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2011年湖南省高中数学夏令营试题及答案营号： 姓名： 学校： 一、填空题：（本题满分90分，每小题9分）1、函数的反函数是,，且对于有，则 . 答：2、设正实数满足，则的最大值为 .答：33、设A是一个六位数（十进制表示）将A的首位数字移至末尾得数B，再将B的首位数字移至末尾得数C，若C是A的倍，则A= 答：714285.4、若集合为空集，则实数的取值范围是 .答：5、在数列中，已知，则使成立的最小正整数的值为 . 答：36、已知函数，无论取何值时，函数在上总是不单调.则实数的取值范围为 . 答：.7、设分别是的重心、垂心，其外接圆半径为. 若为线段的中点，则的值为 . 答：3.8、椭圆长轴为6，左顶点在圆上，左准线为轴，则椭圆离心率的取值范围为 .答：.9、函数的值域为 . 答：10、正方体棱长为1，是中点，是中点，则四面体的体积是 答: 二、解答题（本题满分60分，每小题20分）11、设数列满足,数列定义为.求证: .证明: 依题设,结合绝对值不等式,对,有.从而 .12、设ABC的内切圆I切BC、CA边分别于点D、E，AB、AC边上的中点分别为M、N，求证：.（1）设BI与DE的交点为G，则AGBG; （2）直线MN，BI，DE交于一点. 证明:（1）联结，则,从而又故四点共圆，即,从而AGBG.(2)设直线交于，在中，为中点.则.即.即有,从而为中点，即与重合.故直线MN,BI,DE交于一点.G13、设为平面上的一个有限点集，现将中的点染三色使得任何两个同色点所连成的线段上恰有另外颜色的一个点，求证：中最多有6个点满足要求.解：首先证明 若,由抽屉原理,必有一种色染上三个点;且同色三点不共线(否则不妨设同色且依次排在一条直线上,则有间有异色点,间有异色点,于是间有两个异色点,与任何两个同色点所连成的线段上恰有另外颜色的一个点,矛盾)，从而必出现同色三角形考察同色三角形中面积最小的一个，如图所示 (用, , * 代表三色1, 2, 3 )三边中各有一个不为1色的点若这三个点均为 * 或 ，则其面积必小于上述三角形所以，这三点不同色，设有两个2色，1个3色(如图所示)若A1A2连线之间的点为1色，设为T，则 SPQT SPQR，矛盾！所以，A1A2之间的点必为3色考虑T与A3之间的点S若S为2色
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