何钟怡--实验理论基础.pdf

实验的理论基础 实验的理论基础 何钟怡 一 实验的重要作用 是公理化体系的基础 是实验建模的基础 通过实验解决具体问题 二 指导实验的理论 实验的缺陷 由于实验的具体性 使得实验结果的狭隘性 未能达到举一返三的作用 鲜活的实验规模大 但足尺寸实验太费时 费力 费财 实验的可信性论证 实验中的许多干扰因素 环境干扰和自干扰 这需要滤掉干扰 这也需 要理论指导 如 Shannon 采样定理 实验的合理设计 三 现代实验的若干发展趋势 1 重大影响技术 计算机技术 高分辨技术 对痕量成分的感知 微电子技术 传载 记录部分 非线性基础理论 对湍流的把握有重大进展 2 存在的事实趋势 传统的物理实验正在被突破并不断补充新的内涵 物理和数值实 验 数值实验 数值仿真 许多领域的实验趋向于小型化 传统的个性实验阵地逐渐被侵蚀 逐渐向以建模与数值仿真相结 合的领域发展 四 课程内容和目的 1 内容 第一章 相似理论 第二章 因次理论 第三章 误差理论 第四章 谱分析 第五章 传感器对待测场的干扰 第六章 数值实验 2 目的 实用性 想象力的培养 拓宽视野 增大跨度 第一章 相似理论 第一章 相似理论 1 概述 1 概述 一 目的和内容 目标 1 打破具体实验的局限性 推广到和它相似 2 构造与原则相似的模型 使模型上实验结果解决原型的实验需求 3 把模型实验的系列结果推广到类似的群体里去 用 相似正定理 追踪 相似逆定理 追踪 相似类似定理 追踪 二 主要线索的分析 例 发生在圆形区域内的一个现象 一个稳定电场 半径为 在圆形周边施加一定的电位 给定自变量 0 R r 欲确定稳定恒电场内的电位分布 rfU 20 sin 0 11 0 0 2 2 22 2 Rr UU U rr U rr U 3 2 1 r R0 0 R 为特征常量 决定此问题的规模 若很大 则电位很高 很危险 所以借助于 相似理论来解决 此问题没有考虑到电流密度 因为它与导电率有关系 会受到一定的局限 性 0 U 0 U 1 把定解方程组无因次化 2 0 0 2 0 0 2 2 R U R r U U r U 2 令 0 U U U 0 R r r 2 2 2 0 0 2 2 r U R U r U 1 式变为 0 1 2 2 2 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 U R U r U rR U r U R U 即0 1 2 2 2 2 U r U rr U 2 式变为 1 r 时 sinU 3 式变为 1 r 时 20 2 对于小模型 20 0 11 0 00 2 2 22 2 sinu时u uuu 0 无因次化后 将 0 u 0 作为特征常量 上式变为 201 1 0 11 2 2 22 2 sinu时 uuu 其中 0 0 u u u 从以上的两个方程组可知有相同的解结构 Fu rFU 若Uu r 00 R r 则 l C Rr 0 0 u C u U u U 0 0 1 相似理论的实质是将变量及自变量进行线性变换 所以它是将定解方程组用各自的特征 常量无因次化后全同 这是相似理论正逆定理的主要内容 2 同类现象的相似 2 同类现象的相似 标量 T 向量 或 表示某个点速度 i u321 i i u 指标 ij 表示所属指标 i u 表示属于 现象整个区域的速度集合 一 空间定义域的相似 定义 若 现象定义于 域 现象定义于 域 若在 中选择任一点其坐标为 在 i x 域内总有唯一一点与之对应 满足如下关系式 i x l i i C x x 为常数 反之 域内任一 点其坐标也能在 域内找到唯一点满足上式 称 与 空间相似 二 时间定义域的相似 定义 若 现象时间定义域为 现象时间定义域为 若在 域内任一点在 t 域 内总有唯一一点与之对应 两者满足下式 t t C t t 为常数 反之 域内任一点在 域内 总有唯一点满足上式 称 与 时间相似 说明 时间是一维的 所以恒相似 同时满足空间域与时间域的点为时空对应点 相似性是在时空对应点上展开的 三 因变量的相似 k ik y 21k 因变量 y 原型或模型 物理量 k 属于第个物理量的第几个分量 k ik 定义 在任一给定的对应时空点上 现象的某因变量与 现象上的同名因变量满足下 式 constC y y k k i k i k k 则称两因变量相似 四 同类现象的相似 1 同类现象 若两现象的基本方程组具有同形结构 则称两现象是同类的 但不强调是 同一种物质 同边界条件 2 同类现象的相似 两现象分别定义于 时空定义域内 对于任意给定的时空对应 点 若同名物理量呈固定比例 k k i k i C y y k k n21k 若其时空定义域是相似的 则同 类现象相似 总结 总结 1 用定性分析来确定模型实验是否可以替代原型实验 如果可以则对模型实验进行定量 分析求解 2 求解后 需利用相似理论来保证将模型映射到原型中去 3 第二小节是第一小节的理论总结 它是第一个例题的逻辑总结 是上升到普遍的规律 这种表现手法是简单的 应该值得学习 这种符号表示是一种高级手法 不该回避 3 定解方程组的相对化 3 定解方程组的相对化 一 求和约定 Einstein 1 方程中的某项下标重复 则该项代表同型项求和 下标取一切可能值 2 