代数推动下的数学归纳法演变.pdf

1 2 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 代数推动下的数学归纳法演变 王科汪晓勤 华东师范大学数学系2 0 0 2 4 1 数学归纳法是一种证明与自然数咒有关数学 命题的重要方法 高中数学课程标准中对其有明 确的要求 了解数学归纳法的原理 能用数学归 纳法证明一些简单的数学命题 数学归纳法中 的推理的本质特征用庞加莱的话来说就是 把无 穷的三段论纳入唯一的公式中 本文对数学归 纳法名称的由来进行了阐释 并对数学归纳法历 史的演化过程进行了梳理 1 数学归纳法名称的由来 正如很多数学概念一样 数学归纳法这个名 称不是一开始就有的 很多数学家比如雅克比 伯努利 J a c o bB e r n o u l l i 1 6 5 4 1 7 5 0 布莱 士 帕斯卡 B l a i s eP a s c a l 1 6 2 3 1 6 6 2 费马 P i e r r ed eF e r m a t 1 6 0 1 1 6 6 5 毛罗利科斯 F r a n c i s c u sM a u r o l y c u s 1 4 9 4 1 5 7 5 等虽然用 过与数学归纳法类似的方法 但都没有给出一个 合适的名称 归纳 一词 首次出现是在沃利斯 J o h nW a l l i s 1 6 1 6 1 7 0 3 的 无穷算术 1 6 5 6 的1 5 页的命题X I X 中 1 1 8 3 0 年 英国数学家乔治 皮科克 G e o r g e P e a c o c k 1 7 9 1 1 8 5 8 在其著作 关于代数的著 作 中首次给 数学归纳法 起了一个特别的名 字 论证性归纳 历史上 真正第一个提出 数学归纳法 这个名称的是英国数学家德 摩根 D eM o r g a n 1 8 0 6 1 8 7 1 他在1 8 3 8 年 袖珍 型百科全书 P e n n yC y c l o p e d i a 书中的 归纳 数 学 一文中 先是提出 连续归纳 的名称 在文 章结尾部分 使用了 数学归纳法 一词 数学归纳法和论证性归纳这两个名称同时被 使用 然而随着时间的推移 论证性归纳逐渐被 淘汰 1 8 7 4 年 美国数学家费克林 F i c k l i n J o s e p h 1 8 8 3 1 8 8 7 在 完全代数 中使用了数 学归纳法这个名称 1 8 8 4 年 温特沃思 G A W e n t w o r t h 1 8 3 5 1 9 0 6 在其 代数基础 书中 也使用了这个名称 直到2 0 世纪 美国教材中才 介绍这个名词 在欧洲大陆 数学归纳法这个词 并不常用 德国数学家常用 完全归纳法 这个 词 它最早出现在戴德金 R i c h a r dD e d e n k i n d 1 8 3 1 1 9 1 6 的著作 数字是什么 什么是数字 1 8 8 7 中 引 数学归纳法的英文是M a t h e m a t i c a lI n d u e t i o n 直译过来是数学的归纳法 而非数学归纳 法 数学的 作为形容词来修饰 归纳法 在汉 语语法中把 数学的归纳法 说成 数学归纳法 更符合语言习惯 却因此产生了很多误解 常把数 学归纳法和归纳法混淆 并误认为数学归纳法是 归纳的方法 非演绎的方法 在经历了一个漫长的过程之后 数学归纳 法 这个名词才被慢慢确定下来 成为一个约定 俗成的称呼 美国著名数学家 数学教育家波利 亚 G e o r g eP o l y a 1 8 8 7 1 9 8 5 曾评论到 数学 归纳法 这个名词是大家接受的术语 没有任何 具体的意义 数学归纳法的证明像是归纳在数学 上的一种补充 2 代数推动下的数学归纳法的历史演化 如同许多数学概念 方法一样 数学归纳法 不是某个人在特定时期的一项发明 它的发展过 程是相当缓慢的 其思想曾在许多数学家的著作 中隐约地体现过 笔者通过对其历史的研究发现 数学归纳法的发展是在代数的发展推动下逐步演 化的 早在毕达哥拉斯 P y t h a g o r a s 约5 7 0B C 一 4 9 5B C 时期 先知们就知道连续的奇数相加得 到正方形数 他们对这个结果并没有严格的证 明 只是不完全归纳的结果 当时没有代数的概 