湖北省武汉市部分重点中学高二数学下学期期中试卷 理（含解析）.doc

湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科） 一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题所给的四个选项中只有一个正确答案，请在答题卡上相应地方用2b铅笔涂黑）1（5分）“x1”是“”的（）a充要条件b充分非必要条件c必要非充分条件d既非充分又非必要条件2（5分）下列命题中为假命题是（）a=1b0cxr x2+2x+30dx0rcosx0=3（5分）过原点的直线与圆x2+y26x+5=0相交于a，b两点，则弦ab的中点m的轨迹方程为（）ax2+y2+3x=0bx2y23x=0cx2y2+3x=0dx2+y23x=04（5分）空间四边形abcd中，若向量=（3，5，2），=（7，1，4）点e，f分别为线段bc，ad的中点，则的坐标为（）a（2，3，3）b（2，3，3）c（5，2，1）d（5，2，1）5（5分）已知点f1、f2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点p是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）a0b1c2d6（5分）已知定义在r上的函数f（x）=ex+x2x+sinx，则函数y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为（）ay=3x2by=x+1cy=2x1dy=2x+37（5分）已知圆m经过双曲线c：=1的一个顶点和一个焦点，圆心m在双曲线c上，则圆心m到双曲线中心距离为（）a或b或cd8（5分）设抛物线y2=12x的焦点为f，经过点p （1，0）直线l与抛物线交于a，b两点，且向量则af+bf=（）abc8d9（5分）pd垂直于正方形abcd所在平面，ab=2，e为pb的中点，cos，=，若以如图所示建立空间直角坐标系，则e点坐标为（）a（1，1，2）b（2，2，1）c（1，1，1）d10（5分）函数f（x）的图象如图，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）a0f（2）f（3）f（3）f（2）b0f（3）f（3）f（2）f（2）c0f（3）f（2）f（3）f（2）d0f（3）f（2）f（2）f（3）11（5分）函数g（x）=x3+（+2）x22x在（2，3）上总存在极值，则实数m的取值范围为（）a（，6）b（，9）c（，9）d（，6）12（5分）已知f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若在右支上存在点a，使得点f2到直线af1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）a（1，）b（1，c（，+）d14（5分）设函数f（x）=+tan，则f（1）取值范围15（5分）p为正方体abcda1b1c1d1对角线bd1上的一点，且bp=bd1（0，1）下面结论：a1dc1p；若bd1平面pac，则=；若pac为钝角三角形，则（0，）；若（，1），则pac为锐角三角形其中正确的结论为（写出所有正确结论的序号）16（5分）已知椭圆x2+=1（y0）和抛物线y2=2x，斜率为的直线与椭圆相切且与抛物线相交于a、b两点，则|ab|=三解答题（本大题共6小题，共70分，解答题要写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知p：，q：x2axxa，若p是q的充分条件，求实数a的取值范围18（12分）已知空间三点a（0，2，3），b （2，1，6），c（1，1，5）（1）求以ab，ac为邻边的平行四边形面积 （2）求平面abc一个法向量 （3）若向量分别与垂直，且求的坐标19（12分）已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为（1）求椭圆及双曲线方程 （2）设椭圆左右顶点分别为a，b，在第二象限内取双曲线上一点p，连bp交椭圆于m，若，求三角形abm的面积20（12分）如图，已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1=ab=ac=1，abac，m，n分别为cc1，bc的中点，点p为直线a1b1上一点，且满足，（1）=时，求直线pn与平面abc所成角的正弦值 （2）若平面pmn与平面abc所成锐二面角为450，求的值21（12分）在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y2=2x相交于a、b两点（1）求证：“如果直线l过点t（3，0），那么=3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由22（12分）已知f（x）=在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，f（x）=xexf（x）（1）求k的值及f（x）的单调区间；（2）已知函数g（x）=x2+2ax（a为正实数），若对于任意x2，总存在x1（0，+），使得g（x2）f（x1），求实数a的取值范围湖北省武汉市部分重点中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题所给的四个选项中只有一个正确答案，请在答题卡上相应地方用2b铅笔涂黑）1（5分）“x1”是“”的（）a充要条件b充分非必要条件c必要非充分条件d既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：当x1时，成立，当x=1时，满足成立，但x1不成立故“x1”是“”成立的充分不必要条件故选：b点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用定义是解决本题的关键，比较基础2（5分）下列命题中为假命题是（）a=1b0cxr