方程中的某项下标不重复 则该方程代表一个同型方程的集合 子方程的下标取一切 可能值 例 指求和下标 L 321iui 0 x u i i 即0 x u x u x u 3 3 2 2 1 1 dt du mF i i 即 dt du mF 1 1 dt du mF 2 2 dt du mF 3 3 二 定解方程组 从大框上来观察定解方程组 它包括三个要素 基本方程 它是支配你所研究这类现象的普遍规律 它用数学方法将物理现象 翻译 成数学表达 边界条件 空间自变量定义域 界定边界几何形状 研究因变量的赋值 起始条件 三 基本方程组的相对化 选择载体 不可压缩牛顿流体宏观机械运动 本构规律 此类物质区别于其它物质的规律 由此推演出的方程称为本构方程 将其属 性个性化 下列流体的本构方程为牛顿内摩擦应力方程 连续性方程 0 x u i i N S方程 jj i 2 i i j i j i xx u x p1 F x u u t u 变 量 t i u i x i Fp 特征常量 U L T F P 相对化为 t i u i x i F p 则连续性方程无因次化后可写为 0 x u i i N S方程无因次化后可写为 jj i 2 2 i i j i j 2 i xx u L U x p L P FF x u u L U t u T U 用 L U 2 同除等式两端后 jj i 2 i 2 i 2 j i j i xx u LU x p U P F U FL x u u t u TU L 令 UL U P Eu FL U Fr L UT St 2 2 Re jj i 2 i i j i j i xx u1 x p EuF Fr 1 x u u t u St 1 Re 四 边界条件的相对化 k G上 0txpuB iik m21k 该边界条件由m个方程组成 是求和 约定的盲区 0 T t T L x L P p P U u UB ii k 0tTxLpPuUB iik 0txpuB iik 五 起始条件的相对化 0 xpuI tt iih 0 4 相似定理 4 相似定理 一 相似的必要和充分条件 定理 两同类现象相似的必要和充分条件是用相应特征常量相对化的定解方程组全同 证明 1 充分性 基本方程 0 x u i i jj i 2 i i j i j i xx u1 x p EuF Fr 1 x u u t u St 1 Re 边界条件 0txpuB iik m21k LL 起始条件 0 xpuI iih n21h LL 因为定解方程组是指只有唯一确定的解 对于 现象的定解方程组与上述完全相同 只 是将所属下标 换成 若定解方程组解的如下 i u txfu iii txfu i i i 由于具有相同的函数解结构 当 ttxx i i 时 必有 i i uu 即 l i i i i C L L x x L x L x 同理 ut C u u C t t 同时 若 则有 ttxx i i pp 即 tl i i C t t C x x 有 p C p p 在时空对应点上 同名物理量是常数 所以两类现象相似 2 必要性 在时空对应点上 由于两现象相似 已知 ppuuFF i iii 因为时空对应点相似 所以可以得出其边界条件方程全同 若在时空对应点上相似 则 说明各因变量的函数分布是相同的 则对各个自变量的导数值相等 证明思路为在空间域上 选择四个不同的点分别列出方程 来求解这四个方程中各项前系数 从而证明定解方程组全 同 在几何边界上任意找四个点 1 2 3 4 则可列出四个方程有 114131211 b 1 aEua Fr 1 a St 1 a Re 224232221 b 1 aEua Fr 1 a St 1 a Re 334333231 b 1 aEua Fr 1 a St 1 a Re 444434241 b 1 aEua Fr 1 a St 1 a Re 对于 现象同样可列出四个相类似的方程 由前面的分析我们可知 iiijij bbaa 由两组完全相同的方程组所决定的解是相同的 即 ReRe EuEuFrFrStSt 相对化后的定解方程组完全等同 二 相似正定理和逆定理 1 正定理 1 若两现象相似 则对应的同名相似准则相等 ReRe EuEuFrFrStSt 2 若两现象相似 则由与准则对应的相似比例尺组成的综合量等于 1 证明 以Re为例 两类现象相似 ReRe LuLu 1 C CC Lu 得证 2 逆定理 使两同类现象相似 必须满足以下条件 1 时空定义域相似 2 相对化场力在对应点上全同 3 由对应特征常量组成的同名相似准则相等 4 相对化边界条件全同 5 相对化初始条件全同 三 相对化测量的物理意义 法国科学家J Batrand 为后人的相似论的提出奠定了基础 他提出 凡人皆等高 即用 自己的特征尺寸去度量同一类有共同特性个体的尺寸 5 近似相似与解耦技术 5 近似相似与解耦技术 以流体力学为例 有如下相似尺度 CCCCCCC pFtlu 因为有四个相似准则的约束 所以只有三个自由变量可供选择 一般若选择的流体一样 则对空气来说 这样将会使其它四个相似尺度也为 1 从而实现不了 模型的减小化 所以 有了如下的构想 1C1C1CF 一 Pranatle的构想 jj i 2 i i j i j i xx u1 x p EuF Fr 1 x u