初中数学教科书中例题、习题的演变思路与方法.pdf

2 0 1 2 年第 5 期 数学教 育研 究 3 9 初中数学教科书中例题 习题的演变思路与方法 张继 海 四川省绵阳市教育科学研究所6 2 1 0 0 0 爱因斯坦 曾指 出 提 出一 个 问题 比解 决一 个 问题 更 为重要 因为解 决 问题 也许 是 一个 数学 上或 实验 上 的技能而已 而提 出新 的看 法 新 的可 能性 从 新 的角 度 去看 旧的问题 却需要创 造性 的想象 力 而且标 志着 科 学 真 正 的 进 步 数 学家奥加涅 说 很 多习题 潜 在着 进一 步扩 展其 数学 功能和教育功 能 的可 行性 初 中数 学 教科 书 中的 例题 习题也不 例外 它们是 经 过编 者反 复琢 磨 认 真 筛选后精心设置 的 不少题 目内涵 丰富 教育教 学功 能 多样 具 有很 强 的探 究性 在 教 学过 程 中若立 足教 材 充分发挥课本例 习题 的多元 功能 能有 效避免 题海 战 术 巩固基础知识 增 强学生应变能力 提 高数 学素养 当完成一个 数学 题 的解 答后 有 必要 对该 题 的 内 容 形 式 图形 结 构等 做 进一 步 的探讨 以真正 掌握 题 目所反映 的问题 的本 质 如果 能对 一个 内涵丰 富 的 数学题进行一题多变 从变 中总结解 题方法 从 变中发 现解题规律 从变 中发 现 不变 必将使人受 益匪浅 作为一个初 中数 学教 师 在备 课 教 学 考 试命 题 和从 事教学 研 究 活 动 中 常 常需 要演 变 陈 题 改 编 新 题 供教学训 练使 用 事实 上 若教 师 能指 导学 生变 题 改题 不但可 以使学生加深 对解题 方法 的理解 掌握 典 型题 目的解 题规律 而且还 能培 养学生 的创新 思维 所 以 对初 中数学 教材 中典型 的例 习题进 行演 变 是 数 学教师 的一项 基本 能力 下面 以义 务教 育课 程标 准 实 验教科 书数学 人 教 版 中的例 题 习题 来加 以说 明 演 变 的思路 与方法 1 保持 条件 不 变 演 绎 深化 结论 直接从 一道 例 习题 出发 在保 持 原 有 题 目的 条 件 关 系 如数量 图形 形状 与位 置 关 系 不 改变 的前 提下 继续 演绎 深化 探究试题 可能 有的结 论 使 之衍 生出一些具有深刻新意 的题 目 这种 演绎变题 能体现 新 旧题 目的 已知 条件 和结 论 之 间的 内在联 系 使 学生 可以从整体上去 掌握 知识 和解 题 方法 不 知不 觉地 进 入 一个 新 的 高 度 例 1如图 1 R t AB C中 C D 是 斜 边 上 的 高 AC D 和 C B D都 和 AB C相似 吗 证 明你 的结论 9下 P4 9 练 习第 2 题 分析 结论是肯定 的 问题可 以表述为 直角 三角形 被斜边 上 图 1 C 的高分成 的两个 直 角三 角形 和原 三 角形 相似 这 也 是 直角三角形相 似 的一个 判定 方 法 该 图形是 平 面几 何 中最基本 的图形 之一 称为母子三 角形 在 已有 的条件下 我们很容易得 出以下结论 变式 1 线 段 乘 积式 1 AC B C AB C D 2 AC AD AB 3 BC BD AB 4 C D AD DB 变式 2 面积关 系 式 1 S A c D S AD DB 2 S c D 一 S A B c S 变 式 3倒 数 关 系 有 击一 例 2 如 图 2 oO 的直 径 AB 为 1 0 c m 弦 AC为 6 c m AC B的平分线交 oo于 D 求 B C AD B D 的长 9上 P 8 6例 2 分析 在 涉 及 圆 中 的有 关 弧 弦 包 括直 径 角 圆 心 角 圆周 角 等 问题 中 垂径 定 理 和 同圆 中的 关 系 在 同 圆 或 等 圆 中 圆心 角相等 甘 弧 相等 弦 D 图 2 相等 弦心距相等 甘 圆周角相等 是转化 已知 沟通 结论 的纽 带 其 中 半 圆 或 直 径 所对 的 圆周 角 是 直 角 的性质也 常用到 多 与勾 股 定理 结合 