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数学分析 上册教案 第五章 导数与微分 河西学院数学系 1 4 4 高阶导数 高阶导数 教学章节 教学章节 第五章 导数与微分 4 高阶导数 教学目标 教学目标 了解高阶导数的定义 熟悉高阶导数的计算 教学要求 教学要求 掌握高阶导数与高阶微分的定义 会求高阶导数与高阶微分 能正确理解和运用一阶 微分的形式不变性 并与高阶微分清楚地加以区分 教学重点 教学重点 高阶导数 微分 的计算 教学难点 教学难点 高阶导数 微分 的计算 教学方法 教学方法 以问题教学为主 结合练习 教学过程 教学过程 引言引言 前面已经看到 当 x变动时 f x 的导数 x f 仍是 x的函数 因而可将 x f 再对x 求导数 所得出的结果 x f 如果存在 就称为 x f 的二阶导数 例如 已知运动规律 t s s 则它的一阶导数为速度 即 t s v 对于变速运动 速度也是 t的函数 t v v 如果在一段时间 t 内 速度 t v 的变化为 t v t t v v 那么在这段时 间内 速度的平均变化率为 t t v t t v t v 这就是在 t 这段时间内的平均加速度 当 0 t 时 极限 t v t 0 lim 就是速度在t时刻的变化率 也就是加速度 即 lim 0 t v t v t a t 综上知 t s t v t a 加速度是路程 t s 对时间的导数 的导数 说加速度是路程对时间的二阶导数 记为 t s t v t a 或 2 2 dt s d 这就是二阶导数的物理意义 例如自由落体运动规律为 g a gt v gt s 2 2 1 一般地 有如下定义 一 一 高阶导数定义高阶导数定义 数学分析 上册教案 第五章 导数与微分 河西学院数学系 2 定义定义 二阶导数 若函数 f 的导函数 f 在点 0 x 可导 则称 f 在点 0 x 的导数为 f 在点 0 x 的 二阶导数 记作 0 x f 即 lim 0 0 0 0 x f x x x f x f x x 此时称 f 在点 0 x 二阶可导 如果 f 在区间 I 上每一点都二阶可导 则得到一个定义在 I 上的二阶可导函数 记作 x f I x 或记作 f y 2 2 dx y d 函数 x f y 的二阶导数 x f 一般仍旧是 x 的函数 如果对它再求导数 如果导数存在的 话 称之为函数 x f y 的三阶导数 记为 y x f 或 3 3 dx y d 函数 x f y 的 1 n 阶导数的导数称为函数 x f y 的n阶导数 记为 n y n f 或 n n dx y d 相应地 x f y 在 0 x 的n阶导数记为 0 x x n y 0 x f n 0 x x n n dx y d 二阶及二阶以上的导数都称为高阶导数高阶导数 二 二 高阶导数的计算的例子高阶导数的计算的例子 从高阶导数的定义可知 求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法 在概念上高阶导数 没有什么新东西 但在具体求高阶导数时还是需要一些新技巧 例 例 1 1 ax e y 求 n y 解解 ax e a y ax e a y 2 ax n n e a y L 例 例 2 2 x y 求 n y 解解 1 x y ax e a y 2 n n x n y 1 1 L L 1 n 当 为正整数 时 n n y n n 则 0 x P n 例 例 3 3 1 ln x y 求 n y 解解 x y 1 1 2 1 1 x y n n n x n y 1 1 1 1 L 1 n 其中规定 1 0 数学分析 上册教案 第五章 导数与微分 河西学院数学系 3 例 例 4 4 x y sin 求 n y 解解 2 sin cos x x y sin sin x x y 2 sin n x y n M 同理可得 2 cos cos n x x n 用 Euler 公式 sin cos i e i 形式地 2 2 sin cos 2 sin 2 cos n n n i i n i i n n i i n i n e e e e i e 所以 2 cos cos n x x n 2 sin sin n x x n 例 例 5 5 x arctg y 求 n y 解解 y y tg x y 2 2 2 cos 1 1 1 1 2 2 sin cos sin cos 2 2 y y y y y y 2 3 sin cos 2 2 2 cos cos 2 2 2 cos cos 2 2 2 sin sin cos 2 3 3 4 3 y y y y y y y y y y y L L 2 sin cos 1 y n y n y n n 特别地 2 2 1 0 1 1 2 n y n n 0 0 2 n y 数学分析 上册教案 第五章 导数与微分 河西学院数学系 4 三 三 高阶导数的计算法则 