u t u St 1 Re 由于的非线性化与粘性项的耦合而出现了复杂的分叉和混沌现象 马克斯威用统计物 理学来证明了流体与固体壁面接触处速度为 0 普朗特用毕托管在平板上测定出在靠近平板 的一个薄层中速度变化迅速 j u 1 在薄层中 其厚度很小 所以较小 则其Re Re 1 较大 所以在N S方程中 他应 用数量级比较 则可忽略掉 j i j x u u 则N S方程由非线性方程变成了线性方程 在此他提出 了层流底层的概念 2 当到达紊流区时 Re较大 则 Re 1 较小 则 jj i 2 xx u1 Re 相对于 j i j x u u 小很多 则可 以把这项拿掉 但是问题是 1 Re jj i 2 xx u 代表粘性项 如果把它拿掉则变成了无粘性流体 即 理想流体 此时可以用理想流体的理论应用于紊流区 3 经过数量级比较后 得出边界层的基本方程 普朗特实验构思的影响 当时力学家 物理学家很少能应用数量级比较 因为当时他们只是追求精确 但是普 朗特的思想告诉了大家在实验中也需要应用这种思想 应用此思想得出结果后再进行 摄动 修正 他指出了当很大时 粘性项可以忽略 因此他得到的结果与无关 因此在高速ReRe 区时 完全可以用空气来代替水来进行实验 当流体遇到障碍物时 产生重大影响的区域只是靠近固体壁面 主流区并没有很大影 响 因此在不同的区域还可应用不同的理论 二 解耦技术 1 在均质流体的绕流或管内的有压流动中 Fr数不考虑 可以精确解耦 算出之后再 加上Ar数 2 在无穷点处要不要考虑 此时可以不相似 大气压定律告诉我们 在某点处增 加一数值 则在其它点也相应增加同等数值 m P m P 形状 Re fCR 6 同类现象和类似定理 6 同类现象和类似定理 一 类似 若两同类现象的相对型定解方程组除了由特征常量组成的相似准则不相等外 其 余全同 则称两现象类似 若用u来作例子 此时对类似现象来说 Re EuFrStxFu tjii Re EuFrStRe EuFrSt 类似 二 相似族 相似 txfu iii 类似 Re EuFrStxFu tjji 三 类似定理 类似现象的因变量可表为时空坐标以及相似准则的函数 总结 总结 想象力并不是复杂公式的推导能力 而是在充分了解数学及物理概念的基础上 深遂 地把握认识 左右逢源的能力 实际问题是复杂的 虽然计算机技术高速发展 但数值模拟仍不能完全代替实际的模 型实验 相对于模型实验来说 原型实验仍然是最鲜活的 相似理论的目的不是由模型实验来 代替原型实验 只是为了更高质量的原型实验实施打下基础 现代设备 以风洞的历史发展来看 1902 年 Joukowsk在莫斯科大学建立了第一个现代风洞 1906 年 Prantle在哥丁根大学建立了第一个回流风洞 我国最大的低速风洞 12m 16m 要用恰当的设备与高级的技术来建立实验室 第二章 量纲分析的理论基础 第二章 量纲分析的理论基础 1 齐次函数 1 齐次函数 一 齐次函数的定义 1 函数 是物理上的自变量 即物理上是独立的 若在m 维空间选择某一给定点 i xfy m21i i x ii xx 为任意正数 此时 若 k是 满足函数结构的常数 则称是具有一个基本量的m元齐次函数 i xfy yy k i xfy 例 2 1 21 4 2 4 1 1 x x xx xx xylg 2121 xxxx y x x xx xx xy 2 2 1 21 4 2 4 1 2 1 lg 此函数为有一个基本量的二元齐次函数 2 推广 函数 i xfy m21i 是物理上独立的自变量 若在m维空间选 择某一给定点 i x iii xx i 为任意正数 此时 若 是满足不同函数结构的常数 则称 iix fy yy m21 k m k 2 k 1 LL i k i xfy 是具有m个基本量的m元齐次函数 例 1 矩形 面积 它只有一种计量尺度 则ba baS baba 得 SS 2 2 速度计算公式 t l u 它有两种计量尺度 则 tltl tl 得uu t l 二 复合齐次函数 函数 jin yxfy m21i L 1n21j L 是物理上独立的自变量 若 在m n 1维空间选择某一给定点 ji yx jjjiii yyxx 则 矩阵由量之间结构决定 代入原函数中有 若且 则称是具有m个基本量的m n 1元复合齐次函数 mjj2j1 k m k 2 k 1j 1nmij k jjiin yxfy nnn yy mnn2n1 k m k 2 k 1n jin yxfy 记 mhh2h1 k m k 2 k 1h n21h 注 虽然在物理上是独立的变量 但在放大系数时 ji yx j 是受 i 的影响的 这两者 并不矛盾 因为在状态点之间他们是相互独立的 但是在给定状态点后 在计量体系中某些 尺度受到其它相关计量尺度的约束 所以在给定状态点后 j 是受 i 的限制的 2 布金汉定理 2 布金汉定理 Buckinham 有一齐次函数 jin yxfy m21i 1n21j L 当 iii xx jjj yy 有 nnn yy mhh2h1 k m k 2 k 1h n21h 若 取 i i x 1 则 mhh2h1 mhh2h1 k m k 2 k 1 k m k 2 k 1 h x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 