念 用的最多的就是图形 并给出了 形数 的简 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 数学通报 1 3 约证明 在希腊数学中 是用文字的形式来表达 数学思想和数学运算 其中最突出的著作是欧几 里得 E u c l i do fA l e x a n d r i a 约3 0 0 B C 的 几何原 本 其中仍没有代数的明显痕迹 在希腊后期 丢番图 D i o p h a n t u so fA l e x a n d r i a 约2 4 6 3 3 0 的 算术 中已开始运用一套缩写的符号 其中使 用了特殊的记号来表示未知数 这期间 数学家 们也能做到用递推的形式来表达以此类推的想 法 如帕普斯 P a p p u so fA l e x a n d r i a 约3 0 0 3 5 0 在鞋匠刀问题中的应用 在8 世纪到1 3 世 纪间 伊斯兰数学产生了一个新数学学科一代数 学 并对它进行了推广与扩张 使用了一种字母 系统 用阿拉伯字母来代表数字 并能够熟练运 用递推来证明有限项 特别是项数为1 0 结论 发 展了很多有关数论的结论 尤其是在研究排列组 合数的时候 开始用字母来表示数字 如一般化 的排列组合数公式 这极大地推动了数学归纳法 的演变 如凯拉吉 A b uB a k rA 1 一K a r a i i 9 5 3 1 0 2 9 塞毛艾勒 A 1 S a m a w a l 1 1 2 5 1 1 7 4 以 及其他数学家在处理某些算术序列时熟练地使用 了递推原理 伊本 班纳 A b u L A b b a sA h m a d a l M a r r a k u s h ii b na l B a n n a 1 2 5 6 1 3 2 1 和 莱维 本 吉尔森 L e v iB e eG e r s o n 1 2 8 8 1 3 4 4 使用了递推证明了一般组合数公式 到1 6 世纪末 被誉为 符号代数之父 的法国著名数学 家韦达 F r a n c o i sV i e t e 1 5 4 0 1 6 0 3 提出了一种 新的符号系统 算术运算施行与数字 符号运算 应用于符号 比如说字母 自此 代数进入飞速发 展时期 其中帕斯卡 B l a i s eP a s c a l 1 6 2 3 1 6 6 2 运用了现代意义上的数学归纳法证明的两个核心 步骤去证明帕斯卡三角 意味着数学归纳法证明 的确立 数学家伯努利 费马也都使用过数学归纳 法去证明一些命题 数学归纳法原理最终逻辑基 础的建立要归功于皮亚诺公理 P e a n oG i u s e p p e 1 8 5 8 1 9 3 2 的提出 它为数学归纳法确立了逻辑 基础 使之成为一种真正演绎的证明方法 据此 笔者将数学归纳法的发展分为四个阶 段 即文字表达阶段 缩写代数阶段 符号代数阶 段以及公理化阶段 下面将依次阐述 2 1 文字表达的演绎推理 数学归纳法的萌芽 阶段 归纳推理可以追溯到公元前6 世纪的毕达哥 拉斯时代 甚至更早 其最典型的例证是毕达哥拉 斯关于 形数 的探讨 毕达哥拉斯学派可能用点 或小卵石表示数 一个偶数可以用能分成两个相 等部分的一行小卵石表示 而一个奇数不能被分 成两个相等的部分 用小卵石可以很容易地证明 一些简单的定理 如图1 和2 1 卜 卜 卜 卜 卜 卜 图l 三角形数 图2 正方形鼓 从这些基本概念可得出一些简单推论 如偶 数的平方是偶数 奇数的平方是奇数 数的平方本 身也可以用点表示 这样便给出了 形数 的简单 例子 如果用形数表示一给定数的平方 例如4 的 平方 容易看出 在原来的形数图两边各增加一列 行 点就可以得出一个数的平方 增加的点数是 2 4 I 9 毕达哥拉斯学派把这一结果推广后 得出 连续的奇数相加可得到正方形数 例如1 3 5 7 4 2 1 3 2 2 1 3 5 3 2 1 3 5 7 4 2 这些奇数的L 形排列一般被称为一个曲尺 形排列 几乎所有的有关形数的命题 都是由有 限个特殊情况作出一般结论 这种推理只是简单 的枚举 且没有碰到与事实矛盾的归纳结果 是 不完全的归纳推理 在前提中没有考察过的那一 部分对象是否具有同样的属性 且不会与事实有 矛盾 这里并不能提供一个确实的证据 严格地 说 