将 出现代 数 等式 在 现有 已知条件下 可进 一步的 变式 1 求 四边形 AC B D 的面积 等于多少 变式 2 求 内角平分线 C E的长 例 3任意 画一个 四边形 AB C D 四边形 的 四边 中 点分别为 E F G H 连接 E F F G G H HE 并量 出它 们的长 你发 现 了什 么 量 出 图 中新 四边 形 各角 的度 数 你 又发现了什么 多画 几个 四边形 试试 你 能得到 什么猜想 7上 P1 5 5第 1 4题 变式 1 E F HG与 AC的长度有什么关 系 变式 2 F G EH 与 BD 的长度 有什 么关系 变式 3 四边形 AB C D与 E F GH 的面积有什么关 系 变式 4 将 四边 形 AB C D 沿 E F GHE剪 开 后 试 一 试 怎样拼成一个平行 四边形 2执 果 索 因 寻 求使 例 习题 结 论成 立 的 充 分 条 件 执 果索 因是数学上常用 的一种 推理 思维方 法 其 主 旨是 根据题 目已经给 出 的结论 假定 结论 正 确 并 保持不变 从 结论 人手 考 虑问 题 寻找 使 结论 成立 的 一 个充分条件 即 由欲知探 求需知 最后 找到一 个全新 而简洁 的充 分条件 产生新题 例 4 计 算 二 a 二 a b 一 8下 P 2 4第 1 5 题 分析若设 n 一6 一m 6 一f 一 f 一口 一声 并注意 到 n 6 c o 则结果 可表为 更简单 的形式 f 1 0 HP 且 m 户 一0 由此说 明分 式的值不能为 0 4 0 数学教育研究 2 0 1 2 年 第 5期 变 形 原 分 式 一 专 b a 4 n C f n 口一 6 一 一 1 1 n b 6 c C C 0 0 口 一 一 一n 一一 L c 一 口 n b 变式 1 设 n 一6 一m 6 一c c n p 化简 十 np pm 变 式 2化 简 a c c b a 例 5 解 方 程 x一 1 一 8下 P 2 8 例 2 分析本题 通过 去分母 去 括 号 移项 合并 同类 项 可解得 z 一1 然 后验证作答 虽然 z一1不是原 方程 的解 但据此我们可以编拟出以 z 一1 为根的分式方程 变式 1 解方程 x 1 1 一 3 解为 z 一1 变式2 解方程 2 x 5 解 为z 一 或 一 一 3考查 例 习题 的逆命 题或 否命 题 一 般地 可以判 断真假的陈述 句叫做命 题 把一个 命题 的条件 和结论 互换 否 定 就得 到 它的 逆命题 否 命题 所 以每个命题 都有 逆命 题 否命题 由于 两个 互逆 的命 题或互否的命题 它们 的真假性没 有关 系 所 以交换命 题的条件 与结 论 或将 原命 题 的题设 条 件与 结论 都加 以否定 能得到新 的命题 但这 个新命题 不一 定正确 需要我们加 以辨识证 明 例 6如 图 3 将 一 张 矩形 纸片沿较长边 的 中点 对折 如果 得到的 两个 矩 形 都 和原 来 的 矩 田 田 形相似 那 么原来 矩形 的长 宽 比 是多 少 将 这 张 纸 再 如此 对 折 图 3 下去 得 到的矩形都相似吗 9下 P3 9第 8题 分析矩 形是 有一个 角 为直角 的平行 四边 形 它 具有平行 四边形 的所 有性 质 又有 自己特殊 的性质 是 轴对称 图形 有 2条 对称 轴 非 正方 形 四个角都 是 直角 对角线相等且互相平分 变式 1 已知一个矩形长与宽的比为 2 如果将矩 形沿较 长边 的中点对折 将 得到两个 全等 的小矩形 那 么它们都和原来 的矩形相似 变式 2 将一 张矩形 纸片沿过其中心 的直线 对折 得 到两个图形 直 角三 角形或 直角 梯形 全等 相 似 比 等 于 1 说明变 式 2这 种 情 况 的折 法 不 需 要 长宽 比的 限 制 例 7如 图 4 AB C中 C D是 边 AB上 的高 且 一 器 求 c 的 大 小 9 下 P5 6第 1 5 题 分析题 给 图形 是 平 面几 何 中最经典的 图形之一 由 已知 条 件 可 得R t AC D R t A CBD 从 而 