则有 n k m k 2 k 1 n y xxx 1 y mhh2h1 又已知 1nm1n21n11m2111 k m k 2 k 1 1n k m k 2 k 1 1 m个 jjiin xxx y xxx y 111fyxfy LL LL LL 4 84 76 LL 令 mhh2h1 k m k 2 k 1 h h xxx y n21h j1n21n 1n21j L 3 量纲分析的高斯原则 3 量纲分析的高斯原则 一 实质变化与计量变化 1 实质变化 在同一计量标价下 从状态空间的一点移动到另外一点的变化称为实质变 化 也叫物理变化或客观变化 2 计量变化 在给定的物理空间状态点上 由于计量标价的变化而导致的数量变化 称 为计量变化 注 自然社会中存在一定的客观规律 它使得不同领域的专家会对某一现象达成共识 正因为此 所以自然社会中所存在的事物具有客观性 所存在的物理量也是客观的 但对于 不同的物理事物 我们都实行量化 而量化是需要一定的计量尺度的 而计量尺度是人为定 的 所以各物理量的大小是客观与主观结合的产物 因此在描述一个物理量的变化时 我们 要注意区分是实质变化还是计量变化 高斯指出我们在进行量化时虽然不能排除主观因素 但我们应尽量追求客观 我们不求达到最优解 而希望达到满意解 他的这一思想使得在国 际单位制中领域内都可以进行 变化 二 高斯原则 1 自然现象的量化描述不可避免地包括了主客观的纠缠 因此对它的描述只能找到较满 意的解 不可能得到最优解 2 基本思路是对物理量化用两种不同性质的方案表达 第一组是物理方程 第二组是计 量方程 其物理方程的追求目标是物理方程的形式不变性 或表观不变性 计量方程的追求 目标是它的普适性及与所描述的物理问题的内涵无直接关系 由于计量方程具有普适性 在 大量反复使用过程中将会使其变成自己记忆中的一部分 只剩下物理方程了 3 认为为了实现这样一个目标主要是对物理体系中的基本量与导出量做出精确的选择 以及恰当地安排量纲之间的运算关系来保证物理目标符合复合齐次特性 4 4 定理的应用 定理的应用 定理应用的前提是函数满足齐次关系 而高斯原则则保证了这一要求 所以 定理的 应用很广泛 例 尼古拉兹实验 2 2 1 1 u 1 P d 2 P l 管道壁面的粗糙平均高度 称为平均 粗糙度 此实验的追求目标为 ludfp 宏观运动系 两个基本量 tl 宏观动力系 三个基本量 tl 在这里选择 ud为基本量 pl 为导出量 采用 定理 udud ud plpl pl dld duud du Re du 22 u p 2 u p u p Eu 2 up 令 1 u 1 d 1 ud 2 pl u 1 ud 1 d 1 d 1 udd l d 111fp p 即 udd l d 111fp u p 2 Re Re d l d 1 d l d p u p 2 经过物理分析 可知是与l成正比的 所以将公式写成如下 p Re dd l u p 2 令g g2 u d lp 2 其中 Re Re dd 2 做实验时 采用了人工粗糙度 用于工程时再进行修正 总结 总结 1 历史上重大的科研成果一般都需要各个领域的基础知识为其做准备 2 研究工作需要继往开来 3 表达一个规律需两套方程 物理方程与计量方程 以及 i 的选定为此章的想象力所 在 第三章 实验的误差 第三章 实验的误差 三个阶段 实验前的设计阶段 实验前的估计是论证实验的可行性 实验中的过程阶段 实验后的数据处理阶段 论证实验的可信性 基本内容 1 计量问题 产生问题属于内干扰 但与外干扰有关 2 着重分析各类误差 随机误差与伪随机误差 系统误差与伪系统误差 的机制 3 研究实验误差的传播以及它的合成 1 计量的概念 1 计量的概念 一 国际单位制SI 1889 年 国际第一次计量大会 1948 年 国际第七次计量大会 在全面地要求统一 1960 年 国际第 11 次计量大会 选定基本量以及确定其单位定义 1971 年 国际第 14 次计量大会 技术上得到全面解决 选择了七个基本量 长度 质量 时间 电流强度 热力学温度 光强 物质的量 单位 米 千克 秒 安培 开尔文 坎德拉 摩尔 m kg s A K mol d C 两个辅助基本量 平面角 立体角 单位 弧度 rad 球面度 Sr 实现基本量的基本单位的定义 1m单位的定义 氪 86 Kr当进行电子跃迁时 从 可测定电磁波其波长为 510 d5P2 将 1650763 73 定义为 1m 错误 不能通过编辑域代码创建对象 错误 不能通过编辑域代码创建对象 133 时间单位的定义 铯 超精细能级 进行电子跃迁时 测定其周期T 将 9192631770T 定义为 1 秒 s C 二 基准 标准和工作量器 1 基准 以当代最高科技水平建立的具有最高精度和稳定性的用来规定 保持和复现物 理量单位的仪器或量具 基准分三级 主基准 副基准 工作基准 2 标准 按照一定的规程 根据基准复现的量值制作出来的量具称为标准 标准分三级 一级标准 二级标准 三级标准 3 工作量器 按照一定的规程 根据标准所复现的量值制作出来的量具称为工作量器 三 量值传递与比对 按照一定的规程根据基准复现的量值向标准及工作量器量值转移的过程称为量值传递 按照一定的规程同级量器比较量值的一致性称为比对 四 