湖北省襄阳市枣阳二中高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）1已知（3x1）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn（nn*），设（3x1）n展开式的二项式系数和为sn，tn=a1+a2+a3+an（nn*），sn与tn的大小关系是（）asntnbsntncn为奇数时，sntn，n为偶数时，sntndsn=tn2已知函数f（x）=xcosx，f（x）是f（x）的导数，同一坐标系中，f（x）和f（x）的大致图象是（）abcd3八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）a770种b1260种c4620种d2940种4已知f（x）=x36x2+9x+2，f（x）是f（x）的导数，f（x）和f（x）单调性相同的区间是（）a1，23，+）b1，2和3，+）c（，2d2，+）5“a，b，c，d四点不在同一平面内”是“a，b，c，d四点中任意三点不在同一直线上”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6某电视台娱乐节目中，需要在编号分别为1、2、3、4、5的五个礼品盒中，装四个不同礼品，只有一个礼品盒是空盒不同的装法有（）a5种b20种c24种d120种7已知命题p：若a=，则sina=；命题q：若sina=，则a=下面四个结论中正确的是（）apq是真命题bpq是真命题cp是真命题dq是假命题8已知函数f（x）=exex（e=2.71828）是自然对数的底数），f（x）的导数是（）a偶函数b奇函数c增函数d减函数9已知随机变量：b（10，0.04），随机变量的数学期望e（）=（）a0.2b0.4c2d410已知函数y=2x22x+1的导数为y，y=（）a2x2b4x+1c4x2d2x+1二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分）11如图，在长方体abcda1b1c1d1中，对角线b1d与平面a1bc1交于e点记四棱锥ea1b1c1d1的体积为v1，长方体abcda1b1c1d1的体积为v2，则的值是12在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：x2+y26x+5=0，点a，b在圆c上，且ab=2，则|+|的最大值是13一个正四面体木块如图所示，点p是棱va的中点，过点p将木块锯开，使截面平行于棱vb和ac，若木块的棱长为a，则截面面积为14如图ab为圆o的直径，点c在圆周上（异于a，b点）直线pa垂直于圆所在的平面，点m为线段pb的中点，有以下四个命题：（1）pa平面mob； （2）mo平面pac；（3）oc平面pab； （4）平面pac平面pbc，其中正确的命题是15若圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是16直线y=kx+3与圆（x1）2+（y+2）2=4相交于m，n两点，若，则实数k的取值范围是17直线（m+2）x（2m1）y（3m4）=0，恒过定点三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18如图，已知点a（1，）是离心率为的椭圆c： +=1（ab0）上的一点，斜率为的直线bd交椭圆c于b，d两点，且a、b、d三点互不重合（1）求椭圆c的方程；（2）求证：直线ab，ad的斜率之和为定值19已知三棱柱abcabc中，面bccb底面abc，bbac，底面abc是边长为2的等边三角形，aa=3，e，f分别在棱aa，cc上，且ae=cf=2（）求证：bb底面abc；（）在棱ab上找一点m，使得cm面bef，并给出证明20在某大学自主招生考试中，所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为a，b，c，d，e五个等级某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为b的考生有10人（）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为a的人数；（）若等级a，b，c，d，e分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为a在至少一科成绩为a的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为a的概率21已知函数，（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在abc中，三内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点成等差数列，且，求a的值22已知函数 f（x）=ax+（1a）lnx+（ar）（i）当a=0时，求 f（x）的极值；（）当a0时，求 f（x）的单调区间；（）方程 f（x）=0的根的个数能否达到3，若能请求出此时a的范围，若不能，请说明理由2015-2016学年湖北省襄阳市枣阳二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）1已知（3x1）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn（nn*），设（3x1）n展开式的二项式系数和为sn，tn=a1+a2+a3+an（nn*），sn与tn的大小关系是（）asntnbsntncn为奇数时，sntn，n为偶数时，sntndsn=tn【考点】二项式系数的性质【专题】二项式定理【分析】由题意可得sn=2n，令x=0，可得a0=1再令x=1可得a0+a1+a2+a3+a6=1，从而求得tn=a1+a2+a3+an，比较大小即可【解答】解：（3x1）n展开式的二项式系数和为sn=2n，令x=1，tn=a1+a2+a3+an（1）n=2n（1）n，（nn*），所以n为奇数时，sntn，n为偶数时，sntn；故选：c【点评】本题主要考查二项式定理的应用，关于系数问题常常采用变量赋值的方法，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入2已知函数f（x）=xcosx，f（x）是f（x）的导数，同一坐标系中，f（x）和f（x）的大致图象是（）abcd【