【优化设计】2015-2016学年高中数学必修五学案第二章数列第二章复习（1）（数理化网）.docx

专题复习数列掌握数列的概念及数列的通项公式;掌握等差数列、等比数列的基本概念及性质,掌握等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式.掌握特殊数列的求和方法,如:倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.利用数列中an与Sn之间的关系,求通项公式及解决其他数列问题.利用数列的递推关系,求通项公式,结合前n项和公式,解决数列的应用题.利用方程的思想、根据公式列方程(组),解决等差数列、等比数列中的“知三求二”问题;利用函数的思想,根据函数的图象、单调性、值域等解决数列中项的最值及数列的前n项和Sn的最值问题;利用等价转化的思想把非等差数列、等比数列问题转化为等差数列、等比数列问题来解决;利用分类讨论的思想解决等比数列的公比q是否为1等问题.一、回顾本章所学知识和方法形成知识结构本章知识结构:二、通过再现题组和巩固题组进一步掌握本章所学知识和方法(一)再现题组1.已知an是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10等于()A.64B.100C.110D.1202.设an是公比为正数的等比数列,若a1=1,a5=16,则数列an的前7项的和为()A.63B.64C.127D.1283.数列1,3,5,7,的通项公式是.【变式与拓展】已知数列的前几项求通项.(1)2,5,10,17,26;(2)1,-1,1,-1,1;(3)3,33,333,3333.4.已知数列an满足a1=1,an=1an-1+1(n2),则a5=.5.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=3n2+n,则数列的通项公式an=.6.已知an=-n2+25n(nN*),则数列an的最大项是.回顾:1.数列的概念和通项公式.2.等差数列(1)定义:an+1-an=d(nN*)或an-an-1=d(n2,nN*).(2)通项公式:an=a1+(n-1)d,an=dn+(a1-d),an=pn+q,an=am+(n-m)d.(3)前n项和公式:Sn=n(a1+an)2,Sn=na1+n(n-1)2d,Sn=d2n2+a1-d2n,Sn=An2+Bn.(4)重要性质:等差数列an中,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq,数列an中,2an=an-1+an+1(n2,nN*)an是等差数列.若a,A,b成等差数列,则称A为a与b的等差中项,且2A=a+b,A有唯一值.等差数列an中,公差为d,则对任意的kN*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成等差数列,公差为k2d.3.等比数列(1)定义:an+1an=q(nN*)或anan-1=q(n2,nN*)(q0).(2)通项公式:an=a1qn-1,an=amqn-m,an=aqn(a,q0).(3)前n项和公式:Sn=na1(q=1).a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q=Aqn-A(q1).(4)重要性质:等比数列an中,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq,特别地,若m+n=2p,则aman=ap2.数列an中,an0,nN*,an2=an-1an+1(n2,nN*)an是等比数列.若a,A,b成等比数列,则称A为a与b的等比中项,且A2=ab(ab0),A=ab.等比数列an中,公比为q,Sn0,则对任意的kN*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,构成等比数列,公比为qk.4.Sn与an的关系.(二)巩固题组【例1】已知数列an中,a1=1,an+1-an=n,求通项公式an.【例2】设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1;(2)求d的取值范围.【例3】设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,求S5.【例4】已知an是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列2an的前n项和Sn.【例5】已知an为等差数列,且a3=-6,a6=0.(1)求an的通项公式;(2)若等比数列bn满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求bn的前n项和Sn.三、反思小结,观点提炼1.等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.2.熟练运用性质解决问题.3.产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题,求利率、增长率等问题常归结为数列建模问题.4.将实际问题转化为数列问题时应注意:(1)分清是等差数列还是等比数列;(2)分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n.5.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透. 四、通过提高型题组来进一步提高学生解决数列综合问题的能力提高型题组1.数列an是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项为正,从第7项开始变负,回答下列问题:(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn是正数时,求n的最大值.2.设数列an的前n项和为Sn.已知首项a1=3,且Sn+1+Sn=2an+1,试求此数列的通项公式an及前n项和Sn.3.