湖北省荆州市沙市第五中学高考数学二轮复习 专题一 第5讲 导数及其应用（含解析）.doc

第5讲导数及其应用【高考考情解读】1.本讲主要考查导数的几何意义，导数的四则运算及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值、最值等.2.常与直线、圆锥曲线、分式、含参数的一元二次不等式等结合在一起考查，题型多样，属中高档题目1 导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2 导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性3 函数的极值与最值(1)函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题(2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有(3)闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值4 四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sin x)cos x.(2)(cos x)sin x.(3)(ax)axln a(a0，且a1)(4)(logax)(a0，且a1)(5)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(6)(g(x)0)考点一导数几何意义的应用例1(1)过点(1,0)作曲线yex的切线，则切线方程为_(2)(2013南京模拟)在平面直角坐标系xoy中，设a是曲线c1：yax31(a0)与曲线c2：x2y2的一个公共点，若c1在a处的切线与c2在a处的切线互相垂直，则实数a的值是_答案(1)e2xye20(2)4解析(1)设切点为p(x0，ex0)，则切线斜率为ex0，切线方程为yex0ex0(xx0)，又切线经过点(1,0)，所以ex0ex0(1x0)，解得x02，切线方程为ye2e2(x2)，即e2xye20.(2)设a(x0，y0)，则c1在a处的切线的斜率为f(x0)3ax，c2在a处的切线的斜率为，又c1在a处的切线与c2在a处的切线互相垂直，所以()3ax1，即y03ax，又axy01，所以y0，代入c2：x2y2，得x0，将x0，y0代入yax31(a0)，得a4. (1)求曲线的切线要注意“过点p的切线”与“在点p处的切线”的差异，过点p的切线中，点p不一定是切点，点p也不一定在已知曲线上，而在点p处的切线，必以点p为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解 (1)直线ykxb与曲线yax22ln x相切于点p(1,4)，则b的值为()a3 b1 c1 d3(2)若曲线f(x)xsin x1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a等于()a2 b1 c1 d2答案(1)c(2)d解析(1)由点p(1,4)在曲线上，可得a122ln 14，解得a2，故y2x22ln x所以y4x.所以曲线在点p处的切线斜率ky|x1415.所以切线的方程为y5xb.由点p在切线上，得451b，解得b1.(2)f(x)sin xxcos x，f()1，即函数f(x)xsin x1在点x处的切线的斜率是1，直线ax2y10的斜率是，所以()11，解得a2.考点二利用导数研究函数的性质例2(2013广东)设函数f(x)x3kx2x(kr)(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0，f(x)在r上单调递增(2)当k0时，f(x)3x22kx1，其图象开口向上，对称轴x，且过(0,1)点当4k2124(k)(k)0，即k0，即k时，令f(x)0得x1，x2，且kx2x10，mf(k)k，又f(x2)f(k)xkxx2(k3kk2k)(x2k)(x2k)2k210，mf(k)2k3k.综上，当k0或f(x)1，求f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值解(1)当a1时，f(x)6x212x6，所以f(2)6.又因为f(2)4，所以切线方程为6xy80.(2)记g(a)为f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0，得到x11，x2a.当a1时，x0(0,1)1(1，a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0单调递增极大值3a1单调递减极小值a2(3a)单调递增4a3比较f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)当a1时，x0(0,1)1(1，2a)2af(x)0f(x)0单调递减极小值3a1单调递增28a324a2得g(a)3a1.综上所述，f(x)在闭区间0,2|a|上的最小值为g(a)考点三利用导数解决与方程、不等式有关的问题例3(2013陕西)已知函数f(x)ex，xr.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点；(3)设ab，比较f与的大小，并说明理由 本题主要考查导数在解决方程、不等式问题等方面的应用，构造函数是解决问题的关键(1)解f(x)的反函数为g(x)ln x, 设所求切线的斜率为k，g(x)，kg(1)1.于是在点(1,0)处的切线方程为xy10.(2)证明方法一曲线yex与曲线yx2x1公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0时，h(x)0，(x)在(0，)上单调递增，(x)在x0处有唯一的极小值(0)0，即(x)在r上的最小值为(0)0.(x)0(当且仅当x0时等号成立)，(x)在r上是单调递增的，(x)在r上有唯一的零点，故曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一的公共点方法二ex0，x2x10，曲线yex与曲线yx2x1公共点的个数等于曲线y与y1公共点的个数，设(x)，则(0)1，即当x0时，两曲线有公共点又(x)0(当且仅当x0时等号成立)，(x)在r上单调递减，(x)与y1有唯一的公共点，故曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一的公共点(3)解feee(ba)设函数u(x)ex2x(x0)，则u(x)ex2220，u(x)0(当且仅当x0时等号成立)，u(x)单调递增当x0时，u(x)u(0)0.令x，则得ee(ba)0，f. 