基于EMD和SVM的滚动轴承故障诊断方法.pdf

第 2 1 卷第 3期 2 0 0 6年 6月 航 空动力学报 J o u r na l o f Ae r o s p a c e Powe r Vo 1 2 1 No 3 J u n 2 0 0 6 文 章 编 号 1 0 0 0 8 0 5 5 2 0 0 6 0 3 0 5 7 5 0 6 基于 E MD和 S VM 的滚动轴承 故 障诊 断方法 程军圣 于德介 杨 宇 湖南 大学 机 械与 汽车工 程学 院 湖南 长 沙 4 1 0 0 8 2 摘要 将支持 向量机 S u p p o r t V e c t o r Ma c h i n e 简称 S VM 经验模态分解 E mp i r i c a l Mo d e D e c o mp o s i t i o n 简 称 E MD 方法和 A R Au t o R e g r e s s i v e 简称 A R 模 型相结合应用 于滚 动轴 承故 障诊 断中 该方法 首先对滚动 轴承振动信号进行经验模态 分解 将 其分解为多个内禀模 态函数 I n t r i n s i c Mo d e F u n c t i o n 简称 I MF 之和 然 后对每一个 I MF分鼍 建立 AR模型 最后提取模 型的 自回归参数 和残 差的方差作为故障特征 向量 并 以此作 为 S VM 分类器 的输人参数来 区分滚动轴承 的工 作状态和故障类 型 实验 结果表明 该 方法在小样本情况下 仍能准确 有效 地对 滚动轴承的工作状 态和故障类 型进行分类 从 而实现 了滚动轴承故障诊断 的 自动化 关键词 航空 航 天推进 系统 经验模态分解 AR模型 支持 向量 机 滚动轴承 故障诊断 中图 分 类 号 V2 3 2 文献 标 识 码 A Fa u l t Di a g no s i s o f Ro l l e r Be a r i n g s Ba s e d o n EM D a nd S VM CHENG J u n s h e n g YU De j i e YANG Yu Co l l e g e o f M e c h a n i c a l a n d Aut o mo t i v e En gi ne e r i n g H u n a n Uni v e r s i t y Cha n gs h a 41 0 0 8 2 Chi n a Ab s t r a c t A r o l l e r b e a r i n g f a ul t di a g n o s i s me t ho d wa s p r o p o s e d i n wh i c h Su p po r t Ve c t o r M a c hi n e S V M a nd Au t o Re g r e s s i v e AR mo d e l ba s e d o n Emp i r i c a l M o d e De c o mp o s i t i o n EM D we r e c o mb i n e d EM D me t h o d wa s u s e d t O d e c o mp o s e t he r o l l e r b e a r i n g v i b r a t i on s i g na l i nt o a f i n i t e nu m b e r of I nt r i n s i c M o d e Fun c t i o ns I M Fs t he n t h e AR mo d e l o f e a c h I M F c o m p o n e nt wa s e s t a b l i s he d f i n a l l y t h e a u t o r e g r e s s i V e p a r a me t e r s a nd t he v a r i a nc e o f r e mn a nt we r e r e g a r d e d a s t he f a ul t c ha r a c t e r i s t i c v e c t o r s a n d s e r v e d a s i n pu t p a r a me t e r s o f SVM c l a s s i f i e r t O c l a s s i f y wo r ki n g c o nd i t i o n o f t h e r o l l e r b e a r i n g The e x pe r i m e nt a l r e s ul t s s ho w t h a t t he pr o p o s e d a pp r o a c h c a n c l a s s i f y wo r ki n g c o n d i t