初中数学教学中如何培养学生的几何直观.pdf

初中数学教学中如何培养学生的几何直观 福建省三明市第三中学 林建梅 邮编 365001 义务教育数学课程标准 2011年版 将原 来课程标准中六个 核心概念 增加到十个 几 何直观 就是新增加的核心概念之一 何为几何直观 顾名思意 一是几何 在这 里指图形 二是直观 这里的直观不仅仅是指直 接看到的东西 直接看到的是一个层次 更重要 的是依托现在看到的东西 以前看到的东西进行 思考 想象 综合起来 几何直观就是依托 利用图形进 行数学的思考与想象 可以理解为借助见到的或 想到的图形的形象关系形成对数量关系的直接 感知 从而利用图形描述和分析问题 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得 简明 形象 有助于探索解决问题的思路 笔者认为三角形按角如何分类是三角形内 角和定理的一个应用 正是因为三角形的内角和 一定等于180 所以三个内角只能是三个锐角 两个锐角一个直角或两个锐角一个钝角三种情 况 即三角形按角只能分成三类 这个结果是在 运用三角形内角和定理的过程中的一个自然产 物 因此 本课时教学设计应以三角形三个内角 的关系为出发点和生长点 衍生出相关知识 并 使学生对知识之间的内在关系有更理性的认识 三 教学设计重构 1 上节课我们认识了什么叫做三角形 了 解了三角形的相关概念 并知道三角形三边之间 的关系 那么三角形的三个内角之间有怎样的关 系呢 在小学是如何研究这个问题的呢 设计意图 研究一个简单几何图形一般 都从图形的基本要素入手 上节课学习了边之间 的关系 本节课学习角之间的关系 过渡自然 2 基础练习 在 ABC中 A 105 B C 15 则 C 在 ABC 中 A B C 3 4 5 则 C 三角形的三个内角最少有几个锐角 最 多有几个锐角 最多有几个直角 最多有几个 钝角呢 为什么 设计意图 基础练习主要是对三角形内 角和等于180 的简单应用 其中第 3 问意在为 下一个环节问题作铺垫 3 三角形三个内角按锐角 直角和钝角分 有几种可能 三角形按角可以怎样分类 设计意图 有了前面的铺垫 学生很容易 解决这两个问题 让学生感受到三角形按角分类 的合理性 同时还加深了三角形的内角和等于 180 的理解 整节课以三角形的内角和等于180 为生长点展开 结构紧凑 体现了数学知识发展 的科学性和合理性 总之 理解数学 理解学生 是优化教学设 计的落脚点 始终从学生的认知规律和数学知识 体系的发展过程出发设计教学 才能使教学预设 更具合理性 科学性和有效性 才能真正把预设 转化成自然 和谐的课堂生成 参考文献 1 中华人民共和国教育部制定 义务教育数学课程标准 2011年版 M 北京 北京师范大学出版社 2012 2 章建跃 中学数学课改的是十个论题 续 J 中学数 学教学参考 中旬 2010 03 3 梁栋 蔡宝来 王光明 自然式教学 顺应数学思维规 律 J 青春岁月 学术版 2013 01 4 郑敏杰 张红坚 理解数学 理解学生 理解教学是课 堂自 然 推 进 的 源 动 力 J 中 小 学 数 学 高 中 版 2009 10 收稿日期 2014 03 04 332014年第3期 中学数学教学 几何直观不仅在 图形与几何 的学习中发 挥着不可替代的作用 而且贯穿在整个数学学习 过程中 在数学教学中 教师应该选择适当的教 学内容 培养学生的几何直观能力 1 关注新图形的 来龙 和 去脉 建立几 何直观 一个新图形的出现 让学生明确和理解它的 来龙 是必须的 同时 学生要真正在理解中掌 握新图形 让学生借助见到的或想到的图形的形 象关系 产生对数量关系的直接感知 通过适度 对口的习题明确新图形的 去脉 那也是必不可 少的 因而 本人认为 新图形的学习教学 应是 理解新图形的产生 和 了解新图形的去向 两 大核心 只有这样才能让学生掌握新图形 利用 图形描述和分析问题 建立几何直观 现以北师大最新版八年级上册第三章的 轴 对称与坐标变化 为例来谈谈 本节课是在学生学习了轴对称及轴对称变 换的概念和特征后进行的 用坐标表示轴对称体 现了轴对称在平面直角坐标系中的应用 也就是 一个新图形在平面直角坐标系中的应用 进而感 