研究方程及不等式问题，都要运用函数性质，而导数是研究函数性质的一种重要工具基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数，必要时画出函数的草图辅助思考 (1)(2013天津)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则 ()ag(a)0f(b) bf(b)0g(a)c0g(a)f(b) df(b)g(a)0，f(x)在r上递增，由于f(0)e0210，由f(a)0知0a0)，g(x)2x0，g(x)在(0，)上也递增，由于g(1)20，由g(b)0知1bf(1)0，g(a)g(1)0，g(a)0f(b)(2)已知函数f(x)ax1ln x(ar)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围；当0xye2且xe时，试比较与的大小解f(x)a，当a0时，f(x)0时，f(x)0得0x0得x，f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，即f(x)在x处有极小值当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点函数f(x)在x1处取得极值，a1，f(x)bx21b，令g(x)1，则g(x)，g(e2)0，从而可得g(x)在(0，e2上单调递减，在e2，)上单调递增，g(x)ming(e2)1，即b1.由知g(x)1在(0，e2)上单调递减，0xyg(y)，即.当0x0，；当exe2时，1ln x0，0的必要不充分条件2 可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点3 导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题；(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题1 已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_答案解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.2 设函数f(x)x2axln x(ar)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)当a2时，讨论函数f(x)的单调性；(3)若对任意a(2,3)及任意x1，x21,2，恒有maln 2|f(x1)f(x2)|成立，求实数m的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1.令f(x)0，得x1.当0x1时，f(x)1时，f(x)0.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)极小值f(1)1，无极大值(2)f(x)(1a)xa.当1，即a2时，f(x)0，f(x)在(0，)上是减函数；当2时，令f(x)0，得0x1；令f(x)0，得x1，a2时，f(x)在(0，)和(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增(3)由(2)知，当a(2,3)时，f(x)在1,2上单调递减，当x1时，f(x)有最大值，当x2时，f(x)有最小值|f(x1)f(x2)|f(1)f(2)ln 2，maln 2ln 2.而a0经整理得m，由2a3得0，m0.(推荐时间：60分钟)一、选择题1 (2012辽宁)函数yx2ln x的单调递减区间为()a(1,1 b(0,1 c1，) d(0，)答案b解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得00)，所以切线斜率为k，所以切线方程为yln x0(xx0)由已知直线ykx是yln x的切线，得0ln x0(0x0)，即x0e，所以，答案选c.3 (2013浙江)已知函数yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案b解析从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大a项，在x0时变化率最小，故错误；c项，变化率是越来越大的，故错误；d项，变化率是越来越小的，故错误b项正确4 若函数yf(x)在r上可导，且满足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是()aaf(b)bf(a) baf(a)bf(b)caf(a)bf(b) daf(b)0.g(x)在r上为增函数，ab，g(a)g(b)，即af(a)bf(b)5 函数ysin x的图象大致是()答案c解析因为f(x)sin(x)(sin x)f(x)，所以函数为奇函数，它的图象关于原点对称，则可以排除b.当x接近于正无穷大时，接近于正无穷大，而1sin x1，所以sin x也接近于正无穷大，则可以排除d.由y(sin x)cos x，令y0得cos x0，它有无数个解，可知极值点有无数个，所以排除a.故答案选c.6 (2013湖北)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()a(，0) b(0，)c(0,1) d(0，)答案b解析f(x)(ln xax)x(a)ln x12ax(x0)令f(x)0得2a，设(x)，则(x)易知(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，大致图象如右图若f(x)有两个极值点，则y2a和y(x)图象有两个交点，02a1，0a.二、填空题7 已知函数f(x) (xr)满足f(1)1，且f(x)的导函数f(x)，则f(x)1解析(x)f(x)，则(x)f(x)0，(x)在r上是减函数(1)f(1)110，(x)f(x)18 设函数f(x)x32ax2bxa，g(x)x23x2(其中xr，a，b为常数)已知曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线l，则a，b的值分别为_答案2,5解析f(x)3x24axb，g(x)2x3，由于曲线yf(x)与yg(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有f(2)g(2)0，f(2)g(2)1，由此解得a2，b5.9 设ar，若函数yexax，xr有大于零的极值点，则a的取值范围为_答案(，1)解析yexa，又函数yexax在xr上有大于零的极值点，即yexa0有正根当exa0时，exa，a1，即a1.10已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_答案0t1或2t3解析f(x)x4，由f(x)0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t1)内，函数在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，解得0t1或2t0恒成立且x2系数为正，f(x)在r上单调等价于x2(a2)xa20恒成立(a2)24(a2)0，2a2，即a的取值范围是2,2(3)当a时，f(x)ex，f(x)ex，令f(x)0，得x或x1，令f(x)0，得x1，令f(x)0，得x0)当a0时，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上是增函数，f(x)只有一个单调递增区间(0，)，没有最值当a0时，f(x)(x0)，若0x，则f(x)，则f(x)0，f(x)在(，)上单调递增，当x时，f(