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】先求导，取当x=0时，f（0）=0，f（0）=1，排除b，d，再根据导数和函数单调性的关系排除a【解答】解：由于f（x）=xcosx，f（x）=cosxxsinx，当x=0时，f（0）=0，f（0）=1，排除b，d，当f（x）0时，f（x）是增函数，曲线是上升的，f（x）0时，f（x）是减函数，曲线是下降的，判断出c是正确的，排除a，故选：c【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系以及函数的图象的识别，属于基础题3八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）a770种b1260种c4620种d2940种【考点】计数原理的应用【专题】排列组合【分析】先分组，求出分组的种数，注意平均分组和不平均分组，再分配，根据分步计数原理可得【解答】解：第一步分步：由题意把8人分为以下三组（1，3，4），（2，2，4），（2，3，3），分组的种数为c81c73+=280+210+280=770种，第二步，分配，每一种分法都有a33=6种，根据分步计数原理，共有7706=4620种，故选：c【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查了分组分配的问题，关键是分组是平均分组还是不平均分组，属于中档题4已知f（x）=x36x2+9x+2，f（x）是f（x）的导数，f（x）和f（x）单调性相同的区间是（）a1，23，+）b1，2和3，+）c（，2d2，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【专题】导数的概念及应用【分析】分别求出函数f（x）和函数f（x）的导数，从而求出其相同的单调区间【解答】解：f（x）=x36x2+9x+2，f（x）=3x212x+9=3（x3）（x1），令f（x）0，解得：x3或x1，令f（x）0，解得：1x3，函数f（x）在（，1），（3，+）递增，在（1，3）递减，而f（x）=6x12，令f（x）0，解得：x2，函数f（x）在（，2）递减，在（2，+）递增，函数f（x）和函数f（x）同在1，2递减，在3，+）递增，故选：b【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题5“a，b，c，d四点不在同一平面内”是“a，b，c，d四点中任意三点不在同一直线上”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合空间四点位置之间的关系进行判断即可【解答】解：空间四点若不在同一平面内，则其中任意三点肯定不在同一直线上，否则空间四点若不在同一平面内，即充分性成立，若abcd是平面四边形，满足a，b，c，d四点中任意三点不在同一直线上，则a，b，c，d四点在同一平面内，即必要性不成立故“a，b，c，d四点不在同一平面内”是“a，b，c，d四点中任意三点不在同一直线上”的充分不必要条件，故选：a【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间点与平面的位置关系是解决本题的关键6某电视台娱乐节目中，需要在编号分别为1、2、3、4、5的五个礼品盒中，装四个不同礼品，只有一个礼品盒是空盒不同的装法有（）a5种b20种c24种d120种【考点】计数原理的应用【专题】排列组合【分析】先选取一个空盒，然后把四个不同礼品分别装在4个不同的盒子里（即全排列），根据分步计数原理可得【解答】解：先选取一个空盒，然后把四个不同礼品分别装在4个不同的盒子里，故有c51a44=120种，故选：d【点评】本题考查排列组合及简单的计数问题，本题解题的关键先选取一个空盒，属于基础题7已知命题p：若a=，则sina=；命题q：若sina=，则a=下面四个结论中正确的是（）apq是真命题bpq是真命题cp是真命题dq是假命题【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】容易判断出p是真命题，q是假命题，然后根据pq，pq，p，q的真假和p，q真假的关系即可找出正确选项【解答】解：a=，则sina=正确；而sina=，a不一定等于；命题p是真命题，q是假命题；pq是真命题故选：b【点评】考查已知三角函数值求角，真命题、假命题的概念，以及pq，pq，p的真假和p，q真假的关系8已知函数f（x）=exex（e=2.71828）是自然对数的底数），f（x）的导数是（）a偶函数b奇函数c增函数d减函数【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】利用ex的导数是其本身，结合导数的运算解答【解答】解：由已知f（x）=g（x）=（exex）=ex+ex；而g（x）=f（x）=ex+ex=g（x）；所以f（x）的导数是偶函数；故选：a【点评】本题考查了函数求导以及奇偶性的判断；熟记（ex）=ex9已知随机变量：b（10，0.04），随机变量的数学期望e（）=（）a0.2b0.4c2d4【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【专题】计算题；概率与统计【分析】根据随机变量服从二项分布b（10，0.04）和求服从二项分布的变量的期望值公式，代入公式得到结果【解答】解：随机变量服从二项分布b（10，0.04），其期望e=np=100.04=20.4，故选：b【点评】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，本题解题的关键是看出变量符合二项分布，这样题目的解题过程要简单的多10已知函数y=2x22x+1的导数为y，y=（）a2x2b4x+1c4x2d2x+1【考点】导数的运算【专题】导数的概念及应用【分析】利用初等函数的求导公式以及求导法则解答【解答】解：由函数y=2x22x+1，得到y=（2x22x+1）=4x2；故选：c【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式以及求导法则的运用；关键是熟练掌握求导公式和法则；属于基础题二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分）11如图，在长方体abcda1b1c1d1中，对角线b1d与平面a1bc1交于e点记四棱