A 与 BCD 互 图 4 D 余 B C D 与 AC D 互 余 故 C一 9 0 表 明 AAB C 是直角三角形 C D是斜边 AB上 的高 变式 l 如 图 5 C D是 0o 的弦 AB是 直径 C D J AB 垂 足为 P 求证 P C 一P A PB 变 式 2如 图 5 AB C中 C D上AB于 D 一定 能 确定 AB C为直角三角形 的条件的是 ZB C D A 而 C D一 器 B A c D 9 0 B C AC A B一3 4 5 AC BD BC AD 变式 3正方形 ABC D 中 E 为 AB 的 中 点 AF DE 于 点 lI 1 A O 一 图 5 4 考查 课本 例 习题 的特例 波利 亚曾说 过 特 殊化 是从 考虑 一组 给定 的对 象 集合 过渡到考虑该集合的一个较小 子集 或仅仅一 个对 象 因此如果 对 于一般 条件 A 式 或 图形 命 题成立 那么对于 A 中的特殊条件 如正 的图形 具体 问题 如 数 命题也应该成立 从 而编制出新的试题 例 8 无论 P取何 值时 方程 z 一3 z 一2 P 一O总有两个 不等的实数根吗 给出答案并说 明理 由 9上 P4 3第 1 4题 分 析含字母 系数的二次方 程 在实数范 围 内 首 先应有 O 若 字母 在 二次项 系数 中 则 还应 考虑 其是 否 为 0 关于一元二次方 程有 实数 根 问题 一 般有 三种 处 理方 式 何时 选择那 种方 式 要根 据具 体题 目的特点 来 确定 利用求根公式求 出根来 利 用根与 系数 的关系将这两个根的和与积表 达出来 z 4 Y C z 一一 z z 一 C 以便 后继 作整体 代换 将根 代入 方程 中 进 行 整 体 处 理 变式 1 分 别对 P赋值 0 2 一 等 可得如下 确 定 的方程 解 方 程 1 z 一 5 x4 6 0 2 2 7 一5 x4 2 0 3 4xz 2 0 x 21 0 变式 2当 z取什 么范围内 的值时 由方程 z 一3 z 一2 一 P 0确 定 的 实 数 P存 在 请 说明理 由 例 9 如 图 6 在 锐 角 三角 R 形 AB C 中 探 究 o a 图 6 C 2 0 1 2年第 5 期 数学教 育研 究 4 1 之间的关系 提示 分别作 AB和 B C边上 的高 9 lI I L 下 P9 8第 1 4题 分析 本 题实 际上 是探究 锐 角三 角形 中边 角关 系的一个 重要 定理 正弦 定理 提 示 的 用意 是 引 导学生用 化归 的思想将问题转 化为可 用解直 角三 角 形的方法求解 既然锐角三 角形 中有这样 的结论 那 么 直角三角形与钝 角三角形是否也有类似 的结论 呢 变式 1 直角三角形 AB C中 C 一9 0 角 A B c 所对 的边 分 别是 n b C 则 口一c s i n A b c s i n B 所 以 变式 2 已知 AB C中 角 A B C所 对 的边 分别 是n b c 若 a 一 丽 0 一 未 试判断AA B C的 形状 5探 讨 例 习题 的推广 推广就是将一个命题 的条件或结 论经过 一般化 后 所得 出正确命题 的一 种编 制数 学题 之 方法 推 广要 么 扩 大了题 目条件 中有 关对 象 的范 围 要 么 引 申了结论 的范 围 如 由 数 向 式 推广 由 特殊 图形 向 一般 图形 推广 由 一 维 向 多维 推广 等 一个 题 目经过 推广后 原来 的题 目就是它 的特殊 情形 两者 具有包 含 关 系 例 1 0 计算 2 7 5 o 6 9上 P1 5第 6题 分析进行二 次根 式的乘 除运算 时 根 据乘 法 除 法的规定 可以从左往右正 向使用 也可 以从右往 左逆 向使用 从而得 到不 同的 解法 往往 可 视其 具体 题 目 的数字特点和结构 特征 灵 活选用 一般 情况是尽 可能 先把根式化简 大数 化小 遇 到字 母 开平方 时 必 须注 意字母的正 负性 讨论 因为原式一 v 丽 X 2 3 5 所 以设 2 n 3 一b 则 5 一a b 题 目可演 变 成 如 