，求f（x）最小值；（2）若f（x）在，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围湖北省宜昌市三峡中学、金东方中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接由复数代数形式的除法运算化简，求出复数所对应点的坐标，则答案可求解答：解：=，复数对应的点的坐标为（1，1），位于第二象限故选：b点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2（5分）方程mx2+ny2=1不可能表示的曲线为（）a圆b椭圆c双曲线d抛物线考点：圆锥曲线的共同特征 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据方程mx2+ny2=1中不含有x（或y）的一次项，即可得出结论解答：解：方程mx2+ny2=1中不含有x（或y）的一次项，方程mx2+ny2=1不可能表示抛物线，故选：d点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查抛物线方程，比较基础3（5分）下面几种推理中是演绎推理的序号为（）a半径为r圆的面积s=r2，则单位圆的面积s=b由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电c由平面三角形的性质，推测空间四面体性质d由平面直角坐标系中圆的方程为（xa）2+（yb）2=r2，推测空间直角坐标系中球的方程为（xa）2+（yb）2+（zc）2=r考点：演绎推理的意义 专题：综合题；推理和证明分析：根据演绎推理，归纳推理和类比推理的概念，判定每一个选项是否符合条件即可解答：解：对于a，根据演绎推理的三段论知，大前提是半径为r圆的面积s=r2，小前提是单位圆是半径为1的圆，结论是单位圆的面积s=，a是演绎推理；对于b，是由特殊到一般，是归纳推理；对于c，是由一类事物的特征，得出另一类事物的特征，是类比推理；对于d，是由一类事物的特征，得出另一类事物的特征，是类比推理故选：a点评：本题考查了演绎推理，归纳推理和类比推理的应用问题，解题时应根据演绎推理，归纳推理和类比推理的概念，对每一个选项逐一判定即可，是基础题4（5分）设ar，若函数y=ex+ax，xr，有大于零的极值点，则（）aa1ba1cd考点：利用导数研究函数的极值 专题：压轴题；数形结合分析：先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围解答：解：y=ex+ax，y=ex+a由题意知ex+a=0有大于0的实根，令y1=ex，y2=a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得a1a1，故选a点评：本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即函数取到极值时一定有其导函数等于0，但反之不一定成立5（5分）已知xr，命题p：x0，命题q：x+sinx0，则p是q的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：设f（x）=x+sinx，则f（x）=1+cosx0，则函数f（x）为增函数，则当x0时，f（x）f（0），即x+sinx0，反之，也成立，故p是q的充要条件，故选：c点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据导数研究函数的性质是解决本题的关键6（5分）如图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图，如果正视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为（）abcd考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由题意知，空间几何体是底面边长为2，斜高为2的正四棱锥，由此能求出它的体积解答：解：空间几何体的主视图、左视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，空间几何体是底面边长为2，斜高为2的正四棱锥，它的高h=，它的底面积s=22=4，它的体积v=故答案为 c点评：本题考查由三视图求空间几何体的体积，是基础题解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体的形状7（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于a、b两点若线段ab的中点的横坐标为3，则ab的长度为（）a8b7c6d5考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：线段ab的中点到准线的距离为4，设a，b两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知|ab|的值解答：解：由题设知知线段ab的中点到准线的距离为4，设a，b两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|ab|=|af|+|bf|=d1+d2=24=8故选：a点评：本题考查抛物线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，积累解题方法8（5分）如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，h是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则h与下落时间t（分）的函数关系表示的图象只可能是（）abcd考点：函数的图象 