湖北省武汉市吴家山中学高三数学复习资料 常用逻辑用语题型精析 理.doc

常用逻辑用语题型导析常用逻辑用语一章，概念多，题型多，涉及面广，几乎与高中所有章节的内容都有或多或少的联系.因此，在学习过程中，一方面要掌握相关章节内容的基础知识，这是学好本章的必要条件；另一方面要在理解的基础上把握好本章的主要内容和基本题型，掌握其解题方法与技巧.惟有如此，才能达到“利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流”之目的.一、命题及其构造1、命题真伪的判断例 判断语句“对于(x1)20，有2x10”是不是命题.解析 是命题。因为(x1)20，即x1时，2x10不成立，所以命题为假命题.点拨 判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件只有这两个条件都具备的语句才是命题另外，命题不只有两种规范形式：“若p，则q”和“如果p，那么q”，命题也可写成“只要p，就有q”的形式。因此，将题中的语句改写成“若(x1)20，则2x10”或“只要(x1)20，就有2x10”，则其是否为命题就显而易见.2、四种命题的构造先要弄清给出的命题（原命题）的大前提、条件与结论，然后进行“换位”（条件与结论互换）与“换质”（对条件与结论进行否定）.例1 命题“若，则”的否命题是 .解析 对原命题的条件与结论同时进行否定（“换质”），即可得否命题：“若或，则” .点拨 由原命题写出其它三种形式的命题时，要注意条件与结论的“换位”与“换质”关系：对于两个命题，如果是条件与结论“换位”的，则称互逆命题；如是条件与结论“换质”的，则称互否命题；如是条件与结论既“换位”又“换质”的，则称互为逆否命题. 例2 已知命题“，若，则”，则它的逆否命题是（ ）a，若，则 b，若，则 c，若，则 d，若，则解析 对原命题的条件与结论同时互换并同时进行否定（既“换位”又“换质”）即可得逆否命题。故选a.点拨 对于命题的构造，有一点必须注意：即无论是构造那种形式的命题，改变的只是条件与结论的形式与位置，“大前提”是不能改变的，否则，就改变了命题的“性质”.另外，题中的“，”是大前提，有别于全称量词，解题时，应引起注意.3、复合命题的构造注意利用真值表进行构造并判别例 命题p：对角线互相垂直的四边形是菱形.命题q：对角线互相平分的四边形是菱形.请写出“p或q”、“p且q”形式的复合命题.解析 p或q：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形； p且q：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形.点拨 教材中规定：用逻辑联结词“且”、“或”把命题p和命题q联结起来得到的新命题分别称为p且q命题、p或q命题.有人认为命题“p或q”是：“对角线互相垂直或互相平分的四边形是菱形”； 命题“ p且q”是：“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”.此解法虽然把“或”与“且”写进了新的命题，但其实都是错的.事实上，命题p、q都是假命题，由真值表知，命题p或q、p且q也都应该是假命题，但命题“对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形”却是真命题，显然矛盾.4、命题的否定命题的否定不同于否命题，简单命题的否定是直接否定判断词，对复合命题的否定要注意一些常用否定词，对全称或特称命题进行否定时，在否定判断词的同时还要否定全称或存在量词.例1 命题p：“梯形有一组对边平行”， 则是 .解析 是：“梯形没有一组对边不平行” .点拨 对于，有人认为是“梯形有一组对边不平行”，这是错误的.由真值表知，p与一真一假.此例中命题p为真命题，那么一定为假命题，但“梯形有一组对边不平行”却是真命题，这显然矛盾.事实上，原命题的关键词是“有”，而不是“平行”，因此必须将“有”否定，而不是否定“平行” .例2 已知命题，则为 .解析 为：.点拨 已知命题为全称命题.在写全称命题(或存在性命题)的否定时，要注意量词的变化，即全称量词要改为存在量词，存在量词要改为全称量词此例中只要将、即可得到.