湖北省襄阳市枣阳高中高二数学下学期期末试卷 文（含解析）.doc

湖北省襄阳市枣阳高中2014-2015 学年高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1如图，已知双曲线c：=1（a0，b0）的右顶点为a，o为坐标原点，以a为圆心的圆与双曲线c的某渐近线交于两点p、q，若paq=60且=3，则双曲线c的离心率为（）a b c d 2已知条件p：x240，条件q：0，则p是q的（）a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既非充分也非必要条件3曲线y=x2在点m（）的切线的倾斜角的大小是（）a 30b 45c 60d 904有如下四个结论：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直；“x0”是“x1”的必要条件；命题“xr，x2x+10”的否定是“xr，x2x+10”其中正确结论的个数为（）a 4b 3c 2d 15如果命题“（pq）”是真命题，则（）a 命题p、q均为假命题b 命题p、q均为真命题c 命题p、q中至少有一个是真命题d 命题p、q中至多有一个是真命题6若函数y=x2+（2a1）x+1在区间（，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）a ，+）b （，c ，+）d （，7已知p：xk，q：1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）a 2，+）b （2，+）c 1，+）d （，1）8命题“所有能被5整除的数都是偶数”否定形式是（）a 所有不能被5整除的数都是偶数b 所有能被5整除的数都不是偶数c 存在一个不能被5整除的数都是偶数d 存在一个能被5整除的数不是偶数9以椭圆+=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）a =1b =1c y2=1d y2=110如图，设抛物线y2=4x的焦点为f，不经过焦点的直线上有三个不同的点a，b，c，其中点a，b在抛物线上，点c在y轴上，则bcf与acf的面积之比是（）a b c d 二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11“p：xx|x2x20”，“q：xx|xa”，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是12已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为13做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为14过抛物线y2=4x焦点的直线l的倾斜角为，且l与抛物线相交于a、b两点，o为原点，那么aob的面积为15椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，若椭圆上存在点p使线段pf1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段pf1的中点，则该椭圆的离心率为三、解答题（75分）16已知椭圆c：+=1（ab0）的左右焦点为f1、f2，离心率为e直线l：y=ex+a与x轴y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点f1关于直线l的对称点，设=（）证明：=1e2；（）确定的值，使得pf1f2是等腰三角形17已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，f是椭圆的焦点，点a（0，2），直线af的斜率为，o为坐标原点（1）求椭圆c的方程；（2）设过点a的直线与c相交于p、q两点，当opq的面积最大时，求l的方程18已知f1，f2分别为椭圆的上、下焦点，f1是抛物线c1：x2=4y的焦点，点m是c1与c2在第二象限的交点，且|mf1|=（1）求椭圆c1的方程；（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t），kt0交椭圆c1于a，b，若椭圆c1上一点p满足+=，求实数的取值范围19已知椭圆c1：+x2=1（a1）与抛物线c：x2=4y有相同焦点f1（）求椭圆c1的标准方程；（）已知直线l1过椭圆c1的另一焦点f2，且与抛物线c2相切于第一象限的点a，设平行l1的直线l交椭圆c1于b，c两点，当obc面积最大时，求直线l的方程20已知f1、f2分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线c是坐标原点为顶点，以f2为焦点的抛物线，过点f1的直线l交曲线c于x轴上方两个不同点p、q，点p关于x轴的对称点为m，设=（）若2，4，求直线l的斜率k的取值范围；（）求证：直线mq过定点21已知函数f（x）=+ax，x1（）若f（x）在（1，+）上单调递减，求实数a的取值范围；（）若a=2，求函数f（x）的极小值；（）若存在实数a使f（x）在区间（）（nn*，且n1）上有两个不同的极值点，求n的最小值湖北省襄阳市枣阳高中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1如图，已知双曲线c：=1（a0，b0）的右顶点为a，o为坐标原点，以a为圆心的圆与双曲线c的某渐近线交于两点p、q，若paq=60且=3，则双曲线c的离心率为（）a b c d 考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定qap为等边三角形，设aq=2r，则op=r，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论解答：解：因为paq=60且=3，所以qap为等边三角形，设aq=2r，则op=r，渐近线方程为y=x，a（a，0），取pq的中点m，则am=由勾股定理可得（2r）2r2=（）2，所以（ab）2=3r2（a2+b2）在oqa中，=，所以7r2=a2结合c2=a2+b2，可得=故选：b点评：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题2已知条件p：x240，条件q：0，则p是q的（）a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：求出满足条件p的x的范围，和满足条件q的x的范围，判断两个范围的包含关系，进而可用集合法判断出p与q的充要关系解答：解：条件p：x240，条件p：x240，即x（，2）（2，+）；条件q：0，即x（，2（2，+）；且（，2）（2，+）（，2（2，+）；故p是q的充分不必要条件，故选：a点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系3曲线y=x2在点m（）的切线的倾斜角的大小是（）a 