我国与计量有关的一些机构 三类 政府部门 研究部门 培养技术人才的中国计量科学学院 2 实验的误差 2 实验的误差 一 绝对误差和相对误差 测某一物理量 真值x 是第 次测量的测量值 第i次测量的绝对误差 i xixxx ii 第i次测量的相对误差 x xi i 二 系统误差 随机误差 粗大误差 1 系统误差 在一定的实验条件下 误差的量值 大小及符号 保持恒定或者呈确定性 的函数关系 2 随机误差 在一定的实验条件下 由于难以控制的偶然因素导致的随机变化的误差 3 粗大误差 由于粗心大意或尚未发现的重大因素导致的数量巨大的误差 3 随机误差的表示 3 随机误差的表示 一 成因的分析 因果链不明显 且很长 所以很难看到链的源头 有许多个量级大致相等的干扰源 而干扰源又有各自的因果链而导致的综合结果 伪随机现象 混沌 非线性问题 动力系统 这个现象是用一组非线性偏微分方 程与积分方程描述 当给定边值时 它有确定的解 但这个解对边值的变化非常敏感 此时 的伪随机误差在边值给定附近是可估计的 二 随机误差的表示 x P x P 概率 x 绝对误差 xfxP 在x 点处的P值 表示了x 这一事件的概率 0 xP p xd dP 概率密度函数 由随机误差成因的第二个因素 可知P在实际中大多数表示为正态分布 中心误差定理告诉我们 2 2 2 x e 2 1 p 其中 所论实验系统中的特征常量 标准差 在实际中 有以下两类情况 1 估计量具的精度 2 估计实验系统随机误差的扰动与规模 例 温度计精度的确定 在产品中抽取N个温度计作为样本 将一支标准温度计与N支温度计放在恒温水浴中测定 将标准温度计的读值当作真值x xxx ii N21i 1N x N 1i 2 i 无偏估计 标准方差 这说明当N越大时 趋近于真值的可能性越大 这是由大数定律做保证的 a ax P a pdxaP axpdaaP a a 一般令 ka 因为 是特征常量 k k xpdkkP 当k 1 时 P 0 683 当k 2 时 P 0 955 当k 3 时 P 0 997 3 原则 以此精度来标定 当k 4 时 P 0 999 注意 在工程上 要学会妥协 在诸多因素中要考虑到多盈性原则 这是一个高级工程 人员应该具备的素质 4 误差的传播 4 误差的传播 测弹性模量E P P lFl 虎克定律 E l l F P Q lF Pl E 实测量P l F l 彼此独立 目标量E 前提 目标量与实测量函数关系已知 一 系统误差的传播 已知函数 i xfy n21i 有n个实测量 在状态空间点可确定 但由于有 系 统 误 差 所 以 测 出 数 据 为 i x ii xx 此 时 那 么 ii xxfy n21i iii xfxxfy 从数学的角度来看 i n 1i i x x f dyy 从泰勒展开来看 只保持其一阶导数项 n 1i i i i i x x x f y x y y 其中 n 1i ii xy i i i x f y x 系统传播因子 实际中常碰到如下的函数形式 为确定常数 n2 1 k n k 2 k 11 xxxAy i kA n 1i ii k n k 1 xkAxxAy n1 lnlnlnlnlnln 求导得 n 1i i i i n 1i i ii x x k x xk y dy 当很大时 注意采用精度较高的仪器来对它进行特殊处理 i k 二 随机误差的传播 在给定状态点下 测量m次 每次测n个量 则有nm 个数据 ij x n21i m21j j y 第j次实验 m21j ij n 1i i j x x f y n 1ik kj k n 1i ij i 2 ij n 1i i 2 j x x f x x f 2x x f y ki n 1i n 1ik kjij ki 2 ij n 1i i xx x f x f 2x x f 1m y m 1j 2 j y m 1j n 1i n 1ik kjij ki 2 m 1j n 1i ij i m 1j 2 j xx x f x f 2 1m 1 x x f 1m 1 1m y m 1j n 1i n 1ik kjij ki n 1i m 1j 2 ij 2 i xx x f x f 2 1m 1 x x f 1m 1 4 34 21 0 m 1j kjij n 1i n 1ik ji n 1i 2 x 2 i xx x f x f 1m 2 x f i n 1i 2 x 2 i i x f n 1i 2 x 2 i y i x f 5 误差的合成 5 误差的合成 y n 1i i i rs 3x x f yyy 伪系统误差 i i x x f 不可消除 本质是在仪表传递过程中由于随机因素的累计而得到的多种贡 献的结果 既然是随机因素贡献的结果 则其正负号也是不确定的 加绝对值按最不利条件 来考虑 n 1i 2 x 2 i n 1i i i rs i x f kx x f yyy k 1 3 总结 总结 1 将来的问题多是应用问题 因此应拓宽视野 涉及领域宽 2 在应用问题中 经常涉及甲乙双方的利益 应当学会对应用问题作出高度简洁的表 达 并兼顾双方的利益 善于妥协 目标是双赢 3 计量的基本概念使我们明白 自然科学中只有七个基本量 定理中我们能减少的 自变量就是基本量 4 随机误差起因的重要性 5 要把基础科学作为自己驯腿的奴隶 