湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 第三章 立体几何单元测试练习 理 新人教A版选修21.doc

立体几何单元测试（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件2下列四个命题中，真命题的个数为()如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合两条直线可以确定一个平面若m，m，l，则ml空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内a1 b2 c3 d43一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为，且一个内角为60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为()a2 b4c4 d84体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()a54 b54c58 d585设三条不同的直线a、b、c，两个不同的平面，b，c.则下列命题不成立的是()a若，c，则c b“若b，则”的逆命题c若a是c在的射影，ba，则cb d“若bc，则c”的逆否命题6正方体abcda1b1c1d1中，bb1与平面acd1所成角的余弦值为()a. b. c. d.7设p是平面外一点，且p到平面内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是()a梯形 b圆外切四边形 c圆内接四边形 d任意四边形8用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac；若a，b，则ab； 若a，b，则ab.其中真命题的序号是()a b c d9设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()aa2 b.a2 c.a2 d5a210正四棱柱abcda1b1c1d1中，ab3，bb14，长为1的线段pq在棱aa1上移动，长为3的线段mn在棱cc1上移动，点r在棱bb1上移动，则四棱锥rpqmn的体积是()a6 b10c12 d不确定11已知平面平面，l，点a，al，直线abl，直线acl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()aabmbacm cab dac12设，是三个互不重合的平面，m，n是直线，给出下列命题：，则；若，m ，m，则m；若m，n在内的射影互相垂直，则mn；若m，n，则mn.其中正确命题的个数为()a0 b1c2 d3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13如图，一个空间几何体的主视图左视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是_14如图，点o为正方体abcdabcd的中心，点e为面bbcc的中心，点f为bc的中点，则空间四边形doef在该正方体的面上的正投影可能是_(填出所有可能的图的序号)15如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab6，ad4，aa13，分别过bc，a1d1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为v1vaea1dfd1，v2vebe1a1fcf1d1，v3vb1e1bc1f1c.若v1v2v3141，则截面a1efd1的面积为_16如图，在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，点e为aa1的中点，在对角面bdd1b1上取一点m，使amme最小，其最小值为_选择题答案题号123456789101112答案填空题答案 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共6题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分) 已知正三棱锥vabc的侧棱长为4，俯视图如图所示(1)画出该三棱锥的三视图；(2)求出侧视图的面积18(12分)已知直三棱柱abca1b1c1中，acb90，accbaa12，d是ab的中点(1)求证：cd平面abb1a1；(2)求二面角da1ca的正切值19(12分) 图，已知三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，acbc2，aa14，ab2，m，n分别是棱cc1，ab中点(1)求证：cn平面abb1a1；(2)求证：cn平面amb1；(3)求三棱锥b1amn的体积20(12分)如图所示，四棱锥pabcd中，abad，addc，pa底面abcd，paadabcd1，m为pb的中点(1)试在cd上确定一点n，使得mn平面pad；(2)点n在满足(1)的条件下，求直线mn与平面pab所成角的正弦值21(12分) 如图，m、n、p分别是正方体abcda1b1c1d1的棱ab、bc、dd1上的点(1)若，求证：无论点p在d1d上如何移动，总有bpmn；(2)若d1ppd12，且pb平面b1mn，求二面角mb1nb的余弦值；(3)棱dd1上是否总存在这样的点p，使得平面apc1平面acc1？证明你的结论 22(14分)圆柱oo1内有一个三棱柱abca1b1c1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且ab是圆o的直径.(1)求证：平面a1acc1平面b1bcc1；(2)设abaa1，在圆柱oo1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱abca1b1c1内的概率为p.当点c在圆周上运动时，求p的最大值；记平面a1acc1与平面b1oc所成的角为(090).当p取最大值时，求cos 的值.立体几何单元测试（理科）参考答案一、选择题1b在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件2a两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故不正确；两异面直线不能确定一个平面，故不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面，故不正确；据平面的性质可知正确3c由几何体的三视图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由主视图的面积为，得菱形的边长为1，此几何体的表面积为s8114.4a设圆台的上、下底面半径分别为r，r，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h，h，则，又r29r2，r3r，h3h.r2hr2h52.