湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 1.2.2正、余弦定理在三角形中的应用导学案 新人教A版必修5.doc

高中数学高一年级必修五第一章 第1.2.2节：正、余弦定理在三角形中的应用导学案学习目标能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推导和应用。并结合三角形的有关知识解决三角形面积有关的问题。让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现问题的能力，让学生在归纳探究中体验成功收获的愉悦。学习重点、难点重点：能推导三角形的面积公式并利用面积公式及正弦定理、余弦定理来解决有关三角形面积的题目。 难点：利用正弦定理、余弦定理解决简单的面积问题，并能利用三角形的有关知识及正、余弦定理来证明与三角形边角有关的恒等式。 学法指导教师可放手让学生探究，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能够不拘一格，一题多解。d知识链接回顾我们的探究经历，从初中的直角三角形出发，引入三角形中的某个角，采取将锐角三角形、钝角三角形转化为直角三角形的策略，结果探究出了三角形中的两个重要定理正弦定理和余弦定理，给我们解决三角形问题带来了极大的便利，那么我们不禁要问：利用三角形的有关知识还能推导出什么有用的结果呢？由此展开新课。e自主学习三角形的面积公式提出问题在abc中，若ac3，bc4，c60.问题1：abc的高ad为多少？提示：adacsin c3sin 60.问题2：abc的面积为多少？提示：sabcbcad43.问题3：若acb，bca，你发现abc的面积s可以直接用a，b，c表示吗？提示：能sabsin c.导入新知三角形的面积公式(1)saha(ha表示a边上的高)(2)sabsin cbcsin aacsin b.化解疑难三角形的面积公式sabsin c与原来的面积公式sah(h为a边上的高)的关系为：hbsin c，实质上bsin c就是abc中a边上的高f.合作探究三角形的面积计算例1在abc中，已知c120，ab2，ac2，求abc的面积解由正弦定理知，即，所以sin b，由于abac，所以cb，故b30.从而a1801203030.所以abc的面积sabacsin a22sin 30 .类题通法1求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法，这样不仅能减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值2事实上，在众多公式中，最常用的公式是sabcabsin cbcsin aacsin b，即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式活学活用1(1)在abc中，若a60，b16，sabc64，则c_.(2)在abc中，若a3，b2，c4，则其面积等于_解析：(1)由已知得sabcbcsin a，即6416csin 60，解得c16.(2)由余弦定理得cos a，所以sin a ，于是sabcbcsin a24.答案：(1)16(2)三角形中的恒等式证明问题例2在abc中，求证：.解法一：左边右边，其中r为abc外接圆的半径.法二：左边右边，(cos c0).类题通法解决此类问题，既要用到三角形中特有的恒等变形公式，又要用到任意角三角函数的恒等变形公式，两者要结合，灵活运用三角形边和角的相互转换公式，主要是正弦定理、余弦定理这两个定理，因此这类题型都可用不同的途径求解活学活用2在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，求证：c.证明：由余弦定理的推论得cos b，cos a，代入等式右边，得右边c左边，c.三角形中的综合问题例3在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知3cos(bc)16cos bcos c.(1)求cos a；(2)若a3，abc的面积为2，求b，c.解(1)由3cos(bc)16cos bcos c，得3(cos bcos csin bsin c)1，即cos(bc)，从而cos acos(bc).(2)由于0a，cos a，所以sin a.又sabc2，即bcsin a2，解得bc6.由余弦定理a2b2c22bccos a，得b2c213，解方程组得或类题通法解决三角形的综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识因此，掌握正、余弦定理，三角函数的公式和性质是解题关键活学活用3在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足cos，3.(1)求abc的面积；(2)若bc6，求a的值解：(1)cos，cos a2cos21，sin a.又由3，得bccos a3，bc5，sabcbcsin a2.(2)bc5，bc6，b5，c1或b1，c5.由余弦定理，得a2b2c22bccos a20，a2.典例(12分)如图，在四边形abcd中，accdab1，1，sinbcd.(1)求bc边的长；(2)求四边形abcd的面积解题流程规范解答(1)accdab1，cosbac2cosbac1， cosbac，bac60.(3分)在abc中，由余弦定理有：bc2ab2ac22abaccosbac22122213，bc(6分)(2)由(1)知，在abc中有：ab2bc2ac2，abc为直角三角形，且acb90，(7分)sabcbcac1.(8分)又bcdacbacd90acd，sinbcd，cosacd，(9分)从而sinacd，(10分)sacdaccdsinacd11.(11分)s四边形abcdsabcsacd.(12分)名师批注向量数量积运算公式易用错，在abc中，和夹角有时误认为abc，从而不得分 利用了诱导公式求cosacd，求解时对取正负号不把握活学活用在abc，中，ab2，cos c，d是ac上一点，ad2dc，且cosdbc.求：(1)bda的大小；(2) .解：(1)由已知得cosdbc，cos c，从而sindbc，sin c，cosbdacos(dbcc)，bda.(2)设dcx，则ad2x，ac3x，设bca，则在dbc中，由正弦定理得，ax.在abc中，由余弦定理，得4(3x)2(x)223xx.解得x1，3，.cos(c)24.g.课堂小结由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？h达标检测一、选择题1在abc中，已知ab2，bc5，abc的面积为4，若abc，则cos 是()a. b.c d解析：选csabcabbcsinabc25sin 4.sin .又(0，)，cos .2在abc中，已知a30，a8，b8，则abc的面积为()a32 b.16c32或16 d32或16解析：选d在abc中，由正弦定理，得sin b，又ba，b60或120.当b60时，c180306090，sabc8832；当b120时，c1803012030，sabcabsin c8816.3在abc中，a60，ab2，且abc的面积sabc，则边bc的边长为()a. b.3c. d7解析：选asabcabacsin a，ac1由余弦定理可得bc2ab2ac22abaccos a41221cos 603.即bc.4abc的周长为20，面积为10，a60，则bc的边长等于()a5 b.6c7 d8解析：选c如图由题意得由(2)得bc40.由(3)得a2b2c2bc(bc)23bc(20a)2340a7.5某人从出发点a向正东走x m后到b，向左转150再向前走3 m到c，测得abc的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为()a3 mb. mc2 md. m解析：选d在abc中，sabbcsin b，x3sin 30，x.由余弦定理，得ac (m)二、填空题6abc的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为_解析：不妨设b2，c2，cos a，则a2b2c22bccos a9，a3.又sin a ，外接圆半径为r.答案：7一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船实际航程为_解析：如图所示，在acd中，ac2，cd4，acd60，ad2124822436，ad6，即该船实际航程为6 km.答案：6 km8在abc中，ab2，bc2，又知最大角的正弦等于，则三边长为_解析：由题意知a边最大sin a，a120，a2b2c22bccos a.a2(a2)2(a4)2(a2)(a4)a29a140，a2(舍去)，a7.ba25，cb23.答案：a7，b5，c3三、解答题9在abc中，若c4，b7，bc边上的中线ad的长为，求边长a.解：ad是bc边上的中线，可设cddbx，则cba2x.c4，b7，ad，在acd中，有cos c，在abc中，有cos c.解得x.a2x9.10(2010浙江高考)在abc中，角a，b，c所对的边分别