高阶导数的计算法则 Leibniz Leibniz 公式公式 n n n v u v u n n u c u c 1 0 0 1 v u v u v u 2 0 1 1 0 2 2 v u v u v u v u 3 0 2 1 1 2 0 3 3 3 3 v u v u v u v u v u 定理定理 若 v u 有任意阶导数 则 n k k k n k n n v u C v u 1 k n k n C k n 证明证明 用归纳法 1 n 已经成立 设n时成立 我们来证 1 n 时也成立 n k k k n k n n v u C v u 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 n k k k n k n n n n n k k k n k n k n n n n k n k k k n k n k k n k n n k k k n k k n k n v u C v u C v u C C v u C v u C v u C v u v u C 这个证明与牛顿二项式展开公式证明的格式是一致的 这里的更标准 最后一步用到了恒等式 k n k n k n C C C 1 1 注注 将 Leibniz 公式与二项式展开作一比较可见 n o k k n k n n n n n v u v u C v u C v u v u L L 1 1 1 0 这里 1 0 0 v u 在形式上二者有 相似之处 四 四 复合函数的高阶导数 参数方程的高阶导数复合函数的高阶导数 参数方程的高阶导数 复合函数 反函数 参数式 隐函数归纳不出求高阶导数的公式 但至少我们可归纳出二阶 三阶导数的公式 那也是非常有用的 例如 x g f y 数学分析 上册教案 第五章 导数与微分 河西学院数学系 5 x g x g f y 2 x g x g f x g x g f y 3 3 3 3 x g x g f x g x g x g f x g x g f y 设 x y y y x x 互为反函数 则 1 x y y x 3 2 1 x y y y x x y x y y x 又设 t y y t x x 为参数式 则 t x t y x y 3 2 t x t x t y t y t x x t t x t x t y t y t x x y 再设 0 y x F 定义隐函数 x y y 则对 0 y x F 两边求一次导 得出含 x y 的方程 解出 x y 来 求二次导 得出含 x y 的方程 可解出 x y 来 例 例 6 6 x y arcsin 求 0 n y 解解 这个函数求 x y n 的公式是困难的 但求 0 n y 相对容易 这在今后研究它的 Taylor 展开式时是有用的 2 1 1 x y 1 1 2 2 y x 两边再对 x 求一次导数 得 0 2 2 1 2 2 y x y y x 当 1 x 时 0 y 可除去 y 项 得 0 1 2 y x y x 求 2 n 次导数 用 Leibniz 公式 得 0 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n y n xy y n n y x n y x 把 0 x 代入 得 0 0 2 0 3 2 0 2 2 n n n y n y n n y 数学分析 上册教案 第五章 导数与微分 河西学院数学系 6 0 2 0 2 2 n n y n y 0 0 0 y 1 0 1 y 0 0 2 n y 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 0 1 3 2 1 2 0 1 2 0 n y n n y n y n n L 例 例 7 7 设 x f y 在 0 x 点有一 二阶导数 满足 0 0 x f y 0 0 0 x f y 求过点 0 0 0 x f y x M 的圆 2 2 2 R b y a x 使得它在 M 点与给定函数有相同的一二阶导数 该圆称为曲率圆 R 称为曲 率半径 R k 1 称为曲率 点 b a 称为曲率中心 它在工程中 比如 铁路转弯的 设计中非常有用 解解 需要求的参数有三个 R b a 它们满足 1 过M 点 1 2 2 0 2 0 R b y a x 2 在M 点一阶导数相同 2 0 0 0 0 y b y a x 3 在M 点二阶导数相同 3 0 1 0 0 2 0 y b y y 由 3 解出 0 2 0 0 1 y y y b 由 2 解出 0 2 0 0 0 1 y y y x a 由 1 解出 1 0 2 3 2 0 y y R 例 例 8 8 试求由摆线参量方程 cos 1 sin t a y t t a x 所确定的函数 x y y 的二阶导数 练习练习 1 函数 x y y 由方程 t y t x 4 4 sin cos 确定 试求 dx dy 及其在 2 0 t 处的值 2 函数 x