x2+2x+30dx0rcosx0=考点：全称命题；特称命题 专题：简易逻辑分析：分别根据对数函数，指数函数，三角函数，二次函数的图象和性质，即可判断解答：解：对于a，当x=2时，=1，故a为真命题，对于b，根据指数函数的图象和性质，得到xr，0恒成立，故b为真命题，对于c，=412=80，xr x2+2x+30，故c为真命题，对于d，1cosx1，故不存在x0rcosx0=，故d为假命题故选：d点评：本题考查了全称命题和特称命题的真假，属于基础题3（5分）过原点的直线与圆x2+y26x+5=0相交于a，b两点，则弦ab的中点m的轨迹方程为（）ax2+y2+3x=0bx2y23x=0cx2y2+3x=0dx2+y23x=0考点：轨迹方程 专题：计算题；直线与圆分析：根据圆的特殊性，设圆心为c，则有cmab，当斜率存在时，kcmkab=1，斜率不存在时加以验证解答：解：设圆x2+y26x+5=0的圆心为c，则c的坐标是（3，0），由题意，cmab，当直线cm与ab的斜率都存在时，即x3，x0时，则有kcmkab=1，（x3，x0），化简得x2+y23x=0（x3，x0），当x=3时，y=0，点（3，0）适合题意，当x=0时，y=0，点（0，0）不适合题意，解方程组得x=，y=，点m的轨迹方程是x2+y23x=0（）故选：d点评：本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解4（5分）空间四边形abcd中，若向量=（3，5，2），=（7，1，4）点e，f分别为线段bc，ad的中点，则的坐标为（）a（2，3，3）b（2，3，3）c（5，2，1）d（5，2，1）考点：空间向量的概念 专题：空间向量及应用分析：点e，f分别为线段bc，ad的中点，可得=，=代入计算即可得出解答：解：点e，f分别为线段bc，ad的中点，=，=（2，3，3）故选：b点评：本题考查了向量的平行四边形法则、向量坐标运算，属于基础题5（5分）已知点f1、f2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点p是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（）a0b1c2d考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据向量的加法法则和三角形中线的性质，可得等于点p到原点距离的2倍，由此结合椭圆的标准方程和简单几何性质，即可得到的最小值是2解答：解：o为f1f2的中点，=2，可得=2|当点p到原点的距离最小时，|达到最小值，同时达到最小值椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1a2=2且b2=1，可得a=，b=1因此点p到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即|最小值为b=1=2|的最小值为2故选：c点评：本题给出点f1、f2是椭圆的两个焦点，求椭圆上一个动点p指向两个焦点所成向量的和向量长度的最小值，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题6（5分）已知定义在r上的函数f（x）=ex+x2x+sinx，则函数y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为（）ay=3x2by=x+1cy=2x1dy=2x+3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：求出函数的导数，求得切线的斜率和切点的坐标，由直线的点斜式方程，即可得到切线方程解答：解：函数f（x）=ex+x2x+sinx的导数为f（x）=ex+2x1+cosx，函数y=f（x）在点（0，f（0）处的切线斜率为k=e01+1=1，切点为（0，1），即有函数y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y1=x0，即为y=x+1故选b点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线斜率即为函数在该点处的导数，正确求导是解题的关键7（5分）已知圆m经过双曲线c：=1的一个顶点和一个焦点，圆心m在双曲线c上，则圆心m到双曲线中心距离为（）a或b或cd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据，m经过双曲线c：=1的一个顶点和一个焦点，可得圆心m到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，从而可得圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点m的纵坐标，即可求出圆心m到双曲线的中心的距离解答：解：m经过双曲线c：=1的一个顶点和一个焦点，圆心m到双曲线的右焦点与右顶点间的距离相等，圆心的横坐标为4，代入双曲线方程可得点m的纵坐标为ym=，点m到原点的距离|mo|=故选：d点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线与圆的交汇问题，考查学生的计算能力，属于中档题8（5分）设抛物线y2=12x的焦点为f，经过点p （1，0）直线l与抛物线交于a，b两点，且向量则af+bf=（）abc8d考点：抛物线的简单性质 专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据向量关系，用坐标进行表示，求出点a，b的横坐标，再利用抛物线的定义，可求|af|+|bf|解答：解：设a（x1，y1），b（x2，y2），p（1，0）=（1x2，y2），=（x11，y1）向量，（1x2，y2）=2（x11，y1）x2+2x1=3，y2=2y1，将a（x1，y1），b（x2，y2）代入抛物线y2=12x，可得y12=12x1，y22=12x2，又y2=2y1x2=4x1又x2+2x1=3，解得x1=，x2=2，|af|+|bf|=（x1+3）+（x2+3）=+2+6=故选：d点评：本题重点考查抛物线的定义，考查向量知识的运用，解题的关键是确定点a，b的横坐标9（5分）pd垂直于正方形abcd所在平面，ab=2，e为pb的中点，cos，=，若以如图所示建立空间直角坐标系，则e点坐标为（）a（1，1，2）b（2，2，1）c（1，1，1）d考点：空间向量的夹角与距离求解公式 