毕达哥拉斯的这种归纳推理只是一种寻求结 论的手段 得到的结论也只能作为一种猜想或假 说 其本身是不可靠的 公元前4 世纪 数学中演绎化倾向有了实质 性的进展 亚里士多德在逻辑学方面的工作在数 万方数据 1 4 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 学领域中影响最大 他的形式逻辑被后人奉为演 绎推理的圣经 为欧几里德演绎几何体系奠定了 方法论的基础 3 欧几里得是希腊论证几何的集大成者 在其 所著的 几何原本 E l e m e n t s 中有如下命题 第 九卷命题2 0 4 预先任意给定多个素数 则有比 它们更多的素数 欧几里得的证明是通过假设A B C 是给定的素数 那么A B C 1 的一个素因子 一定是一个新的素数记作G 于是就有了素数 A B C G H e a l t h 评述到 我们可得到一个重要 的命题 即素数有无穷多个 并指出这个证明过 程可以无限下去 5 J P a u lE r n e s t 1 9 8 2 对 几何原本 中这个证明 的评述是 证明的最后一步与命题的表述之间有 一个逻辑的跳跃 数学归纳法的原理就是它们之 间的桥梁 欧几里得的证明事实上是三个素数的 存在蕴涵着四个素数的存在 这种方法具有一般 化 可以用它来证明咒个素数的存在蕴涵着咒 1 个素数的存在 由于缺乏必要的代数语言来表达 更一般化的数学归纳步骤 所以用了特殊例子来 代替 引 2 2 缩写代数阶段的演绎推理 数学归纳法的发 展阶段 2 2 1 古希腊后期递推思想的发展 亚历山大后期希腊数学著作中 丢番图的 算术 用纯分析的途径处理数论与代数问题 是古希腊幸存下来的唯一真正有关代数方面的著 作 丢番图一个重要贡献是创用了一套缩写的符 号 特别是使用特殊的记号来表示未知数 在此 之前 所有代数问题都是用文字来叙述的 有人 称丢番图类型的代数为 简写 代数 是真正符号 代数出现之前的一个重要阶段 7 有了一定的数学符号作为工具 帕普斯在其 著作 数学汇编 第四册中第二部分探讨 皮革匠 的刀内的内切圆 问题时 就显得更得心应手 图3 C 所谓的 皮革匠的刀 是指三个半圆所组成的 形状 如图3 在此形状中依次嵌入圆1 圆2 圆 3 其中圆1 与三个半圆相切 圆2 与半圆 A C 半圆A B 以及圆1 相切 也就是第二个 以后嵌入的圆 都与半圆A C 半圆A B 及前一个 圆相切 帕普斯的证明是 圆心0 到A B 的垂线等于 圆1 的直径 圆心0 2 到A B 的垂线等于2 倍圆2 的直径 圆心0 3 到A B 的垂线等于3 倍圆3 的直 径 根据对应圆在此序列中的次序 依次得到的垂 线与其对应的直径的倍数关系 这样的圆可以无 限制地嵌入下去 8 上述问题用今天的符号即 定理若鞋匠刀形 的内切圆Q 的直径为d 圆心到直线A C B 的距 离为P 则P 一n d 帕普斯的证明过程就是证 明咒 1 2 3 皆成立 并在证明过程中 应用了递 推思想 即咒一2 时用到 l 1 时的结论 2 3 时 用到咒一2 时的结论 这样的过程可以无止境的 下去 上述例子从侧面印证了缩写代数的出现促进 了递推思想形式化的进一步发展 2 2 2 伊斯兰代数中递推思想的发展 伊斯兰数学家最重要的贡献在代数领域 他 们把巴比伦人已发展了的材料结合经典的希腊几 何产生了一个新的代数学 并对它进行了推广扩 张 伊斯兰代数完全是用言辞表达的 没有符号 表示未知数及其幂次 以及这些量的运算 一切 都写成文字的形式 在此期间有凯拉吉 伊本 海 塞姆 i b na l H a y t h a m 9 6 5 1 0 4 0 和塞毛艾勒和 其他一些人引进了一个重要的思想 即处理某些 算术序列时使用的递推原理 凯拉吉并未对任意靠给出一般性的结果 只 给出了n l O 的定理 13 2 3 3 3 1 0 3 一 1 2 3 1 0 2 在其证明过程中所使用的 递推实质上包含了现代数学归纳法的两个部分 只是第二步不明确 同样 在证明求和公式中 伊本 海塞姆的中心思想是推导等式 咒 1 声 i 一 i 蚪1 i 时应用了递推原理 f 一1i 一1p 一1 i 1 他的证明可以推广到他和志的任意值 但他本人 并没有推广 推其原因 可能与伊斯兰代数完全 是用言辞表达有关 万方数据 