受到图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换 之间的关系 发展数形结合意识 达到建立几何 直观的目的 在 理解新图形的产生 时 我按如 下的探究方式进行 探究 在如 图所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 ABC的顶点坐 标 分 别 为A 3 5 B 1 2 C 4 3 1 以y轴为 对称轴 画出 ABC的对称图形 A1B 1C1 2 写出 A1B 1C1 的顶点坐标 3 对应顶点的坐标有什么关系 4 若点A的坐标是 a b 则写出对应点 A1的坐标 5 若点P x y 是 ABC上的一点 请表 示其在 A1B 1C1 中对应点的坐标 6 在这个坐标系里画出 ABC关于x轴 的对称图形 A2B 2C2 并相应回答上述的 2 3 4 5 问题 学生动手操作产生了新图形 A1B 1C1 首先不仅巩固轴对称及轴对称变换的概念和特 征 而且为探究图形上点的坐标变化与图形的轴 对称变换之间的关系奠定了基础 其实质是将相 对抽象的图形上点的坐标变化的思考对象 图形 化 尽量把探究图形上点的坐标变化与图形的 轴对称变换之间的关系的过程变得直观 直观了 就容易展开形象思维 可以把复杂的数学问题变 得简明 形象 有助于探索解决问题的思路 其 次 让学生亲身经历新图形的发生 发展过程 学 生对新图形的印象会很深刻 自然对图形上点的 坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系这一 结果记住得的时间会更长 一个新图形的出现 不能只关注它的某几个 部位 而不考虑整个图形 这种 只见树木 不见 森林 用孤立的眼光看待问题是不可取的 因而 我先由一个具体的顶点A的坐标 3 5 上升到一 个抽象的顶点A的坐标 a b 再由一个抽象的 顶点A的坐标 a b 上升到一个具有同样特征 的图形 ABC上任意一点P x y 来探究整个 图形上点的坐标变化与整个图形的轴对称变换 之间的关系 这样 学生对新图形有了一个整体 的认识 对新图形的理解更深入 更透彻 也更 完整 在 了解新图形的去向 时 我采取下列练习 方式进行 1 点P 3 1 关于x轴对称的点的坐标 是 关于y轴对称的点的坐标是 2 在平面直角坐标系中 点A关于y轴对 称的 点A 的 坐 标 为 2 9 则 点A的 坐 标为 3 已知点A B C D的坐标分别为A 2 1 B 1 2 C 2 1 D 1 2 则线段 AB与CD关于 对称 4 已知点P 1 a b 2 5 和点P 2 3 2a b 3 分别是点P关于x轴 y轴的对称点 则点 P的坐标是 上述练习学生可以通过动手操作画图的方 式 非常直观形象地达到解决问题的目的 也可 以通过学生的想象来完成 从而提高学生的空间 想像能力和直观洞察能力 43 中学数学教学 2014年第3期 2 重视图形的变化 形成几何直观 形成几何直观 就是形成依托 利用图形进 行数学的思考与想象 形成借助见到的或想到的 图形的形象关系产生对数量关系的直接感知 从 而利用图形描述和分析问题 要想让学生形成这 种直接感知 我个人认为应该让图形运动起来 让学生面对运动变化的图形依然存在对应数量 关系的这种直接感知 能够在运动变化的图形中 寻找不变的东西 对应数量关系的直接感知 也就是常说的 动中有静 达到这个境界自然就 形成了几何直观 现就以下列几种图形变化例子说一说 例1 如下图1 在 A内部有一点P 连接 BP CP 请回答下列问题 求证 P 1 A 2 如图2 利用上面的结论 你能求出五角星 五个 角 的和吗 如图3 如果在 BAC间有两个向上突起 的角 请你根据前面的结论猜想 1 2 3 4 5 A之间有什么等量关系 并说明理由 图1 图2 图3 让学生在图2与图3中寻找图1中的图形 图2很容易找到 图3没有现成的 自然想到构造 出图1中的图形 不难想到连接AD 这种图形的 变化只要找到已知的图形 也就找到对应的数量 关系 问题也就迎刃而解了 让学生在复杂的图 形中寻找已知或基本的图形 把复杂的数学问题 变得简明 形象 有助于探索解决问题的思路 例2 如图 在平 面直角坐标系中 过点 A 3 0 作y轴的平行 线l 点P1 1 2 关 于直线l对称的点P 1 