i o n o f r o l l e r b e a r i n g s a c c u r a t e l y a nd e f f e c t i v e l y e v e n i n t he c a s e o f s ma l l n u m b e r o f s a mp l e s a n d t h e a t o m i z a t i o n o f t he r o l l e r be a r i n g f a u l t d i a gn o s i s c a n b e i mpl e me nt e d Ke y wor d s a e r o s pa c e p r o p ul s i o n s y s t e m e mpi r i c a l mo d e d e c o mp o s i t i o n a u t o r e g r e s s i v e mo d e l s u pp o r t v e c t o r m a c h i n e s r o l l e r b e a r i n g s f a ul t d i a g no s i s 收 稿 日期 2 0 0 5 o 6 l 3 修 订 日期 2 0 0 5 0 9 一l 0 基 金项 目 国家自然科学基金资助 5 0 2 7 5 0 5 0 高等学校博士点专项 科研基金 资助 2 0 0 2 0 5 3 2 0 2 4 作者简 介 程军圣 1 9 6 8 男 湖南永州人 湖南大学机械与汽车工程学院教授 博士 主要从事机械故障诊断 振动分析与控制 等 的研 究 维普资讯 5 7 6 航空动力学报 第 2 1 卷 滚 动轴 承 的诊 断 过 程包 括 诊 断信 息 获 取 故 障特 征 信息 提 取 和状 态 识别 这 事 实 上就 是 模 式 识别 的过程 显然 特 征提取 和状 态识 别是诊 断 的 关键 目前 人们主要借助于信号处理尤其是现代 信 号 处 理 的理 论 方 法 和技 术 手 段 来 进 行 特 征 提 取 l 1 j 大量 研究 已经 证 明 A R Au t o Re g r e s s i v e 简 称 AR 模 型 的 自回 归参 数 对 状 态 变 化 规 律 反 映 最敏 感 因此采 用 AR模 型 的 自回 归参 数 作 为 特 征 向量来 分 析 系统 的状 态 变 化应 是 十 分 有 效 的 j 但是 AR模 型 只适 用 于平稳 信 号 的处理 而滚 动轴 承故 障振动 信号表 现 为非平 稳特 征 针 对 这 个 问 题 本 文 在 建 立 AR 模 型 之 前 先 采 用 E MD E mp i r i c a l Mo d e D e c o mp o s i t i o n 简称 E MD 方法 对滚动 轴承 故障 振动信 号进 行预 处理 E MD 方法 能把复 杂 的信号 分解 为有 限的 内禀模 态 函数 I n t r i n s i c mo d e f u n c t i o n 简 称 I MF 之 和l 6 j 这 实 际上是对 信号进 行线 性 和平稳 性处 理 这样 在 采用 E MD方 法 对 原 始 信 号 进行 分 解后 就 可 以 对各 个 I MF分量 建 立 A R 模型 从 而提 取原 始 信 号 的特 征 状态识 别 是滚动 轴 承故 障诊 断的另一 关键 8 j 基 于人 工 神经 网络 分 类器 的模 式 识 别 方 法 以其较 强 的 自组 织 自学 习能 力 和非 线 性 模 式 分 类 性 能 在 机 械 故 障 诊 断 中 得 到 了 广 泛 应 用 g 但 人工 神经 网络需 要 大量 的典型故 障 数 据样本 或经 验知 识 j 而在 工 程实 际 当 中 一 般来 讲 很 难 获 得 大 量 典 型 的 故 障 样 本 支 持 向 量 机 1 3 1 4 具 有 比神经 网络 更 强 的泛化 能 力 且 能保 证 找 到 的极 值解 就 是 全 局最 优 解 同 时它 还 较好 地 解决 了小 样本 的学 习分类 问题 1 本 文将 AR模 型 E MD方 法和 支持 向量 机 相 结 合 来 对 进 行 滚 动 轴 承 故 障 诊 断 首 先 采 用 E MD方法对滚动轴承振动信号分解 得到若干个 I MF分量 然 后对 包含 主要 故障 信息 的 I MF分量 分 别 建立 AR模 型 得 到 自回归参 数 和 残 差 的 方 差 最 后将 自回归参 数 和 残差 的方 差作 为 特 征 向 量 采用支持 向量机对滚动轴承工作状态和故障 类 型进 行分类 对滚 动轴 承正 常状 态 具有 内圈 和 外 圈故 障 的 振动 信 号 分 析结 果 表 明 该 方 法 可 以 有 效地 应 用 于滚 动 轴 承故 障诊 断 从 而实 现 了滚 动轴承故障诊断的自动化 1 E MD 方 