麻省理工大学时间序列讲义384lecture10.pdf

1 麻省理工 Guido Kuersteiner 经济系 时间序列 14 384 第九讲笔记第九讲笔记 GMM估计估计 9 1导论导论 在这一讲中我们考虑基于GMM the generalized method of moments 准则 广义矩估计 方法 的估计式 estimators 设是一个型的向量型观测变量 observable variables 且是由参数决定的函数 其中 是一个参数空间 parameter space 且它一般是的一个子集 当时 矩准则估计法是通过把一个样本模拟值 a sample analog 代入 并使满足下式 来估计的 当时 也使用同样的方法 Hansen 1982 提出了这种方法的最一般的公式 我 们就是沿用他提出的名字GMM 来命名这种方法的 在经济学的应用中 矩条件 moment conditions 常常是根据经济学模型中包含的矩约 束条件 conditional moment restrictions 中提出的 为了实现这种想法 我们假设并且 设 然后假设 设 则立即会得出 对所有关于可测的 现在 这个条件就是构造GMM估计式的基础了 这里 称为工具变量 instrument 它自身就是的函数 所以或者说由 直接构成 例例9 1设 且考虑非线性回归 the nonlinear regression 其中假定满足矩约束条件 如果它还可以使成立 那么 2 这个模型就可以用非线性最小二乘法 nonlinear least squares methods 和GMM法估计了 其中可以被用作工具变量 instruments 若 则不能用非线性最小二乘法而只能用基于工具变量的GMM 法 例 例 Hansen和Singleton 1982 Ecta 考虑了一个时间资产定价模型 an intertemporal asset pricing model 其中代表性的是求解 其中表示由决定的期望 expectations 是主观削减因子 the subjective discount factor 表示在 时刻的消费 是瞬时累加效用函数 the temporally additive utility function 是资产在 时刻的定价 是在 时刻持有资产的 份数 是劳动收入 的值是持有资产一段时间的回报 对于股票 通常相当于 其中在到 时刻分发的红利 假定所有资产都是股票 对于最优化消费 和投资 一阶条件 the first order conditions 由下面式子给出 其中是消费边际效用 marginal utility of consumption 设是持有资产 一段时间后的回报 其中 这个条件又可以被写为 在这个例子中我们已经指出对于 有 且合理的工具变量是这项工作的信息集 the information set 中的所有的变量 参 数向量包含有 和其他参数 这些参数决定了效用函数 矩条件估计就可以由下式 3 得到 例例9 3 线性资产定价模型 linear asset pricing model Hansen and Singleton 1996 JBES 对所有的 当时有 对于CRRA效用函数 一阶条件的对数线性化 a log linearized version of the first order conditions 是 其中 在这种条件下 函数具有 这样的形式 为了决定合理的工具变量我们需要探究误差项的性质 假设基本模 型 the underlying model 是一个连续时间过程 a continuous time process 其中 使得 从而由伊藤公式 Ito s formula 或 如果离散时间数据 the discrete time data 是连续时间过程的几何平均值 a geometric average 那么 具有的结构 于是合理的工具变量集合 the valid instrument set 就是 9 2 估计式公式 估计式公式 Formulation of the Estimator 和渐进性 和渐进性 4 质质 Asymptotic Properties 为了简化 我们假设且是一个型的向量型工具变量 由前面所述 我们用 定义一个阶的向量函数 设是阶的非奇异矩阵序列 a sequence of non singular matrices 令 则用 GMM 估计式求解 定义矩阵 则只要满足如下条件 则 GMM 估计式就是满足一致性条件的 假设假设 1 一致性 一致性 Consistency 满足 均匀大数定律 uinform law of large numbers 设且存在一个非随 机函数使得 识别性 identification 对任意 和任意邻域 有 假设保证了可能出现误差时 只要误差足够小 估计式是就标准函数 the criterion function 的最小值 提出另外两个条件的原始根据可以从其他地方找到 例 如从 Andrew 1991a 那里 下面的条件就是那里给出的 请注意下面的这个条件是充分条件 不是必要的 假设假设 2 设是一列定义在上的实的或复的波雷尔可测函数 Borel 5 measurable functions 对每个 可展开成一个逐点收敛的级数 对每个 是一个实的常数序列 对某个可求和的正的常数序列 