已知数列an的前n项和Sn=13n(n+1)(n+2),试求数列1an的前n项和.五、通过反馈型题组让学生自主训练,进一步掌握所学知识,形成能力反馈型题组1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2=1,a3=3,则S4等于()A.12B.10C.8D.62.设数列xn满足log2xn+1=1+log2xn,且x1+x2+x3+x10=10,则x11+x12+x13+x20的值为()A.10211B.10210C.11211D.112103.已知an为等比数列,Sn是其前n项和.若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为54,则S5等于()A.35B.33C.31D.294.设an是任意等比数列,它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)5.已知数列an是公差为d的等差数列,Sn是其前n项和,且有S9S8=S7,则下列说法不正确的是()A.S9S10B.d0C.S7与S8均为Sn的最大值D.a8=06.将正偶数分为数组:(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),则第n组各数的和是.(用含n的式子表示)7.已知数列an满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,nN*,则a2009=;a2014=.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(10,a10)的直线的斜率为.9.数列an的通项an=(n+1)1011n(nN*).试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.10.已知数列an中,前n项和为Sn,a1=5,且Sn+1=Sn+2an+2n+2(nN*).(1)求a2,a3的值;(2)设bn=an+2n,若实数使得数列bn为等差数列,求的值;(3)在(2)的条件下,设数列1bnbn+1的前n项和为Tn,求证:Tn0和a7=23+6d0,a70,得n12.5.故整数n的最大值为12.2.解:a1=3,S1=a1=3.在Sn+1+Sn=2an+1中,设n=1,有S2+S1=2a2.而S2=a1+a2.即a1+a2+a1=2a2.a2=6.由Sn+1+Sn=2an+1,n2时,Sn+Sn-1=2an,-,得Sn+1-Sn-1=2an+1-2an,an+1+an=2an+1-2an,即an+1=3an.此数列从第2项起成等比数列,公比q=3.故n2时,an=63n-2=23n-1.当n=1时,不满足上式.故an的通项公式为an=3(n=1),23n-1(n2).此数列的前n项和为Sn=3+23+232+23n-1=3+23(3n-1-1)3-1=3n.3.解:n2时,an=Sn-Sn-1=13n(n+1)(n+2)-13(n-1)n(n+1)=n(n+1).当n=1时,a1=S1=131(1+1)(1+2)=2,n=1时满足上式.则an的通项公式为an=n(n+1).1a1+1a2+1an=112+123+134+1n(n+1)=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1.反馈型题组1.C提示:S4=4(a1+a4)2=4(a2+a3)2=2(1+3)=8.2.B提示:log2xn+1-log2xn=1,log2xn+1xn=1,xn+1xn=2.xn为等比数列,其公比q=2,又x1+x2+x10=10,x11+x12+x20=q10(x1+x2+x10)=21010.3.C提示:由a2a3=2a1,又a2a3=a1a4,故a1a4=2a1,a4=2.又由a4+2a7=254,得a7=14.q3=a7a4=142=18,q=12,a1=a4q3=218=16,S5=161-1251-12=31.4.D提示:设等比数列an的公比为q(q0),由题意得,X=a1+a2+an,Y=a1+a2+an+an+1+an+2+a2n,Z=a1+a2+an+an+1+an+2+a2n+a2n+1+a2n+2+a3n,Y-XX=qn,Z-XY=qn,所以Y(Y-X)=X(Z-X),故D项正确.5.A提示:由题意知d0,且a8=0,所以a10a9a8=0.所以Sn的最大值为S7与S8,且S7=S8,S10=S9+a10S9.6.n3+n提示:前n-1组共有偶数的个数为1+2+3+(n-1)=n(n-1)2.故第n组共有n个偶数,且第一个偶数是正偶数数列2n的第n(n-1)2+1项,即2n(n-1)2+1=n2-n+2,所以第n组各数的和为n(n2-n+2)+n(n-1)22=n3+n.7.10提示:依题意,得a2009=a4503-3=1,a2014=a21007=a1007=a4252-1=0.8.4提示:a4=15,S5=55,55=5(a1+a5)2=5a3,a3=11.公差d=a4-a3=15-11=4.a10=a4+6d=15+24=39.P,Q两点的坐标分别为P(3,11),Q(10,39).kPQ=39-1110-3=4.9.解:方法一:an+1-an=(n+2)1011n+1-(n+1)1011n=1011n9-n11,当n0,an+1an.当n=9时,an+1-an=0,an+1=an.当n9时,an+1-an0,an+1an.故a1a2a11a12,数列an中最大项为a9或a10,其值为1010119,其项数为9或10.方法二:an=(n+1)1011n(nN*),anan+1,anan-1.即(n+1)1011n(n+2)1011n+1,(n+1)1011nn1011n-1,解得n9,n10.nN*,n=9或n=10.数列an中最大项为a9或a10,其值为1010119,其项数为9或10.10.(1)解:由Sn+1=Sn+2an+2n+2(nN*)得,Sn+1-Sn=2an+2n+2,即an+1=2an+2n+2(nN*),a1=5,a2=2a1+21+2=10+8=18,a3=2a2+22+2=36+16=52.(2)解:由条件得b1=a1+2=5+2,b2=a2+22=18