法 E MD方法可 以自适 应地将任何一个信号 分 解 为有 限个 内禀 模 态 函数 之和 6 j 其 方法 如 F 1 确定 信 号 的所 有 局 部 极 值 点 然后 用 3次样 条线 将所 有 的局部极 大值点 连接起 来形 成 上 包络 线 用 3次样 条 线 将所 有 的局部 极 小 值 点 连 接起 来 形 成下 包 络线 这 2条 包 络线 包 络 了 所 有 的信号 数据 2 将 两条包 络线 的均值 记为 1 求 出 y1 一 一 1 1 3 判 断 y 是 否 为 I MF 若 Y 不 满 足 I MF条 件 则 将 Y 作 为原 始数 据 重复 步骤 1 和 2 直 到 y 满 足 I MF条 件 此 时 记 Y 一c 则为信号的第一个 I MF分量 它代表信 号 中最 高频率 的分 量 4 将 c 从 中分离 出来 即得 到一 个 去 掉高频 分 量 的差 值信 号 r 即有 r 1 一 一 f 1 2 将 r 作 为 原 始数 据 重 复 步 骤 1 3 得 到 第 二个 I MF分量 c 重 复 次 得 到 个 I MF分 量 这 样 就有 r 1一 c 2一 r 2 r 1一 c r 3 当 C 或 r 满 足给 定 的终止 条件 通常 r 使 成 为 一 个 单 调 函数 时 循 环 结 束 由公 式 2 和 3 可得 到 一 r 4 f 1 式 中 为残 余 函数 代 表 信 号 的平 均 趋 势 而 各 I MF分 量 c c c 分 别包 含 了信 号从 高 到低 不 同频 率段 的成 分 2 S VM 原 理 S VM 是从 线 性 可分 情 况 下 的最 优 分 类 面 发 展 而来 的 基 本思想 可 用 图 1的两维情 况来 说 明 图 中 五 角星 和 圆圈分别 代表 两类 样本 H 为分 分 支持 矢最 图 l 最优分类线 Fi g 1 Opt i ma l s e p a r at i n g l i n e 维普资讯 第 3期 程 军圣等 基于 E MD和 S VM 的滚动轴承故障诊断方法 5 7 7 类线 H H 分别 为过各 类 中 离分 类线 最 近 的样 本 且平 行 于分 类 线 的 直线 它们 之 间 的距 离 叫做 分 类 间隔 Ma r g i n 所谓 最优 分类 线就 是要求 分 类 线 不 但 能 将 两类 正确 分 开 训 练 错误 率 为 0 而且 使 分类 间 隔最 大 分类线 方 程为 6 0 对 它 进 行 归 一 化 使 得 对 线 性 可 分 的 样 本 集 z Y 1 z R Y 1 一1 满 足 Y l cJ 6 一 1 0 i 1 5 此时分类 间隔等于 2 J l 6 0 J 使间隔最大等 价 于使 l l l l 最小 满足条件 5 且使 1 2 ll ll 最 小 的 分类 面就 叫 做 最 优 分 类 面 H 和 H 上 的 训 练 样 本 点 就 称 作 支 持 向 量 S u p p o r t Ve c t o r Va p n i k给 出了求 该 最优 分 类面 问题 的解 即 分 类 函数 1 为 f o x 一s g n z z b 6 f 一 1 其 中乘 子 嘶为 目标 函数 l 1 l a 一 嘶 专 Y iY q t z 7 f 一 1 i J 一 1 在约 束 a 0 一 1 2 8 Y一0 9 f 一 1 下 的 极 大 值 点 非 零 对 应 的 样 本 点 为 支 持 向 量 阈值 b Y 一 c J z 1 0 一 a iy 2 对 滚动轴 承 振动信 号进 行 E MD 分解 把 非平稳 振动信号 z 分解为一 系列具有不同特 征 尺度 的 I MF分 量 C C C 这 样 就可 以对 各个分量分别建立 A R模型 3 为了消除原始振动信 号幅值对模型残差 方差 的影响 在对每一个 I MF分量 C 建立 AR 模 型 前 需 要 进 行 能 量 归 一 化 处 理 这 样 对 各 I MF分 量 进 行 能 量 归 一 化 后 可 得 到 新 的分 量 t 一 1 2 广 o I c d t V J 再 对 任一 个 I MF分 量 c 建立 如 下 的 自回 归模 型 A R m 1 6 3 c c k 一 I 3 i 式 中 五 一I 2 m 分别 是分 量 c 的 自 回归 参数模 型 A R 的 模 型参 数 和 模 型 阶数 e f 为模型的残差 是均值为零 方差 为的白噪 声序 列 由于 自回归参 数 五 一1 2 反映 了滚动轴承振动系统的固有特性 模型的残差方 差 与 滚动 轴 承振 动 系统 的输 出特性 密 切相 关 因此 可 以提 取 五 一1 2 和 作 为 故 障 特征 向量 A 一 伫 僻 伫 并 以此 作 为 S VM 的输 入参 数 来 识 别滚 动 轴 承 的工 作 状 态 和 故 障类 型 4 根 据 S VM 分 类 器 的 输 出结 果 