第四章第四章 谱分析谱分析 1 概述 1 概述 1 平常研究的问题一般在时域空间研究 而谱分析是在不同的状态空间中研究 它以频 率与振幅作为基本量 也称为频域分析 2 谱分析中使用了一个共同的工具 积分变换 一 Fourier变换 在时域空间中 定义 tfy t Gdtetf iwt 圆频率 记作 GtfF 是一个运算子 F 可证 deGtf iwt 2 1 记 1 tfGF 二 Laplace变换 sFdtetftfL st is 区别 拉氏变换在正区域中进行 傅氏变换中 是实数 在拉氏变换中 是复变量 s 可以证明 2 1 1 tfdtesF i sFL i i st 的取值需满足所有奇点都在 sF 线的右侧 在奇点值取无穷大 sF 三 其它类型的积分变换 梅林变换 亨格尔变换 勒让德变换 列别捷变换 康脱罗维奇变换 Z 变换 布什变换 通式 象函数 wdtwtktfW b a 1 象原函数 2 1 tfdwwtkwwW d c 各变换不同的是 1 核函数不同 2 积分上 下限不一样 四 变换的一般原则 1 象函数与象原函数之间的映射必须是单值对应 2 在象空间中 演算必须得到简化 3 正 逆变换必须简单 五 积分变换的物理背景 1 Huygeus 2 Fourier 三个里程碑 3 De Proglie 基于古希腊对物质与运动的一些设想上 古希腊千变万化的物质 运动中必有其基元 则Fourier认为简谐运动是运动基元 1 0 sincos 2 n nn ntbnta a tf 给定以及 则可确定 事实上给定的就是一个波谱 nn ba 0 a tf nn ba 1 若我们已知与t的函数关系 则随t的变化 趋势即在时域中的变化趋势 这是我们所习惯的 tf tf 0 n n a 2 若已知的变化 类似如左图的振幅 一样可以 知道它的信息 在频域中可以看作是权重 nn ba nn ba deGtf iwt 2 1 n tnitnnG sin cos 2 1 lim 0 1 通过傅立叶变换 将其变成一个连续的函数 我们将可以采用连续函数这一强大的 工具来分析问题 2 傅立叶变换的基元采用的是简谐波 而Laplace变换采用的是振幅衰减的简谐波 2 系统 激励与响应 2 系统 激励与响应 一 定义 由相互关联和相互作用元件所组成的整体叫做系统 使系统进入活动状态的因素称为激励 输入 系统被激活后的集中表现叫做响应 输出 tf tfs 或 G 或 s G L 系 统 t L 注 之所以要分析这三要素 主要是分析其框架 来考察其基本元素 系统论的基本观点就是要观 察其框架 二 系统的分类 1 线性与非线性系统 若 激 励 为 2 1 GG 时 有 响 应 21 sss GGG 则称为线性系统 1 G 1 s G 2 G 2 s G 系 统 注 有些系统在小扰动下是线性系统 而在大扰 动下是非线性系统 2 具有反馈的系统与无反馈系统 G s G 主系统 子系统 具有反馈的系统 三 线性系统的传递函数 GHGs H 系统的传递函数 并不是所有系统都能表示成这种形式 这类系统要求其本构参数不随时间变化 四 线性系统三种类型问题 1 已知 求 正问题 GH s G 2 已知 s GH 求 反问题 G 3 已知 s GG 求 辩识问题 H 五 由多个子系统组成的复杂系统 机械量 连续 离散 离散 电磁量 模拟量 模拟量 数字量 信 号 重 构 器 连续 连续 离散 离散 物理量 模拟量 模拟量 数字量 采 样 器 传 感 器 A D 转 换 器 计 算 机 执 行 机 构 D A 转 换 器 实 验 对 象 显示 打印 报警 功能输出 3 滤波及系统的频响特性 3 滤波及系统的频响特性 一 RC 滤波 C tu R tus tRItuR dt tdu CtI s tutIRtu s tu dt tdu RCtu s s 设 GtuF ss GtuF s s iG dt tdu F 对两端进行傅立叶变换 ss GiGRCG 1 1 G iRC Gs iRC H 1 1 2 1 1 RC H 1 0 0 H 0 H 这说明频率越高 则削减越大 因此它是低频滤波器 绝大部分高频波都被削减 因此 数字信号在失真的情况下具有很大的优越性 二 积分滤波 attat t tf 将具有高频部分的波滤掉 得到基波部分 即 称为窗口宽度 tftf s a2 从物理上看 应该让梯形面积与曲多边形面积 相等 从而使高频分量平均分配在直线的两 侧 则有 atfdf s at at 2 at at s df a tf 2 1 在利用积分定理之前需做如下处理 atatat at dfdfdf 利用变量代换 aa ttat at dafdafdf 根据傅氏变换的积分性质 1 afF i dafF t 1 afF i dafF t 根据傅氏变换的位移性质 afFeafF ai afFeafF ai 对 式两端进行傅氏变换 2 1 at at s dfF a tfF 11 2 1 Ge i e ia G aiai s 2 1 Gee ia aiai a a a eei ia ee H aiaiaiai sin1 2 2 1 0 0 H 0 H 三 仪器频响特性 一 频响特性 在工程上要求其表达简洁而明细 一般用失真度来表示 GHGs 05 0 G GG s G HGG 即 1H 