湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 3.2.3利用向量解决平行与垂直问题教案 新人教版选修11(1).doc

3.2.3利用向量解决平行与垂直问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面又学习了用向量表示线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系，所以本节课是通过运用这些关系解决立体几何中的平行与垂直问题。本次课内容不难理解，但学生自己做题时往往会遇到一个如何转化的问题，因此，教学中应重点抓住转换思想来进行.【教学目标】：（1）知识与技能：继续理解用向量表示空间中平行与垂直的关系和方法；会用向量法和坐标法等方法解决立体几何中的平行与垂直问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：向量法与坐标法.【教学难点】：立体几何中的平行与垂直问题向向量问题的转化.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.2 平行与垂直关系的向量表示。为学习新知识做准备.二、探究新知一、用向量处理平行问题adcbefnm 分析：先复习共面向量定理。要解决问题，可以考虑将向量用向量线性表示出来。评注：向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。 （图略） 分析：面面平行线面平行线线平行。评注：由于三种平行关系可以相互转化，所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化，在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系，方能减少运算量。本题选用了坐标法。思考：一般应如何建立空间直角坐标系？二、用向量处理垂直问题 （图略）分析：线面垂直线线垂直。评注：本题若用一般法证明，容易证af垂直于bd，而证af垂直于de，或证af垂直于ef则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化难为易。例4， 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）abcdo已知：如图,ob是平面的斜线，o为斜足，a为垂足，求证：证明：例1是一道线面平行问题，需要利用共面向量定理来证明。同时介绍解决问题的向量法。联系共线向量来理解。例2是关于面面平行的问题，联系几何定理与向量平行。同时介绍解决问题的坐标法。来源:zxxk.com例3是线面垂直问题，图形和例2一样是正方体，可进一步训练坐标法。让学生体会坐标法的优势。用向量法证明三垂线定理。三、练习巩固分别用向量法和坐标法解决以下问题：向量法：所以，结论成立。坐标法：证明：（图略）巩固知识，培养技能.四、小结利用向量解决平行与垂直问题1 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问题。2 坐标法：利用数及其运算解决问题。 两种方法经常结合起来使用。反思归纳五、作业1，直三棱柱中，角acb是直角，ac1，cb，侧棱=1，侧面的两条对角线交点为d，的中点为m，求证cd平面bdm。 2，课本p111第1、3题。练习与测试：（基础题）1，直三棱柱abca1b1c1中，若， 则 （ ） a+ b+ c+ d+答：d2，若向量、 （ ） a b c d以上三种情况都可能答：b3，一空间四边形abcd的对边ab与cd，ad与bc都互相垂直，用向量证明：ac与bd也互相垂直证明： . 又，即. . 又，即. 由+得：即.4，如图，已知矩形abcd所在平面外一点p，pa平面abcd，e、f分别是ab、pc的中点 （1）求证：ef平面pad； （2）求证：efcd；证：如图，建立空间直角坐标系axyz，设ab2a，bc2b，pa2c，则：a(0, 0, 0)，b(2a, 0, 0)，c(2a, 2b, 0)， d(0, 2b, 0)，p(0, 0, 2c) e为ab的中点，f为pc的中点 e (a, 0, 0)，f (a, b, c)(1) (0, b, c)，(0, 0, 2c)，(0, 2b, 0) () 与、共面 又 e 平面pad ef平面pad(2) (-2a, 0, 0 ) (-2a, 0, 0)(0, b, c)0 cdef（较难题）5，对于任何空间四边形，试证明它的一对对边中点的连线段与另一对对边平行于同一平面。 分析 要证明ef、bc、ad平行于同一平面 d f （e、f分别为ab、cd的中点），只要证明相应 a e c向量ef与ad、bc共面即可。 b证明：如图，利用多边形加法法则可得， =+，=+。又e、f分别是ab、cd的中点，故有=-，=-将代入后，两式相加得2=+， =+即与、共面，ef与ad、bc平行于同一平面。注：本题若用立体几何知识去证明，有一定的难度，由此体会向量法证明的优越性。6，如图，已知a,ab,b,求证b。证明：在内作不共线向量m,n ba、m、n不共面，b=xa+ym+zn。 a两边同乘a得ab=xaa+yam+zan mab,am,an,ab=0,am=0,an=0 n 得xaa=0而a0,x=0,即b=ym+zn b、m、n为共面向量，又b,b。7，正方体abcd-a1b1c1d1中，e是a1b上的点，f是ac上的点，且a1e=2eb，cf=2af，求证：ef