其中 要满足如下条件 对且 有 一种混合的条件可用来确保对所有 可见 Andrews 中的评论 1 Andrews 还 证明了在某种顺序下 当的 Soboley 范数是一致有界 a uniformly bounded Soboley norm 的 且在这种一致有界的意义下足够光滑的时候 就满足上述条件 对渐进标准 asymptotic normality 我们需要如下假设 假设假设 3 CLT 包含在 其中是个开集 其中 在的某个邻域上是二阶连续可微的 假设 6 是非奇异的 nonsingular 并且 设 且定义 注意 假设要求是行满秩 has full row rank 的且是非奇异的 nonsingular 对于技巧差分序列 martingale difference sequences 或混合序列 mixing sequences 可以用中心极限定理 Central limit theorems 来证明假设 若 是一个严格稳态 a strictly stationary 例如 各态历经的技巧差分序列 ergodic martingale difference sequences 那么就有 在更一般的 考虑非稳态 non stationarity 的混合条件下 具有更复杂的形式 设 那么 其中 且 7 在假设 1 和 3 下 我们现在可以得出 GMM 的估计式的渐进分布 the asymptotic distribution 利用一阶均值展开 a first order mean value expansion 我们得到 其中 这样 注意到当时 即 有和参数的个数相同个数的工具变量 且估计式相同的时候 是一个型可逆矩阵 invertible matrix 在这种情况下 且 使得渐进方差协方差矩阵 the asymptotic variance covariance matrix 不是由决定 的 但是这和上过度识别 overidentified 的情况就不一样了 9 3 有效的有效的 GMM 前面的结果表明 当 对的选择关系到渐进率 asymptotic efficiency 且选 择合适的 可最小化 的渐进方差 asymptotic variance 最小的方差在时取 得 然后 可得 的渐进方差的值为 为了证明对于 这事实上是能做出的最好的选择 我们来证明对所有 8 注意代表半正定 positive semidefinite 且当且仅当 这样我们需要证明 注意到 其中 且第二个等式用到了是一个射影矩阵 a projection matrix 这个条件 是对称的且 那么自然可以得出结果 因为具有形式的矩阵必然是正定的 因为 对任何 有 9 4 加权矩阵的估计 加权矩阵的估计 Weight Matrix Estimation 矩阵的估计的重要性在于它既是过度识别 GMM 估计式 the overidentified GMM estimator 的最优加权矩阵 the optimal weight matrix 也是 的渐进方差的一部分 所以需要建立置信区间 confidence intervals 和基于 的检验 在没有序列相关的情况下 很容易用形成样本均值的办 法把加权矩阵估计出来 为了达到这个目的 首先不管怎样我们都需要对的一致 相容 估计 a consistent estimate 这样的一致 相容 估计 可基于一个无效的 GMM 估计式 其中 9 在假设 1 下 如同前面 可以得出 然后 我们用估计出 并用 估计出 且和在非极端正则条件 mild regularity conditions 下是一致的 当是自相关 auto correlated 的时候 具有更复杂的形式且简单抽样模拟不再是一致 相容 估计 我们早已看到了在更一般的情况下 可以被看成 其中 如果我们用一个抽样模拟来取代 使得 其中 那么可以证明 在极端非正则条件下 对于固定的有限的 当时 问题在于 无论如何 我们需要建立太多的形式的项 问题还在于按并非 是一致收敛的 在理论上 问题可以得到解决 即把 代入 其中相对于样本 需以某种合适的程度趋于无穷 但是 这样估计这个问 题时 不一定是正则的 因此不能作一个方差协方差 a variance covariance matrix Newey 和 West 1987 解决了这个问题 他们证明了 取适当权数 10 并指定 可以保证的正定性 限制权数为这种形式 函数 被称为核权数 kernel weight 且满足假设 其中 在除去可数点外都连续 这样的核函数的例子有 可以证明和核都可以生成的半正定 11 估计式 但是对于 Truncated 和 Tukey Hanning 核就不一定是这样的了 Newewy 和 West 1987 在假设下证明了的一致性 定理定理 9 4 Newey 和和 West i 设并且假设对所有在中是可测的并且对所 有在某个邻域里的是连续可微的 存在一可测函数使得 且 同样 存在有限的常数 和 使得 是一个混合序列 其大小为 对所有 且 对一有限的常数且对每个 那么 若所选的满足当和 时 Andrews 1991 和 Andrews 和 Monahan 1992 曾分析研究过怎样最优的选择 M 的问题 9 5 过度识别约束检验过度识别约束检验 当正交约束 orthogonality restriction 的