由此可求得 则 称为允许的频带 或者在 上取其端值绝对值小的值 0 给定 0 二 串联系统的频响 sn G 1 G 1 2 n 1 H 2 H n H 串联即表明 1 isi GG iisi GHG Q 1 GHGsn n i i HH 1 1 系统的环节越多 越不利于保真 所以应该认识到保持系统的简洁性 2 在串联系统中 任何一个瓶颈环节都会大大地恶化系统的特性 因此要保证各子系 统的频宽匹配 并不要为追求高价仪器而忽略匹配的问题 小结 小结 1 简单的系统中 H与输入输出没有关系 2 研究频谱特性时 由于系统在频域上存在内在的基本特性 并没有给出特定的初值 3 滤波特性就其本身来讲并无好坏 a 的选择与操作人对其问题认识的深度以及他个人 的总体素养有关 4 系统中各环节的匹配问题 0 t 1 t 0 t t 4 采样定理 4 采样定理 一 Dirac函数 1 定义 0 1 0 0 t tt t lim tt 0 0t 0t0 t 如果函数满足 t 的定义 且满足乘积条件 则此函数 称为Dirac函数 2 与一般函数的乘积 0t0tft dttfttft 0 0t lim 0 0 0 0 dttf 1 dttf 1 limlim cc 0 t00ftf 1 lim 0 t tft 0f 则 tft 的图像为 3 移位性质 TtTf Tt0 Tt T2tT2f T2t0 tfTt 则 T2tT2f TtTf T2tTt0 tfT2ttfTt nTtnTf nTt0 tfnTt n 二 冲激采样 进行采样时 要确定保持原始信号的基本特征或基本属性 要将离散信号与连续信号进 行比较是困难的 如果要做这项工作须将离散信号延拓到全实域一个连续的信号 若采样 LLLLT2fTf0fTfTf 若在每段都进行线性延拓 则有 t T iTfT1if iTff i ts 这样在每段都是一个线性函数 且在整个实域上此函数是延续的 但是用如下公式来构件的 Shannon n s tfnTttf 与线性构件相比 1 它的函数构件从表面上看没有线性构件好 2 但重要的是保留了的信息 而线性构件只是的局部信息 关键是 将离散的数据群采取了一种反常的方法 Dirac延拓算子来延拓成连续函数 进行建构 Shannon tf tf 三 采样定理 在对冲激采样进行傅氏变化时 n s tfnTttf nn nTttftfnTt 令 开关函数 且它是一个周期函数 n n nTttS 因此将展开成傅立叶函数 且为 tSn n tin n s e T 1 tS T 2 s 采样圆频率 为此系统的特征值 srad n tin s e 看似为一个复函数 但实际上复数部分通过求和后抵消了 n tin s s etf T 1 tf 令 ss GtfF n tni n titinw n tin dtetf T 1 dteetf T 1 etf T 1 F sss 令 ss n 则原式 nn ti G T 1 dtetf T 1 即 n ss nG T 1 G n 2 n 0 s nG n 1 图中 实际的情况就是n 0 的图 形 但通过建构后有了失真 且n 0 与n 1 之间有重叠 称其为套叠 为 了解决这个问题 我们需采取措施 满足 s Shannon取 max max 采样定理 离散采样过程中 采样频率应大于被测对象最大绝对值频率的两倍 构建 max max 0 G G s 其核心问题是解决套叠问题 这样就可以达到保真 的目的 5 线性非时变系统的稳定性 5 线性非时变系统的稳定性 一 两种典型函数的拉氏变换 1 Dirac函数 0 st 0 0 st 0 0 st dtetdtetdtettL limlim 1e 1 dte 1 c st 0 0 st 0 limlim 1t L 1t 1 L t 的谱称为白噪音 2 t e 是常数 s 1 dtedteeeL 0 ts 0 sttt 二 Nyquist定理 n210jatftfa dt tfd a dt tfd a js0 1n s 1n 1n n s n n LLLL 常数 令 假定系统处于零初值条件 sFtfLsFtfL ss 对上式两端进行拉氏变换后 sFsFasFsasFsa s0s 1n 1ns n n LL sFsFasasa s0 1n 1n n n LL sFsHsF s n210 1n 1n n n s sss 1 asasa 1 sH LLLL n 1j j j n n 2 2 1 1 s A s A s A s A LL sF s A sF n 1j j j s 令1sF 再进行反变换 若 n 1j t js j eAtf jjj i 则 n 1j tit js jj eeAtf 当 j 0 时 系统是不稳定的 定理 线性非实变系统稳定的条件是特征方程根的实部小于 0 或线性非实变系统稳定的条件是特征方程根位于s平面的左半叶 6 系统识别概述 6 系统识别概述 一 定义 系统识别可以归结为用一个模型去表示系统本质的一种运算 并且用这个模型把对系统 的理解表达成可用的形式 二 模式识别与参数识别 1 模式识别是去确定系统的演化结构在可表为数学方程的情况下 是去确定联系激励和 响应的方程类型 2 参数识别是在模式识别的基础上去确定包含在演化结构中的一切固有参数 判断系统的基本属性 稳定与不稳定 确定型与不确定型 