的坐标是 点P2 a 2 关于直线l对称的点P 2的坐 标是 在学生知道通过画一个图形关于x轴 y 轴 对称的轴对称图形 获得对称点坐标之间关系 后 让学生 跳一跳 尝试一个图形关于平行于y 轴的直线l对称的对称点坐标之间关系 这种图 形的变化是寻找不变的画图方法 进而找到对应 的数量关系 达到解决问题的目的 让学生通过 动手操作获得不变的画图方法 把新的数学问题 转化为旧的数学问题 把陌生的数学问题转化为 熟悉的数学问题 把抽象的思维变成直观 形象 易于找到解题的思路 例3 已知 如下图 a 直线AB CD 求证 ABC CDE BCD 如下图 b 如果点C在AB与ED之外 其他条件不变 那么会有什么结果 你还能就本 题作出什么新的猜想 a b 这是八年级上册第186页第15题 由点C的 位置发生改变 而引起图形的变化 点C可以在 直线AB与ED的内部 也可以在直线AB与ED 的外部 总之点C是在直线AB与ED之外的任 何一点 面对这种变化的图形 我们寻找的是不 变的思路 第 1 小题构造平行线 第 2 小题也 构造平行线 第 1 小题构造三角形 第 2 小题 也构造三角形 让学生感受到由于一个点的运 动 导致图形发生了改变 但解题的思路不变 进 一步体会到在千变万化的图形中 有相同的解题 思路 有类似的图形 有类似的数量关系 也就寻 找到不变的东西 对应数量关系的直接感知 形成了几何直观 可谓是 透过现象看本质 3 利用基本图形 拓展几何直观 拓展几何直观 可以从两方面入手 一是图 形 二是思考 想象 而思考 想象又是依托 利用 图形进行的 所以图形的拓展显得尤为重要 我 们知道让学生掌握一些重要的图形 基本图 形是贯穿在数学教学的始终 因而 拓展几何直 观的必经之路就是 利用基本图形 例如八年级数学上册第22页习题第2题 是 一道体现拓展几何直观的例子 532014年第3期 中学数学教学 请你在方格纸上按照如下要求设计直角三 角形 直角三角形为格点三角形 方格纸的边长 为1 1 使它的三边中有一边边长不是有理数 2 使它的三边中有两边边长不是有理数 3 使它的三边边长都不是有理数 这是一道动手操作题 第 1 小题 很容易做 对 但第 2 3 小题错误率很高 有的不是画直 角三角形 有的边长画成有理数 有的既不是画 直角三角形 边长也没有不是有理数 分析其原 因 主要是不知从何入手 随意性比较大 作为老 师的我就思考如何让学生做得对而且快 俗话说得好 从最简单 最基本 最特殊的入 手 最简单 最基本 最特殊的两边长为无理数的 直角三角形是怎样的呢 图1 那就是如上图1所示直角边为2的等腰直 角 ABC 还有直角边为2 2 3 2 4 2 的等 腰直角三角形 如果不是最简单 最基本 最特殊 的两边长为无理数的直角三角形 那么又会是怎 样呢 那就是如图2所示直角边为5的等腰直 角 ABC 还有直角边为2 5 35 4 5 10 210 310 13 2 13 313 的等 腰直角三角形 如果不是等腰直角三角形 那么 又会是怎样呢 那就是如图3所示直角边分别为 5 25的Rt ABC 还有直角边分别为5 35 5 4 5 25 35 10 2 10 10 310 210 310 13 213 13 313 213 313 的Rt 从上述的分析看 不但顺利地解决了上述第 2 3 小题的问题 而且不难发现在方格纸上 存在三角形的全等 相似图形 在图1中有两个直 角边为1的等腰直角 ADC CEB 在图2中 有两 个 直 角 边 分 别 为1 2的Rt ADC CEB 在图3中 有直角边为1 2和直角边为2 4的两个Rt ADC Rt CEB 我们知道全等 是相似的特殊情形 所以只要在方格纸上画出两 图2 个具 有 公 共 锐 角 顶 点 的 类 似Rt ADC Rt CEB 就可以得到Rt ABC了 图3 图1 图2 图3的Rt ABC也在逐渐变得越 来越复杂 越来越难 首先 方格纸的大小发生变 化 由2 1到3 2再到4 4 其次 Rt ABC中 的直角 C由特殊角45 45 变到非特殊的两 个角相加 最后 Rt ABC旁边分别以AC和BC 为边的两个直角三角形也发生变化 由特殊的等 腰直角三角形全等到一般的直角三角形全等再 到一般的直角三角形相似 这样 方格纸中的直 角三角形在变复