来 确 定滚 动 轴承 的工 作状 态和故 障 类型 1 1 4 应 用 3 基于 E MD和 S VM 的滚动轴承 故障诊 断方法 基 于 S VM 和 E MD 的滚 动 轴 承 故 障诊 断 方 法如 下 1 分 别 在 滚 动轴 承 正 常 具有 外 圈 和 内圈 故 障状态 下拾 取滚 动轴 承振 动信 号作 为样本 数据 和测 试数 据 5 0 0 一5 0 滚 动轴 承 疲 劳剥 落 损伤 可 能 发 生在 内圈 外 圈 滚 动体 或保 持架 上 本 文采 用 3个 6 3 1 1 型 的 球轴承进行实验 其中一个为正常轴承 另两个分 别被设置有 内圈和外圈故障 故障是通过激光切 割 在 内 圈或 外 圈 上 开 槽 来 设 置 的 槽 宽 为 0 1 5 mm 槽深为 0 1 3 mm 由于实验条件的限制而未 能在滚动体上设置故障 实验时轴的转速为 1 5 0 0 r mi n 采样 频 率 为 4 0 9 6 Hz 振 动 信号 由安 装 在 轴承座上的加速度传感器来拾取 分别采集 3类 0 o 1 o o 5 o 2 0 t s 图 2 具 有内圈故障的滚动轴 承振动 加速度信 号 Fi g 2 The v i b r a t i o n a c c e l e r a t e s i g na l o f r o l l e r b e a r i n g wi t h i n ne r r a c e f a ul t 维普资讯 5 7 8 航空动力学报 第 2 l 卷 0 0 O5 O 1 O O 1 5 O 2 O 图 3 具有内圈故障的滚动轴承故障振动信号的 E MD分解结果 Fi g 3 The EM D r e s u l t s o f t he v i b r a t i o n a c c e l e r a t e s i g na l of r o l l e r b e a r i ng wi t h i nn e r r a c e f a u l t 状 态 下 正 常 内圈故 障和外 圈故 障 的滚 动 轴 承 振 动信号 各 4 0组数 据 其 中某 一具有 内圈故 障 的 滚 动轴承 故障振 动加 速度 信号 如 图 2所示 图 3为 其 E MD分 解 图 共有 6个 I MF分 量 和 1 个 残 余 函数 r 实 际 上 r 还 可 以继 续 分解 但是 得 到 的都 是不 含 有 故 障信 息 的低 频 分 量 因 此 限于篇 幅没有 全部列 出分 解结果 从 图 3中可 以看 出 E MD 把信 号 分 解 成 了若 干个 I MF分量 之 和 不 同 的 I MF分 量 包 含 了不 同的 时 间 尺度 可以使信号的特征在不 同的分辨率下显示出来 对 3 种状态下的每组振动信号进行 E MD分 解 将 其 分 解 为各 I MF分量 之 和 从 图 3中 可 以 看 出 滚 动 轴 承 的高 频 故 障信 息 主要 集 中在 前 3 个 I MF分 量 中 因此 只对 前 3个 I MF分 量 建 立 AR模 型 本文 采用 F P E准则 来 确定模 型 的 阶 数 m 由最 小 二乘 法估 计 自回归 参数 是 一 1 2 m 和模 型 的残 差 方 差 a 2 表示 第 i 个 I MF 分量 的第 k 个 自回归参 数 考虑 到 系统 的状 态主 要 由前 几 阶 的 自回 归 参 数 和 模 型 残 差 的 方 差 决 定 因此 在经过 反复 比较 和分 析后 本文选 择 了前 3阶 的 自回归参 数 是 一1 2 3 和模 型残 差 的方 差 作 为 S VM 分类 器 的输入 参数 事 实上 支持 向量 机 最初 是 针 对两 类 问题 提 出来 的 而 如果 要 对滚 动 轴 承 多故 障情 况 进 行 分 类 如 内圈 外 圈和滚 动体 故 障等 即多类 问题 则 可 采用 扩展 的方 法 把 多类 问题 分 解 为 两 类 问 题 然后 用 S VM 进行 训练 即每次将 其 中一组类 别 的训 练 数 据作 为一 个 类别 其 它 不 属 于该 类 别 的训练 数据 作为 另外 一个 类 别 因此对 于 K K 3 的类别 划 分 问题 可用 K 个 S VM 表 达 的决 策 函数来 实现输 入 空间 的划分 因此 如果要 识别 滚动 轴承 正常 状态 内圈故 障和 外 圈故 障 3种 类 型 时 需 要 设 计 3个 S VM 分 类器 即首 先定 义 Y 一 1表示 正 常 状 态 Y 一 一 1表示故 障状 态 即用 S VM1来 区分 有无 故 障 再 用 S VM2来 识 别 具体 的故 障类 型 此 时 可 用 Y 一 1表 示 具 有 外 圈故 障 Y 一 1表 示 其 它 故 障 最后 用 S VM3来 进一 步识别 其它 的故 障类 型 此时可用 1 表示 内圈故 障 一一1表示 其它 故 障 由于我们 确切 地 