下 形式 变式 1 化简 X v 丽 若赋予 a一些不同的值 相 应的可得到 b的值 则 可 得到一组二次根式的乘法除法试题 变式 2 甲 乙两同学在化 简 2 5 一 X X 5 z 时 采用 了不 同的方法 甲 因为 z Y是 二次 根 式 的被 开方 数 且 在 分母 上 所 以 z 0 0 于是令 z 一1 一1 代入可得 原式一 一 乙 原式 一 X 一 5 zY 从而得 出了不 同的结 果 请 指 出甲 乙 同学 的做法 是 否正确 说明理 由 例 l l 如 图 7 四边形 AB C D是矩形 A B一4 c m AD 3 c m 把矩形沿直线 AC折叠 点 B落在 点 E 处 连 接 D E 四边形 AC ED是什么图形 为什么 它 的面 积 是多少 周长呢 8下 P 1 1 0页第 1 O题 二 三 二 图 7 分析本问题涉及矩形 的性质 等腰梯形 的判定 三角 形全等 的判 定与 性 质 勾 股定 理 等 知 识 综 合 性 强 在图文结合 理解 题意 时 要特 别 明确 甚 至 单独 标 注 写 出 折叠 前后 哪 些线 段 或角 没有 变化 哪些 线 段 和角变了 以便解答过程 中加 以充分利用 变式 1 如 图 四边形 AB C D 是矩形 把 矩形沿 直 线 AC折叠 点 B落在点 E处 连接 DE 若 AB AD 6 日 6 0 求 DE AC 变式 2 保 持条 件不变 继 续探 索结 论 如 图 求 阴影三角 形部 分的面积 变式 3如 图 四边形 AB C D 是矩形 点 F在矩形 的边 BC上 翻折 AB F后 点 B恰好 落在 C D 边上 即 E处 若 AB AD一口 b a 6 O 求 s i n C E F 6减少 弱 例 习题 的条 件 开放 结论 教材 中的例 习题 的条 件一 般都 是结 论 的充 分条 件 若减少 或减 弱一个或几个 条件后 探求 由此产 生 的 许多新结论 这 时试 题 的解 法和 结果 将会 有很 大 的变 化 从而使试题具有 较大的开放性 编出开放性试题 例 1 2一个 函数 的图象是 经过原 点 的直 线 并且 这条 直线过第 四象限及点 2 一3 a 与 日 一6 求 这个 函数 的解析式 8上 P1 2 0第 8题 分析仔细审读清楚题 目条件 一 个 函数 其 图象 是直 线且 过原点和第 四象 限 逐 渐缩小 函数类 型 选择 确定 为正 比例函数 在解 出 n k的对应 值后 再验证 条 件是否被 满足 作 出符合题 目完全 要求 的结论 如果 没 有限制条件 这条直线过第 四象 限 则结 论有 两解 由 于点 A 2 一3 a 和 B a 一6 的横 纵坐标 乘积 相等 都 等于 一6 口 所 以 当 口 0时 点 A B 同在 反 比例 函数 y R 一 n O 的图象上 Z 变式 1在 同一直 角坐标 系中 指 出动点 A 2 一 3 a B a 一6 随 口而变化 的图象形状 变式 2 已知一 次 函数 的图象经 过点 A 2 一3 a 和 B a 一6 求这个一次 函数 的解 析式 并指 出图象特 征 例 1 3如 图 8 抛物线 一口 z 十b x c经 过 一 1 一 2 2 0 一 8 2 8 三点 求 它 的开 口方 向 对称轴和 顶点 坐标 9下 P 1 5第 1 O题 分析根据抛 物线 n 6 z C经 过 三 点 利 用 待 定 系 数 法 列 出关 于 a b c的方 程 组 并 y l 一 l D I 图 8 求 出它们的值 然 后具 体化抛物线 的解 析式 再 把它化 为顶 点形 式 Y 一4 z一 作 答 题 目是 明确 具体 的 条件 不多 也不少 若 去掉 一些 4 2 数学教育研究 2 0 1 2年第 5 期 条件 如一 个点或仅仅给出 图象特征 去寻求 有关二 次 函数 的未知量 则可得 出极富挑 战性 的开发题 如变 式 3 变 式 1 抛物线 y a x b x c与 z轴 的公共 点 是 A 一1 O B 3 O 求这条抛物线的对称轴 变式 2 抛物线 一口 6 z c 经过 0 一8 2 8 两点 求它 的开 口方 向 