二、命题真假的判断1、（简单）命题真假的判断对于简单命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假例1 下列命题中的真命题是()a、命题“若a、b都是偶数，则ab是偶数”的逆命题b、命题“奇数的平方不是偶数”的否定c、命题“空集是任何集合的真子集”的逆否命题d、命题“至少有一个内角为60的三角形是正三角形”的否命题解析 选项a中的逆命题是“ab是偶数，则a、b都是偶数”，举一反例即能断定这是一个假命题；选项b中的命题的否定是“存在一个奇数，其平方是偶数”，显然也是一个假命题；注意到空集是任何非空集合的真子集，而不是任何集合的真子集，选项c中的原命题是一个假命题，它的逆否命题也是一个假命题；选项d中的否命题是“三个内角均不为60的三角形不是正三角形”，这显然是一个真命题故选d点拨 求解此类问题时，一要明确四种命题的组成形式，二要会运用所学知识去判断命题或其等价命题的真假判断一个命题真假，可根据定义直接判断，也可利用原命题及其逆否命题的等价关系求解例2 对于abc，有如下四个命题：若，则abc为等腰三角形；若，则abc为直角三角形；若，则abc为钝角三角形；若，则abc为等边三角形；其中真命题的个数为（ ） a1 b2 c3 d4解析 由可得或，知假；如令，则有，知假；由及正弦定理，得，再由余弦定理知为锐角，据此不能断定abc为钝角三角形，故假；由正弦定理可得，即，知真.故选a.点拨 要判断一个命题为真命题，则须进行严格的推理论证，而要说明它是假命题时，只须举一个反例即可.此例与三角函数相关，掌握相关公式是解题的关键.例3 直线l、m与平面a 、b 满足l平面a ，mb ，以下四个命题：a b l m；a b lm；lma b ；lma b 其中正确的两个命题是（） a与b与c与d与解析 在，m的前提下，当时，有，从而，从而m，得(1)正确；此时，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)：由m，知m，从而由m得，即(3)正确。故选d.点拨 对于立几中位置关系的判别，抓住定义和判定定理是解决问题的关键.另外，如能充分利用“教室”中的线面关系进行判别，也是一个不错的选择. “不识庐山真面目，只缘身在此山中” .2、复合命题真假的判断利用真值表进行判断例1 命题p：若、，则是的充分不必要条件；命题q：函数的定义域是，则（ ） a. 为假 b. 为真 c. p真q假 d. p假q真解析 ，且，不一定大于1，命题p为假；而由得或，命题q为真.故选d.点拨 判断由逻辑联结词构成的复合命题的真假，关键是弄清命题的构成形式，即弄清所含的逻辑联结词是什么，然后判断其中的简单命题的真假，最后由真值表得出结论.例2 如果命题“”为假命题，则（ ） a. p,q均为假命题 b. p,q均为真命题 c. p,q中至少有一个为真命题 d. p,q中至多有一个为真命题解析 由真值表知正确答案选c.点拨 命题“”为命题的否定，一方面，由命题“”为假命题，可知命题为真命题，由真值表知、中至少有一个为真命题；另一方面，因命题“”与命题“”等价，故与中至少有一个为假命题，从而知、中至少有一个为真命题.3、全称命题、特称命题真假的判断判断全称命题为真命题时必须进行证明，而要否定它时只须一个反例即可；判断特称命题为真命题时，只要举一个例子满足命题即可，而要否定它时可从反而思考（反证法）.例1 已知命题，；，以下命题为真命题的为（ ）a b c d解析 的解集为空集，故命题为假命题，为真命题；，使得恒成立，故为真命题；因为真命题，为真命题，故为真命题.选c.例2 有以下四个命题：p1：xr，sin2cos2； p2：x，yr，sin(xy)sinxsiny；p3：x0， sinx；p4：sinxcosyxy； 其中的假命题是()a、p1，p4 b、p2，p4 c、p1，p3 d、p2，p3解：xr，sin2cos21，p1是假命题；p2是真命题，如xy0时成立；p3是真命题，x0，sinx0，|sinx|sinx；p4是假命题，如x，y2时，sinxcosy，但xy故选a点拨 以上两例都与全称命题和特称命题真假有关.