锥ea1b1c1d1的体积为v1，长方体abcda1b1c1d1的体积为v2，则的值是【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何【分析】连接b1d1a1c1=f，证明以e是a1bc1的重心，那么点e到平面a1b1c1d1的距离是bb1的，利用体积公式，即可得出结论【解答】解：连接b1d1a1c1=f，平面a1bc1平面bdd1b1=bf，因为e平面a1bc1，e平面bdd1b1，所以ebf，连接bd，因为f是a1c1的中点，所以bf是中线，又根据b1f平行且等于bd，所以=，所以e是a1bc1的重心，那么点e到平面a1b1c1d1的距离是bb1的，所以v1=bb1，而v2=bb1，所以=故答案为：【点评】本题考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12在平面直角坐标系xoy中，已知圆c：x2+y26x+5=0，点a，b在圆c上，且ab=2，则|+|的最大值是8【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】本题可利用ab中点m去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据ab=2得到m点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最大值，得到本题答案【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），ab中点m（x，y）=，圆c：x2+y26x+5=0，（x3）2+y2=4，圆心c（3，0），半径ca=2点a，b在圆c上，ab=2，即cm=1点m在以c为圆心，半径r=1的圆上omoc+r=3+1=4，故答案为：8【点评】本题考查了数形结合思想和函数方程的思想，可利用ab中点m去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据ab=2得到m点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最大值，得到本题答案13一个正四面体木块如图所示，点p是棱va的中点，过点p将木块锯开，使截面平行于棱vb和ac，若木块的棱长为a，则截面面积为【考点】直线与平面平行的性质【专题】计算题；对应思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】利用线面平行的判定定理可得四边形pdef为所求的截面，易知四边形pdef为边长为a的正方形，问题得以解决【解答】解：在平面vac内作直线pdac，交vc于d，在平面vba内作直线pfvb，交ab于f，过点d作直线deac，交bc于e，pfde，p，d，e，f四点共面，且面pdef与vb和ac度平行，则四边形pdef为边长为a的正方形，故其面积为故答案为：【点评】本题主要考查线面平行的判定和实际应用，关键之作出截面，属于基础题14如图ab为圆o的直径，点c在圆周上（异于a，b点）直线pa垂直于圆所在的平面，点m为线段pb的中点，有以下四个命题：（1）pa平面mob； （2）mo平面pac；（3）oc平面pab； （4）平面pac平面pbc，其中正确的命题是（2）（4）【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定【专题】计算题；证明题【分析】利用直线与平面是否在平面内，判断（1）的正误；利用直线与平面的平行证明mo平面pac；判断它的正误即可；利用直线oc是否垂直平面内的两条相交直线，即可判断（3）的正误；利用平面与平面垂直的判定定理判断（4）的正误；【解答】解：由题意可知pa平面abc，点m为线段pb的中点，o是圆的圆心，所以mo平面abc，paom，所以pa与mo共面，（1）不正确；又paom，om平面pac，pa平面pac，mo平面pac；（2）正确；因为ab为圆o的直径，点c在圆周上（异于a，b点），所以oc不垂直ac，所以oc平面pab；不正确；因为ab为圆o的直径，点c在圆周上（异于a，b点），所以bcac，直线pa垂直于圆所在的平面，bcpa，可知bc平面pac，bc平面pbc，所以平面pac平面pbc，（4）正确故答案为：（2）（4）【点评】本题考查直线与直线的平行，直线与平面的平行与垂直的证明，考查基本知识的应用，空间想象能力，逻辑推理能力15若圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（x2）2+（y1）2=1【考点】圆的标准方程；圆的切线方程【专题】计算题【分析】依据条件确定圆心纵坐标为1，又已知半径是1，通过与直线4x3y=0相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程【解答】解：圆c的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y=0和x轴都相切，半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标（a，1），则1=，又 a0，a=2，该圆的标准方程是 （x2）2+（y1）2=1；故答案为（x2）2+（y1）2=1【点评】本题考查利用圆的切线方程求参数，圆的标准方程求法16直线y=kx+3与圆（x1）2+（y+2）2=4相交于m，n两点，若，则实数k的取值范围是【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离d1，利用点到直线的距离公式即可求解斜率k的范围【解答】解：由弦长公式得，圆心到直线的距离d1即d=1，10k+240k故答案为：【点评】本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用17直线（m+2）x（2m1）y（3m4）=0，恒过定点（1，2）【考点】过两条直线交点的直线系方程【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】直线（m+2）x（2m1）y（3m4）=0化为m（x2y3）+（2x+y+4）=0，令，解得即可【解答】解：直线（m+2）x（2m1）y（3m4）=0化为m（x2y3）+（2x+y+4）=0，令，解得x=1，y=2直线恒过定点（1，2）故答案为：（1，2）【点评】本题考查了直线系的应用，