知道 只有两 种故 障类 型 因此用 两个 S VM 分 类器 就可 以识别 随机 抽 取 9组训 练 样 本 3组 正 常 3组外 圈 故障和 3组内圈故障 其余作为测试样本 经过 比较 采 用 线性 核 函 数 支持 向量 机取 得 了满 意 的 分类结 果 经过 计算 S VM 1 分类 器 各参数 如 下 口一 0 6 4 2 5 0 4 8 3 1 2 0 0 5 9 3 8 0 0 l l l一 3 5 8 4 7 6 6 0 3 3 4 S VM2分 类器 各参 数 如下 口一 E o 4 2 4 2 0 0 0 0 9 9 0 0 0 4 3 4 1 l l l一 0 9 3 1 8 6 2 6 1 0 2 识 别结 果 见表 1 由于篇 幅原 因 此 处 只给 出 了 9 组 测 试样本 3组 正 常 3组 外 圈故 障 3组 内 圈故 障 的识别 结 果 显 然 分类结 果与 实 际情况 如O如 如 O如 如 O加如 O如5 O 5 O 如O如 维普资讯 被 测 试 I M F 篓 姜 分 量 特征 向 量 样 本 到 H 的 距 离 SVM 1 SVM 2 分类结果 分类结果 分类 结 果 正常 状 态 O 6 25 4 0 O 21 1 0 7 5 9 9 O 53 9 8 0 77 9 8 1 O51 4 0 0 84 0 0 1 4 4 9 一 O 36 4 8 41 6 7 1 8 3 0 0 2 59 0 1 5 7 3 8 正确 外 圈 故 障 f1 f 2 f3 O 3 66 4 0 08 0 4 1 205 6 0 49 3 8 0 87 1 4 1 4 63 7 0 O2 6 2 1 42 6 0 0 0 0 7 7 1 9 9 7 2 0 7 8 8 9 一1 1 5 6 7 6 1 正确 0 7 57 7 0 7 97 6 外 圈 故障 C1 C2 f3 0 4 05 4 0 2 13 7 1 1 77 6 O 3 6 8 0 O 8 2 0 0 1 3 88 8 0 17 4 5 1 7 5 O 1 0 0 5 0 9 1 9 0 5 7 0 5 7 8 3 1 1 4 1 1 8 1 正确 0 6 41 4 0 8 29 8 内圈 故障 f1 f 2 C3 0 61 6 6 0 5 7 7 3 0 31 2 1 0 2 34 7 0 49 9 6 0 6 44 2 O 1 O 8 3 0 291 7 0 3 63 5 2 6 41 8 2 9 5 6 6 1 6 1 0 8 1 一1 2 0 2 6 1 正确 2 85 2 5 完 全一 致 从 表 1可 知 对 于 小样 本 S VM 仍 能 准 确 地进 行 分 类 这 充分 证 明 S VM 可 成 功 应 用 于 小样本故障诊断当中 5 结 论 本 文针对 滚动 轴承故 障诊 断 中难 以获得 大 量 维普资讯 5 8 O 航空动力学报 第 2 1 卷 典型故障样本 的实际情况和滚动轴承故障振动信 号 的非 平稳 特征 将 S VM 和基 于 E MD 的 AR模 型相结合应用于滚动轴 承故障诊断 中 经研究得 出 以下 结论 1 滚 动轴承故障振动信号为非平稳信号 为 了提 取 非 平 稳 信 号 的特 征 采用 E MD 方法 将 复杂 的非平 稳信 号分 解为 若 干个 I MF分 量之 和 然后 对各个 I MF分量分别 建立 AR模 型 并 以 AR模 型 的 自回归参 数 和残 差 的方 差作 为故 障特 征 向量 2 S VM 可 以对 原 始 的 滚 动 轴 承故 障振 动 信号直接分类 不必进行预处理 但是原始信号的 信噪比很低 故障信息被淹没在噪声中 因此有必 要提取故障特征向量后再分类 本文采用 E MD 方 法 对 原 始 的 滚 动 轴 承 故 障 振 动 信 号 进 行 分 解 后 再 对 得 到 的 I MF分 量建 立 AR模 型 并 提 取 AR模 型 的 自回归 参 数 和 残 差 的 方 差作 为 S VM 的输入 3 S VM 适 用 于小样 本模 式 识别 本文 实 例 以 S VM 作 为分 类器 来 识别 滚 动轴 承 的工 作状 态 和 故 障 类 型 得 到 了 满 意 的 结 果 且 训 练 后 的 S VM 在 现场诊 断 中使 用十分 方便 显示 出 了广阔 的应用 前景 对 滚 动轴 承正 常状 态 具 有外 圈 和 内 圈故 障 振动信号的分析结果表明 将 S VM 和基于 E MD 的 AR模 型相结 合 的滚动轴 承故 障诊 断 方法 在小 样 本情 况 下仍 可 以准确 有 效 地对 滚 动 轴 承工 作 状态和故障类 型进行分类 从而有望为滚动轴承 故 障诊 断提供 一种 新 的方法 值得 提 出的 由于实 验 条件 的限制 本 文 没有 考 虑 该 方法 对 滚 动轴 承 其 它类 型的 缺陷 的诊 断 效果 以及槽 的尺 寸 和形 状 对诊 