30b 45c 60d 90考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角专题：计算题分析：欲判别切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决解答：解：y=2x当x=时，y=1，得切线的斜率为1，所以k=；1=tan，=450，故选b点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题4有如下四个结论：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直；“x0”是“x1”的必要条件；命题“xr，x2x+10”的否定是“xr，x2x+10”其中正确结论的个数为（）a 4b 3c 2d 1考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：利用两个平面内的两条直线的位置关系可判断；利用面面垂直的判定定理可判断；利用充分条件与必要条件的概念可判断；利用全称命题与特称命题的关系可判断解答：解：分别在两个平面内的两条直线可能平行，也可能相交、异面，故错误；过平面外斜线上一点p作po，则斜线与po确定的平面，故过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直，正确；“x0”不能“x1”，充分性不成立，反之“x1”是“x0”，即必要性成立，故正确；命题“xr，x2x+10”的否定是“xr，x2x+10”，故错误；综上所述，其中正确结论的个数为2个故选：c点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查充分条件与必要条件的概念、全称命题与特称命题的关系及空间直线与平面的位置关系，属于中档题5如果命题“（pq）”是真命题，则（）a 命题p、q均为假命题b 命题p、q均为真命题c 命题p、q中至少有一个是真命题d 命题p、q中至多有一个是真命题考点：复合命题的真假专题：计算题分析：可知pq是假命题，由复合命题的真假可知：命题p，q中至少有一个是假命题，进而可得答案解答：解：由题意可知：“（pq）”是真命题，pq是假命题，由复合命题的真假可知：命题p，q中至少有一个是假命题，即命题p，q中至多有一个是真命题，故选d点评：本题考查复合命题的真假，属基础题6若函数y=x2+（2a1）x+1在区间（，2上是减函数，则实数a的取值范围是（）a ，+）b （，c ，+）d （，考点：函数单调性的性质专题：计算题分析：由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y=x2+（2a1）x+1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案解答：解：函数y=x2+（2a1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=为对称轴的抛物线又函数在区间（，2上是减函数，故2解得a故选b点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键7已知p：xk，q：1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）a 2，+）b （2，+）c 1，+）d （，1）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答：解：1，1=0，即（x2）（x+1）0，x2或x1，p是q的充分不必要条件，k2，故选：b点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础8命题“所有能被5整除的数都是偶数”否定形式是（）a 所有不能被5整除的数都是偶数b 所有能被5整除的数都不是偶数c 存在一个不能被5整除的数都是偶数d 存在一个能被5整除的数不是偶数考点：命题的否定；全称命题专题：阅读型分析：本题中所给的命题是一个全称命题，书写其否定要注意它的格式的变化，即量词的变化，写出它的否定命题，再对比四个选项得出正确选项解答：解：全称命题“所有被5整除的整数都是偶数”全称命题“所有被5整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个被5整除的整数不是偶数”，对比四个选项知，d选项是正确的故选d点评：本题考查命题的否定，解答本题关键是正解全称命题的否定命题的书写格式，结论要否定，还要把全称量词变为存在量词9以椭圆+=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）a =1b =1c y2=1d y2=1考点：椭圆的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定椭圆的焦点、顶点坐标，可得双曲线的顶点、焦点坐标，即可求出双曲线的方程解答：解：椭+=1的焦点坐标为（，0），两个顶点为（2，0），双曲线的顶点为（，0），焦点坐标为（2，0），双曲线的方程为=1故选：a点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础10如图，设抛物线y2=4x的焦点为f，不经过焦点的直线上有三个不同的点a，b，c，其中点a，b在抛物线上，点c在y轴上，则bcf与acf的面积之比是（）a b c d 