2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 数学通报 1 5 这个时期的另一个递推思想的应用是关于二 项式定理和帕斯卡三角形的 这个可在塞毛艾勒 的 光辉的计算 中找到 他在书中提到了凯拉吉 对这方面课题的处理 像凯拉吉和伊本 海塞姆 一样 他的推理包含了数学归纳法的两个基本要 素 由已知结果出发 这里是挖 2 然后对给定 的整数的结果去推出对下一个数的结果 尽管塞 毛艾勒没有任何办法来表达并证明一般的二项式 定理 但对现代的读者而言 只要假定在定理的 陈述中其系数本身也是递推定义的 即本质上如 塞毛艾勒那样定义为C l 一晖 呀1 那么从 塞毛艾勒的推理到二项式定理的数学归纳法证明 只不过是小小的一步罢了 9 在对组合公式的研究中 伊本 穆恩依姆 伊本 班纳对排列规律的证明像凯拉吉和塞毛艾 勒较早的证明那样 有递推的步骤 然而他们都 没有明晰地叙述过作为证明基础的递推原理 第 一次作出这种叙述的是法国数学家本 吉尔森 他在1 3 2 1 年在所著的 计算技术 中提出数学归 纳法的早期形式 书中讨论了排列组合等问题 应用了古希腊学者的成果 对部分命题给出了归 纳法的证明 其中使用的归纳法被称为 r i s i n g s t e p b y s t e p 以至无限 他首先证明递推步骤 从 关于k 的命题推出关于k 1 的命题 然后指出 这个过程从是的某一较小的值开始 本质上他使 用了数学归纳法 1 引 吉尔森在证明过程中 仅写出五个数的和 并非用现代的字母以 五个数是用希伯来文的前 五个字母来表示的 像许多前辈一样 他无法写 出任意多个整数的和 因而采用一般化地举例的 方法 吉尔森在论证中使用准一般化的方式 递 推原理 r i s i n gs t e p b y s t e p 定义公式 并证 明了命题 他认识到递推原理的特殊应用 形成 了证明的结构 由于缺乏代数表示方法以及适当 名称的局限 阻碍了别人使用这个很自然的方 法 因此 计算技术 的影响并不大 1 2 3 符号代数阶段的演绎推理 数学归纳法的成 熟阶段 新的数学符号在1 5 1 6 世纪有了进展 1 5 世 纪 一些意大利的算图学家开始用缩略词代替未 知数 对高次幂的命名系统有了变化 1 6 世纪末 被誉为 符号代数之父 的法国著名数学家韦达在 分析的艺术 中 重建了代数学的研究 发展了 最早有意识地使用字母的方程理论 并在 分析方 法入门 中 提出了一种新的符号系统 算术运算 施行与数字 符号运算应用于符号 比如说字 母 继韦达之后 法国著名数学家 哲学家笛卡 尔 R e n eD e s c a r t e s 1 5 9 6 1 6 5 0 再次对韦达等 建立的字母系统作了改进 用英文字母表中最前 面的字母口 b C 等表示已知量 靠后的字母像z Y z 等表示未知量 与今天的使用方法及写法基 本一致 使字母表示数的地位在代数学上确立 起来 1 引 较为完善的代数符号为数学家们更好地表达 数学思想提供了强有力的工具 意大利著名数学 家毛罗利科斯 F r a n c i s c iM a u r o l y c u s l 4 9 4 1 5 7 5 在他所著的 算数 中使用了推理思想 并 证明了正整数的一些性质 命题4 奇数的下个数是前一个数加上2 即Q 2 Q 命题6 每个整数加上前面的整数等于同行 的奇数 即7 行一1 一0 证明 整数2 加上1 得到整数3 3 再加上2 就得到下一个奇数5 命题4 当3 加上4 时 结果比5 大2 得到下一个奇数7 以这样的方式 一直到无穷 如命题所描述的那样 命题1 3S Q l S 1 命题1 50 1 0 2 0 3 O k S 证明 利用命题1 3 第一个平方数 1 加上后 面的一奇数 3 得到下一个平方数 4 第二个平 方数 4 加上第三个奇数 5 得到第三个平方数 9 同样 第三个平方数 9 加上第四个奇数 7 得到第四个平方数 1 6 如此继续下去以至 无穷 反复应用命题1 3 就是命题1 5 的表述 这 是一个清晰地应用递推原理的证明 命题1 3 是引 理 可以完成从以到行 1 第一个特殊的例子在 命题1 5 中列出D 3 毛罗利科斯的方法与今天的数学归纳法还有 一些差距 因为他并没有完全形式化地表达出数 学归纳法的两个步骤 这个过程只是一种描述 笔者称其为 