对 称轴 和顶 点 坐标 并 画 出 示 意 图 变式 3 已知二次 函数 a x b x c a O 的图 象如图 你能根据 图象所 提供的信 息得 出哪些结论 呢 至 少 五 个 试 一 试 7变换例 习题 的条件 将原有题 目的条 件 如 数量 关 系 图形 形状 与 位 置 l J i 以变换 从而得到新题 的一 种编制数学题 的方法 变换条件有等价变换和非 等价变换 等价变 换 条件 往 往就是把形式不 同而实质相 同的基本 对象互相交换 如 数与形 非等价变换 的情形 就更 多了 特别需要 对改编 后 的试题进行仔细的审查 校做 以免编 出错题 例 l 4 如图 9 折 叠矩形 AB C D 的一边 AD 使 点 D 落在 B C 边 的点 F 处 已知 折 痕 AE一5 5 且 t a n L EFC 3 1 AF B 与 E F C 有什 么关 系 2 求 矩 形 AB C D 的周 长 9 下 P 9 8第 1 1 题 变式 l 在原 题 目的已知 基 础上 深 化 演绎 以 AE为直径画 圆 0 求 B C被oo截得的弦长 F K 变 式 2如 图 1 0 矩 形 ABCD 中 AB一 8 BC 1 0 与原题的 已知条 件等 价 点 P在 矩形 的边 DC 上 由 D 向 C运动 沿直线 AP翻折 ADP 形成如下 四种情 形 设 DP 1 7 ADP和矩 形重 叠部分 阴影 的面积 为 y D D P l l 三 三 二 图 1 0 1 如 图丁 当点 P运动到与 c重合 时 求重 叠部 分 的面积 2 如 图 乙 当点 P运 动 到何 处 时 翻折 AAD P 后 点 D恰 好落 在 B C边 上 这 时重 叠 部分 的 面积 Y 等于多少 3 阅读材料 已知 锐角 4 5 t a n 2 a是 角 2 a的 正切值 它可 以用角 的正切值 t a n a来 表示 即 t a n 2 等 嚣 a 4 5 o 根 据 上 述 阅 读 材 料 求 出 用 表示 Y的解析式 并指出 X的取值范 围 提示 在 图丙 中可 设 DAP一口 例 1 5 题 目同例 2 变式 1如图 1 1 1 AD是 A B C外角 E AC 的 平分线 AD 与 三角 形 的外 接 圆交 于 点 D 求 证 B D CD 变式 2 如图 1 l 一 2 点 A B C D 在 同一个 圆上 四边形 AB C D 的对角线 把 4个 内角 分成 8个角 这 些 角中哪些是 相等的角 图 1 l 一 3 图 1 1 4 变式 3如 图 1 1 3 A P B C是 oo上 的 四点 A P C C P B 6 0 判断 AB C的形状并证 明你 的 结论 变 式 4 如 图 1 1 4 圆 内接 四边 形 ABCD 中 对 角 线 AC与 B D 相 交 于 E 求证 AC BD AB C D AD BC 8几 何题 目的 图形变 换 初 中平 面几 何 主要研 究平 面上 的点 直 线 和 圆之 间的几何结构 和度 量关 系 面 积 长 度 角度 强调 图 形 的本质属性 着力提高学 生识 图用 图能力 其 图形变 换包括平移 对称和旋转 可 以改变点 线段 角等 几何 图形 的位 置 但不改变大小 等 例l 6 如 图1 2 ABD AE C都 是 等 边 三 角 形 B E 与 DC有什么关 系 你能用旋 转 的性 质说 明 上述 关 系成 立 的理 由吗 B 9上 P6 7第 9题 分析由于旋转 是刚体 运动 旋转前 后 的 图形 全等 所 以藉 此 C 图 1 2 D 可以在较复杂 的图形 中发 现 等量 或 全 等 关 系 或通 一 2 0 1 2 年第 5 期 数学教育研 究 4 3 过旋转 割补 图形 把分散 的 已知 量聚合起 来 便于 打 通解题思路 疏通解题突破 口 变式 1 如 图 1 3 AB c和AEC D 都是 等边三 角 形 AE B C可 以看作是 ADAC经过什 么图形 变换得 到 的 说 明理 由 D 图 说 明 如 图 1 3 把 D A 本题 经过下列各种演变 如 图 1 4 1 AB C与 C DE在 B C 