即r2hr2h52，r2h54.5b命题c即为三垂线定理；命题d中的原命题即为线面平行的判定定理，所以d正确；命题a显然成立；对于命题b，若，则b与的位置关系都有可能6d如图，连接bd交ac于o，连接d1o，由于bb1dd1，dd1与平面acd1所成的角就是bb1与平面acd1所成的角，易知dd1o即为所求设正方体的棱长为1，则dd11，do，d1o，cosdd1o.bb1与平面acd1所成角的余弦值为.7bp到平面内的四边形的四条边的距离都相等，则p在平面内的射影到四边形的四条边的距离也都相等，故四边形有内切圆8c由平行公理可知正确；不正确，若三条直线在同一平面内，则ac；不正确，a与b有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知正确9b由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设o、o1分别为下、上底面中心，且球心o2为o1o的中点，又ada，aoa，oo2，设球的半径为r，则r2ao22a2a2a2.s球4r24a2a2.10a四棱锥rpqmn的底面积为sspqmsmnppqacmnac(pqmn)ac(13)36.其高h，vrpqmnsh66.11dm，m，l，ml.abl，abm.故a一定正确acl，ml，acm.从而b一定正确a，abl，l，b.ab，l.ab.故c也正确acl，当点c在平面内时，ac成立，当点c不在平面内时，ac不成立故d不一定成立12b本题为线面位置关系的判定，注意对线面平行与垂直的判定定理与性质定理的应用错，当两平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两个平面；正确，不妨过直线m作一平面与，同时相交，交线分别为a，b，由知ab，又mma，mb，又m，m；错，不妨设该直线为正方体的两对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两对角线不垂直；错，以正方形两平行棱，或一条棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例二、填空题13解析：由三视图知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥因此，其体积v12.14解析：图为空间四边形doef在前面(或后面)上的投影图为空间四边形doef在左面(或右面)上的投影图为空间四边形doef在上面(或下面)上的投影答案：15解析：设aex，be6x，v1vaea1dfd1，v2vebe1a1fcf1d1，v3vb1e1bc1f1c，且v1v2v3141，所以(3x)4(6x)34(3x)4141，解得xae2，a1e，sa1efd14.答案：416解析：取cc1的中点f，连接ef，ef交平面bb1d1d于点n，且enfn，所以f点是e点关于平面bb1d1d的对称点，则ammeammf，所以当a，m，f三点共线时，ammf最小，即amme最小，此时ammfaf.答案：a三、解答题17解：(1)如图所示 (2)根据三视图间的关系可得bc2，侧视图中va2，svbc226.18解析：(1)证明：因为accb，acb90，d是ab的中点，所以cdab，又因为abca1b1c1是直三棱柱，所以cdaa1，又abaa1a，cd平面abb1a1.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，accbaa12，a(2,0,0)，a1(2,0,2)，d(1,1,0)，c(0,0,0)，c1(0,0,2)显然平面a1ac的法向量为m(0,1,0)，设平面a1cd的法向量为n(x，y，z)，则，即，令x1，则n(1，1，1)，令m，n的夹角为，则cos ，二面角da1ca的余弦值为，其正切值为.19解析(1)证明：因为三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，又因为cn平面abc，所以aa1cn.因为acbc2，n是ab中点，所以cnab.因为aa1aba，所以cn平面abb1a1.(2)证明：取ab1的中点g，连结mg，ng，因为n，g分别是棱ab，ab1中点，所以ngbb1，ngbb1.又因为cmbb1，cmbb1，所以cmng，cmng.所以四边形cngm是平行四边形所以cnmg.因为cn平面amb1，gm平面amb1，所以cn平面amb1.(3)由(2)知gm平面ab1n.所以vb1amnvmab1n4.20解析：方法一：(1)过点m作meab交pa于e点，连接de.要使mn平面pad，则mned，四边形mnde为平行四边形，em綊dn.又em綊ab，而abcd，dncd，dn.(2)mned，直线mn与平面pab所成的角即为直线ed与平面pab所成的角pa面abcd，paad，而abad，da面pab，dea为直线ed与平面pab所成的角由题设计算得de，sindea.方法二：过点m作meab交pa于e点，连接de.要使mn平面pad，则mned，四边形mnde为平行四边形以ad、ab、ap所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系axyz，如图所示则由题意得a(0,0,0)、b(0,1,0)、d(1,0,0)、c(1,2,0)、p(0,0,1)、m、n.(1)d，|d|.(2)pa面abcd，paad，而abad，da面pab.又n，d(1,0,0)，cosn，d，直线mn与平面pab所成的角的正弦值为.21解析：(1)证明：连接ac、bd，则bdac，mnac，bdmn.又dd1平面abcd，dd1mn，bddd1d，mn平面bdd1.又p无论在dd1上如何移动，总有bp平面bdd1，无论点p在d1d上如何移动，总有bpmn.(2)以d为坐标原点，da、dc、dd1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系设正方体的棱长为1，amnct，则m(1，t,0)，n(t,1,0)，b1(1,1,1)，p(0,0，)，b(1,1,0)，a(1,0,0)，(0,1t,1)，b又bp平面mnb1，b0，即t10，t，m.设平面mnb1的法向量n(x，y，z)，由，得xy，zy.令y3，则n(3,3，2)ab平面bb1n，a是平面bb1n的一个法向量，a(0,1,0)设二面角mb1nb的大小为，cosn，a.则二面角mb1nb的余弦值为.(3)存在点p，且p为dd1的中点，使得平面apc1平面acc1.证明：bdac，bdcc1，bd平面acc1.取bd1的中点e，连接pe，则pebd，pe平面acc1.pe平面apc1，平面apc1平面acc1.22【解析】(1)因为a1a平面abc，bc平面abc，所以a1abc.因为ab是圆o的直径，所以bcac.又aca1aa，所以bc平面a1acc1，而bc平面b1bcc1，所以平面a1acc1平面b1bcc1.(2)设圆柱的底面半径为r，则abaa12r，故三棱柱abca1b1c1的体积v1acbc2racbcr.又因