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18如图，已知点a（1，）是离心率为的椭圆c： +=1（ab0）上的一点，斜率为的直线bd交椭圆c于b，d两点，且a、b、d三点互不重合（1）求椭圆c的方程；（2）求证：直线ab，ad的斜率之和为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）根据点a（1，）是离心率为的椭圆c上的一点，建立方程，即可求椭圆c的方程；（）设直线bd的方程为y=x+m，代入椭圆方程，设d（x1，y1），b（x2，y2），直线ab、ad的斜率分别为：kab、kad，则kad+kab=，由此能导出即kad+kab=0【解答】解：（1）由题意，可得e=，代入a（1，）得，又a2=b2+c2，（2分）解得a=2，b=c=，所以椭圆c的方程（5分）（2）证明：设直线bd的方程为y=x+m，又a、b、d三点不重合，m0，设d（x1，y1），b（x2，y2），则由得4x2+2mx+m24=0所以=8m2+640，所以2m2x1+x2=m，x1x2=（8分）设直线ab、ad的斜率分别为：kab、kad，则kad+kab=2+m=2+m=22=0 （*） 所以kad+kab=0，即直线ab，ad的斜率之和为定值（12分）【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化19已知三棱柱abcabc中，面bccb底面abc，bbac，底面abc是边长为2的等边三角形，aa=3，e，f分别在棱aa，cc上，且ae=cf=2（）求证：bb底面abc；（）在棱ab上找一点m，使得cm面bef，并给出证明【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（）取bc中点o，先证aobc，再由面面垂直的性质定理证得ao面bccb，再由线面垂直的判定定理即可得证；（） 显然m不是a，b，当m为ab的中点，使得cm面bef，可通过线面平行的判断定理，即可证得【解答】（）证明：取bc中点o，因为三角形abc是等边三角形，所以aobc，又因为面bccb底面abc，ao面abc，面bccb面abc=bc，所以ao面bccb，又bb面bccb，所以aobb又bbac，aoac=a，ao面abc，ac面abc，所以bb底面abc（） 显然m不是a，b，当m为ab的中点，使得cm面bef证明：过m作mnaa交be于n，则n为中点，则mn=（ae+bb）=2，则mn=cf，mncf，所以四边形cmnf为平行四边形，所以cmfn，cm平面bef，nf平面bef，所以cm面bef【点评】本题考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的性质定理，考查逻辑推理能力，属于中档题20在某大学自主招生考试中，所有选报类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为a，b，c，d，e五个等级某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为b的考生有10人（）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为a的人数；（）若等级a，b，c，d，e分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为a在至少一科成绩为a的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为a的概率【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为b的考生人数，结合样本容量=频数频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为a的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为a的人数（）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分（）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为a的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为a的概率【解答】解：（）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为b的考生有10人，所以该考场有100.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为a的人数为：40（10.3750.3750.150.025）=400.075=3人；（）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：1（400.2）+2（400.1）+3（400.375）+4（400.25）+5（400.075）=2.9；（）因为两科考试中，共有6人得分等级为a，又恰有两人的两科成绩等级均为a，所以还有2人只有一个科目得分为a，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是a的同学，则在至少一科成绩等级为a的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：=甲，乙，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁，一共有6个基本事件设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为a”为事件b，所以事件b中包含的基本事件有1个，则p（b）=【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容21已知函数，（1）求函数f（x）的周期及单调递增区间；（2）在abc中，三内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知函数f（x）的图象经过点成等差数列，且，求a的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过周期公式求函数f（x）的周期，利用正弦函数的