的异侧 2 点 C在 B D 的延长线上 3 C点在 B D 外 4 AC D 与 B DE 在 B D 的 异 侧 且 D 点 在 B C 的延 长线上 5 AB C与 C D E都 改 为顶 角 相 等 的等 腰 三 角 形 即 AB AC C E DE BAC C ED D A B 图 1 5 图 1 6 变式 2如 图 1 5 四边形 AB C D A C F G都 是正方 形 则 B G与 C E 有什么关系 说 明理 由 变式 3如图 1 6 AAB D AE C都是等腰直角 三 角形 则 B E与 DC有什么关系 例 1 7 如 图 1 7 点 B E C F在 一条 直线 上 AB DE AC DF BE C F 求 证 A 一 D 8上 P1 6第 9题 B 分 析本 题 图 可 看 成 是 两个全等 重合 在一块 儿 的三 角形 将 其 中 的一 个 向右 进 行 D E C 图 1 7 F 了平移 事实上 一个 图形 经过平 移 翻 折 旋 转后 位 置变化 了 但形 状 大小 都没 有改 变 即平 移 翻折 旋 转前后 的图形全等 下面一组 图形 变化包 括 了平 移 对 称 旋转等不同情况 几 乎可 以囊 括这一 章 中所有题 目 涉及到的 图形情 况 只要 我 们认 真 观 察 仔 细 分 析 图 形 就能发现其全等 的两个 三角形 进 而通过 全等三 角 形的性质解决问题 变式 1 平移 水平 方向 斜方 向 一 一 变式 2对称 关 于点 线 变式 3 旋转 变式 4 先平移 后 对称 变式 5指出下列 一些 图形 的生成 方式 平移 翻 折 旋转 并指 出沿 什么直 线翻折 的 旋转 点 旋 转角 分别是什么 9综合 演绎 变题 前面给 出了几种例题 习题 演变 的思路 与方法 但 往 往在演变一个题 目时 不仅仅 只用 到其 中一种 而是 多种思路与方法 的综合渗 透 各种变 式相伴 而行 即在 实施变式 过 程 中 要综 合 应 用多 种 方 法变 异 演绎 试 题 将 原有 数学题 目的 已知 所有 的 结 论 图形 等 同 时加 以变换 改造成新题 厂 厂 例1 8 计算 一 9 上P 5 第2 题 V o 分析大家知道 当 a 0时 n 有意义 且 n 一n 而当n O 为 了预 防解题 粗 心 一 4 4 数学教育研究 2 0 1 2年第 5期 出 口 一一二 2 通常是根据平方 或立 方 的意 义 先处理 掉 好 符号 再 按有 关顺 序和 规定 运算 变 式 l填 空 告 z 一 1 变式 2当 时 式子 I 在实数 范 一 3x一 2 围 内有 意 义 变式 3 若 3 一2 是整数 求正整数 的值 至少 写 出 3个 1 变式 4 是 否存在 正 整数 使 得 l 是有 理 3 2 数 若存 在 求 出一个 的值 若不存在 说 明理 由 例 l 9四边形 AB C D是 正方形 点 E是边 B C 的 中点 A E F 9 0 且 E F交正 方形外 角 的平分 线 C F 于点 F 求证 AE E F 提 示 取 AB 的 中点 G 连结 EG 8下 P1 2 2第 1 5题 分析 由于正方形 图形 的特殊 性 所 以图文结 合 取 AB的 中点 G 连结 E G 将 AE与 E F 纳人 AE G和 E F C中 然后设法证明这两个三角形全等 仔细思考 可 以发现 条件 点 E是边 B C的 中点 是多余 的 只要 满足 点 E是边 B C上的任意一点 结论就成立 变式 1 连结 AC 则 点 A E C F 四点在 一个 圆 上 利 用圆周角的性质 结论 AE E F立即 自明 变 式 2 连 结 AH 则 AH AB C H B AE 一 EAH 变式 3如 图 1 8 设 E是边 B C上 的任意一点 AE 上E F C F是正方形外角 的平分线 AE E F 则可得 共三个 命题 不 难证明它们都是正确的 变式 4如 图 1 9 E是正方形 AB C D 中B C边上 的 任意一点 连结 AE 过 E作 E F L AE交 C D 于 H 设 B AE a E AH 求 t a n口 t