分析：利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较解答：解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果故选b点评：本题考查函数图象，还可以正面分析得出结论：圆柱液面上升速度是常量，则v（这里的v是漏斗中剩下液体的体积）与t成正比（一次项），根据圆锥体积公式v=兀r2h，可以得出h=at2+bt中，a为正数，另外，t与r成反比，可以得出h=at2+bt中，b为正数所以选择第二个答案9（5分）如图所示，在空间直角坐标系中bc=2，原点o是bc的中点，点a的坐标是（，0），点d在平面yoz上，且bdc=90，dcb=30，则向量的坐标为（）a（，）b（，1，）c（，）d（，1，）考点：空间向量的概念 专题：空间向量及应用分析：通过求出点d在平面yoz上坐标，利用空间直角坐标系，求出d的坐标，再利用向量的坐标运算即可求出解答：解：因为在空间直角坐标系中bc=2，原点o是bc的中点，点a的坐标是（，0），点d在平面yoz上，且bdc=90，dcb=30，bo=1，所以bd=1，dbc=60，d在平面yoz上坐标（，）所以d的坐标为：（0，），=（，1，），故选：b点评：本题考查空间直角坐标系，求解点的坐标的求法，考查计算能力10（5分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为xy+4=0，在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1，p到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）abcd考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：如图点p到y轴的距离等于点p到焦点f的距离减1，过焦点f作直线xy+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得f，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值解答：解：如图点p到准线的距离等于点p到焦点f的距离，从而p到y轴的距离等于点p到焦点f的距离减1过焦点f作直线xy+4=0的垂线，此时d1+d2=|pf|+d21最小，f（1，0），则|pf|+d2=，则d1+d2的最小值为故选d点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，两点距离公式的应用解此列题设和先画出图象，进而利用数形结合的思想解决问题11（5分）在直三棱柱abca1b1c1中，ca=cb=1，bca=90，aa1=2，则异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为（）abcd考点：异面直线及其所成的角 专题：空间位置关系与距离分析：如图所示，建立空间直角坐标系利用向量的夹角公式即可得出解答：解：如图所示，建立空间直角坐标系c（0，0，0），b（1，0，0），a1（0，1，2），b1（1，0，2），=（1，1，2），=（1，0，2）=异面直线a1b与b1c所成角的余弦值为故选：d点评：本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线所成的夹角，考查了计算能力，属于基础题12（5分）定义在（0，+）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）a3f（2）2f（3）b3f（4）4f（3）c2f（3）3f（4）df（2）2f（1）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：计算题；导数的综合应用分析：依题意，f（x）0，00，利用h（x）=为（0，+）上的单调递减函数即可得到答案解答：解：f（x）为（0，+）上的单调递减函数，f（x）0，又x，000，设h（x）=，则h（x）=为（0，+）上的单调递减函数，x0，f（x）0，f（x）0h（x）=为（0，+）上的单调递减函数，02f（3）3f（2）02f（3）3f（2），故a正确；由2f（3）3f（2）3f（4），可排除c；同理可判断3f（4）4f（3），排除b；1f（2）2f（1），排除d；故选a点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求得0是关键，考查等价转化思想与分析推理能力，属于中档题二填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知命题“彐xr，2x2+ax”是假命题，则a的取值范围是（2，2）考点：特称命题 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：根据命题与命题的否定真假性相反，写出该命题的否定命题，由此求出a的取值范围解答：解：命题“彐xr，2x2+ax”是假命题，该命题的否定“xr，”是真命题，x2+ax1恒成立，即x2+ax+10恒成立；=a240，即2a2；a的取值范围是（2，2）故答案为：（2，2）点评：本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，也考查了指数函数的图象与性质的应用问题，考查了不等式的恒成立问题，是综合性题目14（5分）由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是22考点：余弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：三角函数的对称性可得s=2，求定积分可得解答：解：由三角函数的对称性和题意可得s=2=2（sinx+cosx）=2（+）2（0+1）=22故答案为：22点评：本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题15（5分）如图所示，它们都是由小正方形组成的图案现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f（n），则：（）f（5）=41；（）f（n）=2n22n+1考点：归纳推理 