考点：直线与圆锥曲线的关系专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可解答：解：如图所示，抛物线的准线de的方程为x=1，过a，b分别作aede于e，交y轴于n，bdde于e，交y轴于m，由抛物线的定义知bf=bd，af=ae，则|bm|=|bd|1=|bf|1，|an|=|ae|1=|af|1，则=，故选：a点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11“p：xx|x2x20”，“q：xx|xa”，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是a2考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：求出p的等价条件，利用充分不必要条件的定义建立，建立条件关系即可求实数a的取值范围解答：解：由x2x20得x2或x1，即p：x2或x1，p：1x2若p是q的充分不必要条件，则x|1x2x|xa，即a2，故答案为：a2点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查学生的推理能力利用不等式的性质是解决本题的关键12已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为2考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点、准线的方程，再根据数量关系即可列出方程，解出即可解答：解：双曲线=1（a0，b0）的左顶点（a，0）与抛物线y2=2px（p0）的焦点f的距离为4，；又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），渐近线的方程应是，而抛物线的准线方程为，因此，联立得，解得，=2故双曲线的焦距为故答案为点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键13做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为3考点：函数最值的应用专题：应用题分析：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，r2h=27，即，要使用料最省即求全面积的最小值，而s全面积=r2+2rh=（法一）令s=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径（法二）：s全面积=r2+2rh=，利用基本不等式可求用料最小时的r解答：解：设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，r2h=27s全面积=r2+2rh=（法一）令s=f（r），（r0）=令f（r）0可得r3，令f（r）0可得0r3f（r）在（0，3）单调递减，在3，+）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值（法二）：s全面积=r2+2rh=27当且仅当即r=3时取等号当半径为3时，s最小即用料最省故答案为：3点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决14过抛物线y2=4x焦点的直线l的倾斜角为，且l与抛物线相交于a、b两点，o为原点，那么aob的面积为考点：抛物线的应用专题：计算题分析：saob=，其中d为l到ab的距离，或者把aob分成ofa与ofb，设a（x1，y1），b（x2，y2），则saob=of|y1y2|解答：解：抛物线y2=4x焦点f（1，0），l的方程为y=tan（x1），即y=（x1），与抛物线方程y2=4x联立消去x得y2y4=0，得y24=0，则saob=sofa+sofb=of|y1y2|=of=1=故答案为：点评：本题三角形借助于抛物线这一特殊背景出现，因此若考虑到抛物线的定义，便会得出如上的解答过程当然用saob=，其中d为l到ab的距离也完全可以15椭圆=1（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，若椭圆上存在点p使线段pf1与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段pf1的中点，则该椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设线段pf1的中点为m，另一个焦点f2，利用om是f1pf2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形omf1的三边之长，使用勾股定理求离心率解答：解：设线段pf1的中点为m，另一个焦点f2，由题意知，om=b，又om是f1pf2的中位线，om=pf2=b，pf2=2b，由椭圆的定义知 pf1=2apf2=2a2b，又 mf1=pf1=（2a2b）=ab，又of1=c，直角三角形omf1中，由勾股定理得：（ab）2+b2=c2，又a2b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2c2），由此可求得离心率 e=，故答案为：点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题三、解答题（75分）16已知椭圆c：+=1（ab0）的左右焦点为f1、f2，离心率为e直线l：y=ex+a与x轴y轴分别交于点a、b，m是直线l与椭圆c的一个公共点，p是点f1关于直线l的对称点，设=（）证明：=1e2；（）确定的值，使得pf1f2是等腰三角形考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：证明题；综合题分析：（）因为a、b分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以a、b的坐标分别是（，0）（0，a）由题设知点m的坐标是（c，）由=得（c+，）=（，a）从而解得=1e2（）因为pf1l，所以pf1f2=90+baf1为钝角，要使pf1f2为等腰三角形，必有|pf1|=c由题设知当=时，pf1f2为等腰三角形解答：解：（）因为a、b分别是直线l：y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以a、b的坐标分别是（，0）（0，a）由得这里c=所以点m的坐标是（c，）由=得（