高等数学系列经典学习资料2.5连续函数运算.pdf

华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 1 1 定理定理2 4 3 严格单调递增 连续函数的反函数严格单调递增 连续函数的反函数 xx cot tan在其定义域内连续在其定义域内连续 三 连续函数的运算和初等函数的连续性三 连续函数的运算和初等函数的连续性三 连续函数的运算和初等函数的连续性三 连续函数的运算和初等函数的连续性 定理定理2 4 2 在某点连续的有限个函数经有限次和在某点连续的有限个函数经有限次和 差差 积积 利用极限的四则运算法则证明利用极限的四则运算法则证明 连续xx cos sin 商商 分母不为分母不为 0 运算运算 结果仍是一个在该点连续的函数结果仍是一个在该点连续的函数 例如例如 例如例如 xysin 在在 22 上严格单调递增连续 反函数 上严格单调递增连续 反函数 xyarcsin 递减递减 在在 1 1 上也严格单调递增连续 递增 上也严格单调递增连续 递增 递减递减 也严格连续单调也严格连续单调 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 2 2 定理定理定理定理2 4 42 4 4 连续函数的复合函数的连续性连续函数的复合函数的连续性连续函数的复合函数的连续性连续函数的复合函数的连续性 x ey 在在 上连续单调 递增上连续单调 递增 其反函数其反函数xyln 在在 0 上也连续单调递增上也连续单调递增 1 设函数设函数 ug x 0 连续在点 x lim 0 0 ufuf uu 则则 0 lim xx f g x 0 f u 则复合函数则复合函数 f g x 0 连续在点 x 如如 即即 0 lim xx fg x 2 特别当 在点 特别当 在点x0有极限有极限u0 ug x lim 0 0 ufuf uu 0 0 lim xx g xg x 函数函数y f u 在点在点u0连续 函数 连续 函数 y f u 在点在点u0 连续 连续 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 3 3 例如例如例如例如 x y 1 sin 是由连续函数是由连续函数 sin uuy 1 x u R 0 x 因此因此 x y 1 sin 在上连续复合而成在上连续复合而成 x y o x y 1 sin R 0 x 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 4 4 x xx 1 1sinlim求 x xx 1 1limsin x xx 1 1sinlim 解 解 sine 例例 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 5 5 例例例例1 1 设设 xgxf与均在均在 ba上连续上连续 证明函数 证明函数 max xgxfx 也在也在 ba 上连续上连续 证证 2 1 x xgxf xgxf 2 1 xgxfx xgxf 根据连续函数运算法则根据连续函数运算法则 可知可知 xx 也在也在 ba 上 连续 上 连续 min xgxfx 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 6 6 初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性初等函数的连续性 基本初等函数在基本初等函数在定义域定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在 一切初等函数 在定义区间定义区间内 连续 内 连续 例如例如 2 1xy 的连续区间为的连续区间为 1 1 端点为单侧连续端点为单侧连续 xysinln 的连续区间为的连续区间为Znnn 12 2 1cos xy的定义域为的定义域为Znnx 2 因此它无连续点 而 因此它无连续点 而 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 7 7 例例例例2 2 求求求求 1 log lim 0 x x a x 解解 原式原式 x x a x 1 1 loglim 0 e a log aln 1 例例3 求求 1 lim 0 x a x x 解解 令令 1 x at则则 1 logtx a 原式原式 1 log lim 0t t a t aln 说明说明 当当 ea 时时 有有0 x 1ln x 1 x e xx 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 8 8 例4 例4 sinsin lim 0 ba bxax ee bxax x 解 解 x ba x ba ee xbabx x 2 sin 2 cos2 1 lim 0 x ba e x ba e xba x bx x 2 sin 1 lim 2 cos2 lim 00 x ba xba x 2 lim 2 1 0 1 bxax ee bxax xsinsin lim 0 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq 9 9 幂指函数幂指函数 形如形如y f x g x 的函数的函数 其中其中f x 0 由恒等式由恒等式 y elny y 0 有有 f x gx eg x lnf x 即 因此 即 因此 当当f x g x 均连续时均连续时 f x g x 也连续也连续 则则 0 0 0 lim xgxg xx xfxf lim lim 00 00 xgxgxfxf xxxx 若 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq1010 例例 2 1 lim x xx x 求 解 解 1 1 2 1 称为指数底数时当x x x x 利用第二个重要极限 注意到 利用第二个重要极限 注意到 若若f x A 则则f x A 为无穷小量为无穷小量 1 2 1 的形式必可写成故底数 x x 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq1111 x xx x 2 1 lim 2 2 2 1 1lim x x x xx x xx 2 1 1lim x xx x 2 12 lim 2 2 2 1 1lim x x x xx 1 e 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq1212 例例例例5 5 求求求求 21 lim sin 3 0 x x x 解解 原式原式e x0 lim 21ln sin 3 x x e x0 lim x 3 6 e 说明说明 若若 0 lim 0 xu xx 则有则有 1lim 0 xv xx xu lim 0 xv xx e 1ln lim 0 xuxv xx e lim 0 xuxv xx x2 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq1313 1 4 1 xx xx x 例例例例6 6 设设设设 1 2 1 2 xx xx xf 解解 讨论复合函数讨论复合函数 xf 的连续性的连续性 xf 1 2 xx 1 2 xx 故此时连续故此时连续 而而 lim 1 xf x 2 1 lim x x 1 lim 1 xf x 2 lim 1 x x 3 故故 xf x 1为第一类间断点为第一类间断点 1 2 xx 1 2 xx 1为初等函数时xfx 在点在点 x 1 不连续不连续 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq1414 若若limf x 1 limg x 称称lim f x g x 为 为 1 型极限问题型极限问题 若若limf x 0 limg x 0 称称lim f x g x 为为 00 型极限问题型极限问题 1 00 和和 0 型称为未定型 它们都不一定 是无穷小量 型称为未定型 它们都不一定 是无穷小量 也不一定是无穷大量也不一定是无穷大量 更不一定是更不一定是1 若 若lim f x limg x 0 称称lim f x g x 为 为 0 型极限问题型极限问题 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq1515 coslim 2 1 0 x x x 求例11 解 例11 解 1 型型 原式原式 2 1cos 1cos 1 0 1 cos1 lim x x x x x 2 1cos 1cos 1 0 1 cos1 lim x x x x x 2 1 e 华东师范大学软件学院华东师范大学软件学院xlqxlq1616 思考思考