准归纳 的证明方法 他确实影响了 数学归纳法概念的发展 比如帕斯卡就是受到 他影响的 帕斯卡的著作 论算术三角 分两个部分 第 万方数据 1 6 数学通报2 0 1 4 年第5 3 卷第8 期 一部分包含了算术三角的定义和1 9 条相关性的 推论 第二部分是算术三角的应用 其中推论1 2 在任意算术三角中 同底上的两个毗邻的格子 上面的格子与下面的格子的比等于从上面格子到 此底的顶格的格子数 与从下面的格子到底端的 格子的格子数之比 那两个格子都包含其中 帕 斯卡在推理1 2 的证明上写道 虽然这一命题有 无限多种情况 我将给出一个很短的证明 首先 假定两个引理 引理1 在第二底上的此命题显然不证自明 因为由比 等于1 比1 引理2 如从某一底上有此比例 则在下一底 上一定也有此比例 从以上引理可见 此比例在所有的底上都成 立 由引理1 得知在第二底上成立 因此由引理 2 在第三底上也成立 在第四底上也成立 以至 无穷 1 引 帕斯卡证明的两个引理相当于现在数学归纳 法中的基础步骤和递推步骤 与其形式化表示已 无差别 因此 帕斯卡应用两个引理的证明标志 着数学归纳法形式化的完成 2 4 自然数公理体系的建立 数学归纳法逻辑形 式化阶段 2 4 1 数学归纳法的逻辑基础 意大利著名数学家皮亚诺在1 8 8 9 年发表的 算术原理 中 给出了自然数的公理体系 其中 第5 条公理 若一自然数集S 包含1 且若自然数 z S 则z 1 S 那么S 包含所有的自然数 通常被称为归纳原理 数学归纳法原理可以看成 是归纳公理的一个推论 因此 逻辑符号所提供 的公理化体系为数学分支中这个悬而未决的问 题 数学归纳法的逻辑基础 提供了解决 之道 2 4 2 数学归纳法的等价形式 良序原理 w e l l o r d e r i n gp r i n c i p l e 良序原理指的是 每一个非空自然数集都有 一个最小的数 通常也称为最小 自然 数原理 T h el e a s tn u m b e rp r i n c i p l e 我们可以用数学归 纳法证明良序原理 反过来也可以用这个原理来 推出数学归纳法 3 结语 综上所述 正是经历了三千多年缓慢 曲折 艰辛的发展 算术和代数最终演化为成熟 完善 的符号代数 即经历文字代数 缩写代数和符号 代数不同阶段 古今数学家们才得以运用简洁明 确的符号来表达深奥晦涩的数学原理和思想 尤 其是近二三百年以来 符号代数使得数学得到了 前所未有的发展 衍生出许多数学分支 使得数 学这个大家族越来越兴旺 其中数学归纳法正是 在皮亚诺提出自然数公理体系之后 才真正成为 一种被数学界普遍接受的演绎推理的证明方法 并在数学发展中贡献一份力量 参考文献 1 M i l l e r J E a r l i e s tk n o w nu s e so fs o m eo ft h ew o r d so fm a t h e m a t i c sI E B O L h t t p j e f f 5 6 0 t r i p o d c o m i h t m l a c c e s s e d2 1M a r c h2 0 1 2 2 7 C a j o r i F O r i g i no ft h eN a m e M a t h e m a t i c a lI n d u c t i o n T h e A m e r i c a nM a t h e m a t i c a lM o n t h l y l J 1 9 1 8 2 5 5 1 9 7 2 0 1 3 李文林 数学史概论 第二版 M 北京 高等教育出版社 2 0 0 2 4 3 4 5 4 卡兹著 李文林等译 数学史通论 第2 版 M 北京 高等 教育出版社 2 0 0 4 6 9 5 H e a t h T L T h eT h i r t e e nB o o k so fE u c l i d SE l e m e n t s V O L U M EI I M t r a n s l a t e df r o mt h et e x to fH e i b e r g C a m b r i d g e C a m b r i d g eU n i v e r s i t yP r e s s 1 9 0 8 4 1 2 4