c+，）=（，a）即解得=1e2（）因为pf1l，所以pf1f2=90+baf1为钝角，要使pf1f2为等腰三角形，必有|pf1|=|f1f2|，即|pf1|=c设点f1到l的距离为d，由|pf1|d=c，得=e所以e2=，于是=1e2=即当=时，pf1f2为等腰三角形点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细求解，合理地运用公式17已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，f是椭圆的焦点，点a（0，2），直线af的斜率为，o为坐标原点（1）求椭圆c的方程；（2）设过点a的直线与c相交于p、q两点，当opq的面积最大时，求l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆的离心率以及直线的斜率，求出椭圆的几何量，然后求椭圆c的方程；（2）由设直线的斜率为k，方程为y=kx2，联立直线与椭圆方程，通过=16（4k23）0，求出k的范围，设p（x1，y1），q（x2，y2），利用韦达定理，求出|pq|，坐标原点o到直线的距离，得到sopq的表达式，利用换元法以及基本不等式，通过面积的最大值，求出k的值，得到直线方程解答：解：（1）设f（c，0），由题意kaf=，c=，又离心率=，a=2，b=1，椭圆c的方程为；（4分）（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k，方程为y=kx2，联立直线与椭圆方程：，化简得：（1+4k2）x216kx+12=0，由=16（4k23）0，k2，设p（x1，y1），q（x2，y2），则 x1+x2=，x1x2=，（6分）|pq|=，坐标原点o到直线的距离为d=，sopq=，（8分）令t=（t0），则 sopq=，t+，当且仅当t=，即t=2时等号成立，sopq1，故当t=2，即，k2=，k=时，opq的面积最大，（10分）此时直线的方程为：y=x2（12分）点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力18已知f1，f2分别为椭圆的上、下焦点，f1是抛物线c1：x2=4y的焦点，点m是c1与c2在第二象限的交点，且|mf1|=（1）求椭圆c1的方程；（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t），kt0交椭圆c1于a，b，若椭圆c1上一点p满足+=，求实数的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用抛物线的方程和定义即可求出点m的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k=，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点p满足+=，可得到2的表达式，进而求出实数的取值范围解答：解：（）由题知f1（0，1），所以a2b2=1，又由抛物线定义可知mf1=ym+1=，得ym=，于是易知m（，），从而mf1=，由椭圆定义知2a=mf1+mf2=4，得a=2，故b2=3，从而椭圆的方程为+=1； （）设a（x1，y1），b（x2，y2），p（x0，y0），则由+=知，x1+x2=x0，y1+y2=y0，且+=1，又直线l：y=k（x+t），kt0与圆x2+（y+1）2=1相切，所以有=1，由k0，可得k=（t1，t0）又联立消去y得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t212=0，且0恒成立，且x1+x2=，x1x2=，所以y1+y2=k（x1+x2）+2kt=，所以得p（，），代入式得+=1，所以2=，又将式代入得，2=，t0，t1，易知（）2+11，且（）2+13，所以2（0，）（，4），所以的取值范围为|22且0，且点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系是解题的关键本题需要较强的计算能力，注意分类讨论的思想方法应用19已知椭圆c1：+x2=1（a1）与抛物线c：x2=4y有相同焦点f1（）求椭圆c1的标准方程；（）已知直线l1过椭圆c1的另一焦点f2，且与抛物线c2相切于第一象限的点a，设平行l1的直线l交椭圆c1于b，c两点，当obc面积最大时，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）求出抛物线的f1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程（）f2（0，1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程解答：解：（）抛物线x2=4y的焦点为f1（0，1），c=1，又b2=1，椭圆方程为：+x2=1 （4分）（）f2（0，1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx1由消去y并化简得x24kx+4=0直线l1与抛物线c2相切于点a=（4k）244=0，得k=1（5分）切点a在第一象限k=1（6分）ll1设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m22=0，（7分）=（2m）212（m22）0，解得设b（x1，y1），c（x2，y2），则，（8分）又直线l交y轴于d（0，m）（10分）=当，即时，（11分）所以，所求直线l的方程为（12分）点评：本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想20已知f1、f2分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线c是坐标原点为顶点，以f2为焦点的抛物线，过点f1的直线l交曲线c于x轴上方两个不同点p、q，点p关于x轴的对称点为m，设=（）若2，4，求直线l的斜率k的取值范围；（）求证：直线mq过定点考点：三点共线；圆锥曲线的综合专题：计算题分析：（i）求出曲线c的方程，把pq的方程 x=my1 （m0）代入曲线c的方程 化简可得 y24my+4=0，利用根与系数的关系 及 =，可得 =+2=4m2，据2，