由于全称命题中的关键词强调命题的一般性，因此要否定全称命题只需一个特殊的反例即可；而存在性命题中的关键词强则调命题的存在性，因此要肯定存在性命题，只要找一个符合要求的例子即可.4、利用命题的真假性求参数的值或取值范围根据命题的真假性解决问题，应首先将命题为真(假)进行等价转化（如转化为集合间的关系），再根据具体问题进行求解.例1 已知命题p：关于x的方程x2ax40有实根；命题q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是_解析命题p等价于a2160，a4或a4；命题q等价于3，a12；p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假实数a的取值范围为(4,4)(，12)例2 已知命题：方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“或”是假命题，求的取值范围.解析 由得，显然，所以或，因为，故或，所以；又“只有一个实数满足”，即抛物线与轴只有一个交点，所以，所以或，故命题“或”为真命题时，或；因为命题“或”是假命题，所以的取值范围为或.点拨 以上两例都是利用命题的真假性来求参数的取值范围，解决这类问题时要注意层层推进，一般是先根据题设的条件，先求出每个命题（或等价命题）是真命题时参数的取值集合（命题为假时即为其补集），然后根据每个命题的真假情况，求出对应的两个集合的并集或交集，此并集或交集即为所求参数的取值范围.三、充分必要条件的判断充要条件的判断主要有三类题型：一是判断指定的条件与结论之间的条件关系，即充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要条件；二是探求某结论成立时的条件是什么条件；三是根据某条件成立时，求解参数问题. 判断充要条件的方法主要有定义法，集合法，命题法三种.解决充分条件与必要条件的问题，要先明确条件与结论分别是什么，再下结论。注意利用集合间的包含关系转化条件，可使问题直观化.例1 设为所在平面上一点，若实数满足，则“”是“在的边所在直线上”的（ ）a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充要条件 d既不充分也不必要条件解析 若中有两个成立，此时为三角形的顶点；若其中一个为零，例如，三点共线，总是可知“”是“在的边所在直线上”的充分不必要条件.显然，反之也成立.选c.点拨 判别p是q的什么条件，需从两个方面思考：一是由p能否推出q，二是由q能否推出p，这是最基本的判别方法（定义法），应熟练掌握.另外，对于较为复杂的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题具体化外，还可利用命题的等价性，转化为其等价命题进行判断.对于充要条件的判断一般可遵循下列解题三步曲：先分清条件与结论；对条件或结论进行等价转化；最后依“小范围推出大范围，范围相同可互推”来确定是什么条件(不能推出举反例即可) .例2设命题分别是p，q的否定，如果p是的充分不必要条件，那么q是的什么条件解析 因为且的逆否命题（即等价命题）为且，所以q是的充分不必要条件另解 设满足条件p、q的对象组成的集合分别为p、q，为全集，q是的充分不必要条件点拨 充要条件可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系设满足条件p的对象组成的集合为p，满足条件q的对象组成的集合为（1）若，则p为q的充分条件，其中当时，p为q的充分不必要条件；（2）若，则p为q的必要条件，其中当时，p为q的必要不充分条件；（3）若，且，即，则p为q的充要条件（4）如果以上三种关系均不成立，即p、之间没有包含或相等关系，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件例3 已知条件p：|x1|2，条件q：xa，且p是q的充分不必要条件，则的取值范围可以是（ ）a、1b、1c、1d、1解析 解不等式|x1|2，得条件p：x3或x1，则p：3x1，又q：x，则要使p是q的充分不必要条件，必有1，选a.