断结 果 的影响 这需 要做 进一 步的研 究 参 考文献 1 陈进 信号处理在 机械设 备故障诊 断中的应用 J 振动与 冲 击 l 9 9 9 1 8 3 9 l 9 3 Ch e n J i n Ap p li c a t io n o f S i g n a l Pr o c e s s i n g t o M a c h a n ic a l F a u l t Dia g n o s i s J Vib r a t to n a n d S h o c k 1 9 9 9 1 8 3 9 l 9 3 2 S u n Q S i n g u l a r it y An a l y s i s Us i n g C o n t i n u o u s Wa v e l e t T r a n s f o r m f o r B e a r i n g F a u l t D i a g n o s i s E J Me c h a n i c a l S y s t e r n s a nd Si g rh a l Pr oce s s in g 2 0 02 1 6 6 1 02 5 1 0 41 3 Ni k o l a o u N G An t o n i a d i s I A R o l l i n g E l e me n t B e a r i n g F a u l t D i a g n o s i s Us i n g Wa v e le t P a c k e t s J ND T 8 L I n t e r n a t io n 一 2 0 0 2 3 5 l 7 9 2 05 4 S h i n K Op t i ma l Au t o r e g r e s s i v e Mo d e l i n g o f a Me a s u r e d No i s y De t e r mi n i s t i c S i g n a l Us i n g Si n g u l a r Va l u e De c o mp o s i t i o n J Me c h a n i c a l S y s t e ms a nd S i g n a l Pr oce s s in g 2 0 0 3 l 7 2 4 2 3 43 2 5 S a l a mi M J E S i d e k S N P a r a me t e r E s t i ma t i o n o f Mu h ic o m p o n e n t Tr a n s i e n t S i g n a l s Us i n g De c o n v o l u t i o n a n d ARM A Mo d e l i n g Te c h n iq u e s J Me c h a n i c a l S y s t e ms a nd S i g n a l Pr oce s s in g 2 0 0 3 l 7 6 l 2 Ol l 2l 8 6 Hu a n g N E S h e n Z L o n g S R Th e Emp i r i c a l Mo d e D e c o m p o s i t i o n a n d t h e Hi l b e r t Sp e c t r u m f o r No n l i n e a r a n d No n S t a t io n a r y Ti me S e r i e s An a l y s i s J P r oc R S oc L o n d A 1 9 9 8 45 4 9 0 3 9 9 5 7 Hu a n g N E S h e n Z L o n g S R A Ne w Vi e w o f No n l i n e a r Wa t e r Wa v e s Th e Hi l b e r t S p e c t r u m J A n n u R e v F l u id M e c h l 9 9 9 3 l 4 l 7 4 5 7 8 黄文虎 夏 松波 刘 瑞岩 设 备故 障诊断 原理 技术 及应用 M 北京 科学出版社 l 9 9 9 9 J a c k L B Na n d i A K Mc C o r mic k A C D i a g n o s i s o f Ro l li n g El e me n t Be a r i n g Fa u l t Us i n g Ra d i a l Ba s i s Fu n c t i o n Ne t w o r k s J Ap p l ie d S i g n a l P r oce s s i n g 1 9 9 9 6 2 5 3 2 1 O Mc C o r mi c k A C Na n d i A K Cla s s i f i c a t io n