专题：空间向量及应用分析：利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出解答：解：设p（0，0，t），（t0），d（0，0，0），a（2，0，0），b（2，2，0），e（1，1，），=（0，0，t），=，=t，=cos，=，=，解得t=2e（1，1，1）故选：c点评：本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（5分）函数f（x）的图象如图，f（x）是f（x）的导函数，则下列数值排列正确的是（）a0f（2）f（3）f（3）f（2）b0f（3）f（3）f（2）f（2）c0f（3）f（2）f（3）f（2）d0f（3）f（2）f（2）f（3）考点：导数的运算；函数的图象 专题：导数的概念及应用分析：由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，即导函数是减函数，据此即可得出答案解答：解：由图象可知，函数f（x）随着x增加函数值增加的越来越慢，而f（3）f（2）可看作过点（2，f（2）与点（3，f（3）的割线的斜率，由导数的几何意义可知0f（3）f（3）f（2）f（2）故选b点评：本题考查导数的几何意义，正确理解导数的几何意义是解决问题的关键11（5分）函数g（x）=x3+（+2）x22x在（2，3）上总存在极值，则实数m的取值范围为（）a（，6）b（，9）c（，9）d（，6）考点：利用导数研究函数的极值 专题：导数的概念及应用分析：g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知，于是可求m的范围解答：解：g（x）=3x2+（m+4）x2g（x）在区间（2，3）上总不是单调函数，故选b点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，考查求导公式的掌握情况，含参数的数学问题的处理，构造函数求解，属于难题12（5分）已知f1，f2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，若在右支上存在点a，使得点f2到直线af1的距离为2a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）a（1，）b（1，c（，+）d考点：导数的运算 专题：导数的概念及应用；三角函数的求值分析：先根据导数的运算法则求导，再代入值，根据三角函数的和差公式以及正弦函数的性质即可求出解答：解：函数f（x）=+tan，f（x）=x2sin+xcos，f（1）=sin+cos=2（sin+cos）=2sin（+），1sin（+）1，2f（1）2，故f（1）取值范围为故答案为：点评：本题考查了导数的运算和三角形函数的和差公式和性质，属于基础题15（5分）p为正方体abcda1b1c1d1对角线bd1上的一点，且bp=bd1（0，1）下面结论：a1dc1p；若bd1平面pac，则=；若pac为钝角三角形，则（0，）；若（，1），则pac为锐角三角形其中正确的结论为（写出所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用 专题：空间位置关系与距离分析：画出图形，直接判断a1dc1p的正误；利用正方体的特征，判断若bd1平面pac，则=的正误；通过=，判断pac是否为钝角三角形，判断（0，）的正误；通过建立空间直角坐标系，判断（，1），则pac为锐角三角形，判断的正误解答：解：如图中，a1d面abc1d1，c1p面abc1d1 a1dc1p 故正确；对于若bd1平面pac，几何体是正方体，p在平面ab1c中，则=；正确；对于，当p为bd1的中点时，若pac为钝角三角形，设正方体棱长为a，pa=pc=a，ac=a，此时apc=120，则（0，），不正确；对于，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|ab|=1，则a（1，0，0），b（1，1，0），c（0，1，0），d（0，0，0），a1（1，0，1），b1（1，1，1），c1（0，1，1），d1（0，0，1），=（1，1，1），=（，），=（，1，），=（1，），显然apc不是平角，所以apc为锐角等价于cosapc=cos，=0，则等价于0即（1）+（1）+（）（）=（32）0，故1，正确；故答案为：点评：本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力16（5分）已知椭圆x2+=1（y0）和抛物线y2=2x，斜率为的直线与椭圆相切且与抛物线相交于a、b两点，则|ab|=3考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设斜率为的直线与椭圆相切方程为：y=x+t（t0）与椭圆方程联立化为6x2+2x+t24=0，（y0）利用=0，t0，解得t=可得直线ab的方程为：y=设a（x1，y1），b（x2，y2）与抛物线方程联立化为x2+3x+3=0利用|ab|=即可得出解答：解：设斜率为的直线与椭圆相切方程为：y=x+t（t0）联立，化为6x2+2x+t24=0，（y0）=8t224（t24）=0，t0，解得t=直线ab的方程为：y=设a（x1，y1），b（x2，y2）联立，化为x2+3x+3=0x1+x2=3，x1x2=3|ab|=3故答案为：3点评：本题考查了直线与椭圆相切性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能