点拨 与不等式相关的充要条件问题，一般可将不等式的解看成一个集合，再根据集合与充要条件之间的关系来求解.例4 设命题：；命题：，如果是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解析 设，易知，.由是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即，所以故所求实数的取值范围是.点拨 条件的充分性与必要性与命题的四种形式之间有着密切关系，也就是说四种命题的形式是基础，对于一些直接利用定义较难作出判断的充要条件的问题，可利用逆否命题的等价性作出判断.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解四、创新型问题例1 条件甲：“k或k”；条件乙：“kx22x6k0对xr恒成立”；则要使甲是乙的充要条件，命题甲的条件中须删除的一部分是_.解析 因为kx22x6k0对xr恒成立，则(1)当k0时，不等式2x0对xr不恒成立，故k0；(2)当k0时，由条件知必有，即 ，故k.综上所述，命题甲的条件中须删除的一部分是k.点拨 本题与一般的创新试题有点不一样，它不是按要求重组新命题，而是要求去掉所给条件中的多余条件，题型比较新颖.本题实质上是探求“kx22x6k0对xr恒成立”的充要条件，因此只要求出此充要条件，对照条件就可得结果.例2 已知命题p：x2y21；命题q：(x1)2y21，则命题pq、pq、pq、(pq)(qp)与下列四个图的最佳匹配方案是( )a、(a)，(b)，(c)，(d)b、(b)，(d)，(a)，(c)c、(c)，(d)，(a)，(b)d、(a)，(c)，(d)，(b) 解析 设命题p与q对应的集合分别为a、b，即a(x，y)|x2y21，b(x，y)|(x1)2y21，则命题pq对应的集合为ab，易知与(a)对应；命题pq对应的集合为ab，易知与(c)对应；命题pq对应的集合为(cua)b，易知与(d)对应；命题(pq) (qp)对应的集合为(cua)ba(cub)，易知与(b)对应，故选d.点拨 命题p与q分别表示两个圆所围成的区域，因此可结合集合对命题pq、pq、pq、(pq) (qp)进行转译，而所给的四个坐标系中的图形是区域问题，与集合的韦恩图相一致，这样两个系统之间就有密切的联系.逻辑联结“或、且、非”分别与集合的 “交、并、集”运算存在一一对应的关系.本题的解答就是充分抓住了这种对应关系，将所给的四个命题转译为集合问题，从而与所给的四个图形之间架起了沟通的桥梁，使问题得到了顺利的解决.例3 设非空集合sx|mxl，满足：当xs时，有x2s.给出如下三个命题：若m1，则s1；若m，则l1；若l，则m0.其中正确命题的个数是()a0b1 c2 d3解析 对于，当m1时，sx|1xl，即1x2l2，根据性质有x2s，即l2l，解得0l1，而由条件m1知l1，则有l1，故有s1，即正确；对于，当m时，sx|xl，根据性质有x2s，那么当0l时，0x2，由题意有l，从而l；当l时，0x2l2，由题意有ll2，即0l1，从而l1，故l1，即正确；对于，当l时，sx|mx，根据性质有x2s，那么m2，解得m；又根据性质有mm2，解得m0或m1，综合可得m0，即正确；综上所述，故选d.点拨 （1）通过非空集合s中元素属性的分析，结合题目中引入的相应的创新性质，通过不等式的相关知识，分别确定相应命题的正确性，通过具体代入分析，从而达到求解与判断的目的 （2）解决创新集合新运算问题常分为三步：对新定义进行信息提取，确定化归的方向；对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；对定义中提出的知识进行转换，其中对定义信息的提取、转化与化归是解题的关键五、与其它知识的交汇例1 已知数列an的各项均为正数，记a（n）=a1+a2+an，b（n）=a2+a3+an+1，c（n）=a3+a4+an+2，n=1,2，.（1）若a1=1，a2=5，且对任意nn，三个数a（n），b（n），c（n）组成等差数列，求数列 an 的通项公式；（2）证明：数列 an 是公比为q的等比