线性的与非线性的 实变的与非实变的 原则上有损伤的系统一般为实变的 但是实变的系统一般可以分段地化为非实变系统 7 时域识别举例 7 时域识别举例 液体的力学本构特性 液体内部产生的内摩擦力与这一点 速度梯度间关系 dr du f 粘度计 i R 0 R 外筒受到激励作用转动 从而通过液体传递来带动内筒的 转动 当内筒转动时 扭丝施加一个反力矩 在一定角度时内 筒处于平衡作用 通过扭丝扭转的解放可以测出力矩 物理公式为 MRlR2 iii lR2 M 2 i i 而同时满足 i0 0 i0 0 i0 i0 Rr RR R RR 0R RR uu dr du i 我们可以得到 dr du M 转变转动速度 可以得到另一组数据 这样可以得到组数据nn21j dr du j L 将数据点汇于图 已知的液体本构公式 1 dr du 牛顿型本构 本构常数 2 n dr du 幂律型本构 本构常数 n 3 n 0 dr du 宾汉型本构 本构常数 n 0 由每个公式去拟合 1 dr du 为一直线 由 min n n 1j 2 j 2 dr du 为一指数曲线 来定 n 采用最小二乘法求 min 3 min 4 选择min 步骤 1 选择一个系统 2 选择一个模式子系统 在前人工作的基础上 3 在模式子系统中再选择一个最优的模式 系统识别三要素 1 建立有效的激励与响应 2 构造有限数量有效模式集合 3 确定选择模式与参数的基本原则 总结 总结 1 观察问题从多个方面出发 2 观察问题要有大局观 3 匹配的重要性 包括 实验系统与实验目标相匹配 在系统内部的各子系统要匹配 对实验结果的量化层次要与用户的层次水平相匹配 4 理论与实践密切相结合 5 事物的发展成螺旋形变化 没有哪个理论一直处于主要的地位 第五章 传感器对被测场的干扰 第五章 传感器对被测场的干扰 传感器的加入 由于它本身特性和它作为新的一个部件加入场 使场的特性发生了变化 使得场的测量 100 准确 肯定会带来失真 但是我们要找出引起干扰的因素 尽量减少失 真 1 LDV 技术 激光 多普勒 测速仪 1 LDV 技术 激光 多普勒 测速仪 LDV 可测流体 固体运动速度 激光 是单色光 汇聚光 基于受激辐射使其具有这两种特征 同时它是光波 也具有光波的属性 主要有波动性 c 氦氖激光 skm103c 5 s1106nm5514 14 用激光测量场的流速时 实际是测量到场中m 级粒子的运动规律 并非直接测量流体 若在实验室 测量中没有满足此精度的粒子 对空气可采用喷液雾 对流体可采用经过高精 度筛减的 汰白粉 放入流体中 2 co 光粒子接收器 散射体 用激光进行干扰 产生干涉现象 叠加的部分称 为散射体 目前最小的线性尺寸为 0 1mm 哈佛大学 实验室 最大的线性尺寸为 1 mm 按干涉理论 条纹间距为 sin2 K 321 ttt t 2 t时刻 12 2 tt u M M n t时刻 1nn n tt u 流速有三分量 此时采用多色激光测量 光量子接收器采用滤波技术 若流体中多粒子 进入散射体 则需采用波包技术 将其等价于单粒子所产生的效应 激光测流场对流场没有影响 其一它的功率很小 并且流体是流动的 所以它加入的能 量很小且被流体带走 但是用激光测量仍然有误差 其一激光测量并非直接测流体 实际上 是测量质点的运动规律 其二散射体并非就一点 它仍占有体积 所以测得的值实际上是此 体积内质点的平均值 2 散射粒子的动态响应 2 散射粒子的动态响应 一 粒子的运动状态 1 在每一时段里头 粒子所做的都是平行绕流 2 Re很小 可将其视为层流绕流 3 将粒子当作球体来研究 物理模型 粒子在平行流中推动小球流动 被绕流 tu 未被干扰的流场 tus 小球的速度 小球在平行流中被绕流的阻力 tutuD3F s 根据牛顿第二定律 dt tdu mmaF s 3 D 6 1 m tutuD3 dt tdu D 6 1 s s3 整理得 tutu dt tdu ss 其中 18 d 3 时间常数 越小越好 此时 dt tdus 可略掉 tutu s 二 时域分析 选择简单激励constutu 0 0t 时 0ss u0u 解得 t 00s0s euuutu 当时 00us t 0s e1utu 当 t时 0s u6320u 一般物理场中满足 mskg1081m10m10Dmkg10 5533 此时ms3090 三 频域分析 系统方程 tutu dt tdu ss 设 ss GtuFGtuF 对方程两边进行傅氏变换 G 1 G 1 iG ss G 1i 1 Gs i1 1 H 22 1 1 H 从 H可以看出 高频滤波被滤掉 3 尺度效应 3 尺度效应 一 LDV 的尺度效应 0 u a2 r r 实测值 ar ar ar ar 2 dxxu dxxu ru u是已知的 但我们并没有在宽度内用线性插值来 求 而是用加权平均来求 是因为过水断面上的流速 不均匀 高速端进入散射体的粒子数更多 而低速端 进入的粒子数更少 所以采用线性插值是不准确的 同时 这个速度并非 因此存在误差 所以 应 尽量减小尺度a的大小 即散射体的尺寸 a2 ru 二 体积效应 测某一点温度 dddWzyxTzyxT 第六章 数值试验概述 第六章 数值试验概述 1 系统仿真概述 1 系统仿真概述 一 定义 系统仿真是根据实际系统的物