专题：规律型；等差数列与等比数列分析：先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解解答：解：根据前面四个发现规律：f（2）f（1）=41，f（3）f（2）=42，f（4）f（3）=43，f（n）f（n1）=4（n1）；这n1个式子相加可得：f（n）=2n22n+1当n=5时，f（5）=41故答案为：（）41；（）2n22n+1点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题16（5分）直线y=kx+2与双曲线x2y2=6的右支交于不同两个点，则实数k的取值范围是考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题分析：把直线方程与双曲线方程联立消去y，根据x1x20和判别式大于0求得k的范围解答：解：由直线y=kx+2与双曲线方程联立，消去y（1k2）x24kx10=0x1x20 所以0所以k21，即k1或者k1又x1+x20，所以0，可得k0k1又=（4k2）+40（1k2）0解得，解得解得又由题意，直线与右支交于两点，由图象知k的取值范围是故答案为点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题当直线与圆锥曲线相交时 涉及交点问题时常用“韦达定理法”来解决三解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知命题p：x，x2a0，命题q：x0r，x02+2ax0+2a=0；若命题（pq）是假命题，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假 专题：简易逻辑分析：先求出命题p，q为真命题时a的范围，据复合函数的真假得到p，q中均为真，即可求出a的范围解答：解：p真，则a1，q真，则=4a24（2a）0，即a1或a2，命题（pq）是假命题，pq为真命题，p，q均为真命题，a2，或a=1实数a的取值范围为a2，或a=1点评：本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于基础题18（12分）如图，飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为a，b，c），b在a的正东方向，相距6km，c在b的北偏东30的方向上，相距4km，p为航天员着陆点某一时刻，在a地接到p的求救信号，由于b，c两地比a距p远，因此4s后，b，c两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s求bap的大小考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：以ab中点为坐标原点，ab所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易判断p在以a，b为焦点的双曲线的左支上，从而可确定双曲线的方程，再与bc的垂直平分线的方程联立，可求p的坐标，从而问题得解解答：解：以ab中点为坐标原点，ab所在直线为x轴建立平面直角坐标系，（2分）因为|pc|=|pb|，所以p在线段bc的垂直平分线上又因为|pb|pa|=4，|ab|=6，所以p在以a，b为焦点的双曲线的左支上（6分）又bc的垂直平分线方程为x+y7=0（8分）联立两方程解得x=8所以p（8，5）（10分）所以kpa=tanpab=，得pab=120（12分）点评：本题主要考查了解三角形的实际应用解此类题的要点是建立适当的三角函数模型，利用三角函数的基本公式和定理进行求解19（12分）函数f（x）=lnx+ax（ar）（1）a=0时，求f（x）最小值；（2）若f（x）在在正sab中，ab=2，se=，e为ab的中点，se=，seabbc=2，ad=1，e，f分别为ab，cd的中点，ef=等边sab与直角梯形abcd垂直，seabse面abcd，seef直角sef中，|sf|=，|=2=；（2）建立如图所示的直角坐标系，则s（0，0，），d（1，1，0），c（1，2，0）设面scd的法向量为=（x，y，z），则由，可得取x=1，可得=（1，2，）面sab的法向量为cos=点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查向量知识的运用，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（12分）已知椭圆g：=1（ab0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆g交与a、b两点，以ab为底边作等腰三角形，顶点为p（3，2）（）求椭圆g的方程；（）求pab的面积考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b2=a2c2求出b的值，即可求出椭圆g的方程；（）设出直线l的方程和点a，b的坐标，联立方程，消去y，根据等腰pab，求出直线l方程和点a，b的坐标，从而求出|ab|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出pab的面积解答：解：（）由已知得，c=，解得a=，又b2=a2c2=4，所以椭圆g的方程为（）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m212=0设a，b的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1x2），ab的中点为e（x0，y0），则x0=，y0=x0+m=，因为ab是等腰pab的底边，所以peab，所以pe的斜率k=，解得m=2此时方程为4x2+12x=0解得x1=3，x2=0，所以y1=1，y2=2，所以|ab|=3，此时，点p（3，2）到直线ab：y=x+2距离d=，所以pab的面积s=|ab|d=点评：此题是个中档题考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线