教学章节：数学归纳法.doc

第 1 页 共 48 页 高中数学教案选 教学章节 数学归纳法教学章节 数学归纳法 2 教学章节 数学归纳法应用教学章节 数学归纳法应用 4 教学章节 充要条件教学章节 充要条件 6 教学章节 椭圆的定义教学章节 椭圆的定义 11 教学章节 椭圆及其标准方程教学章节 椭圆及其标准方程 14 教学章节 椭圆及其标准方程教学章节 椭圆及其标准方程 17 教学章节 椭圆的简单几何性质教学章节 椭圆的简单几何性质 20 教学章节 椭圆的几何性质教学章节 椭圆的几何性质 23 教学章节 椭圆及其标准方程教学章节 椭圆及其标准方程 27 教学章节 椭圆及其标准方程教学章节 椭圆及其标准方程 30 高中数学教案选 第 2 页 共 48 页 教学章节 数学归纳法教学章节 数学归纳法 教学目标 教学目标 理解 归纳法 和 数学归纳法 的含意和本质 掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论 会用 数 学归纳法 证明简单的恒等式 初步掌握归纳与推理的方法 培养大胆猜想 小心求证的辩证思维素质 培养学生对于数学内在美的感悟能力 教学重点 教学重点 使学生理解数学归纳法的实质 掌握数学归纳法的证题步骤 特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒 等变换的运用 教学难点 教学难点 如何理解数学归纳法证题的有效性 递推步骤中如何利用归纳假设 教学过程 教学过程 一 引入 问题 1 这个盒子里有十个乒乓球 如何证明里面的球全为橙色 问题 2 请大家回忆 课本是如何得出等差数列的通项公式的 二 归纳法 教师引导学生明了以上两个问题的异同点 由此 得出归纳法的概念 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 同时指明了完全归纳法与不完 全归纳法的区别 投影 通过数学家费马运用不完全归纳得出错误结论的事例来说明不完全归纳法的缺憾之处 仅根据一系列 有限的特殊事例得出一般结论是要冒很大风险的 因为有可能产生不正确的结论 提问 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 引导学生得出 只有经过严格的证明 不完全归纳得出的结论才是正确的 三 数学归纳法 提问 若盒子里的乒乓球有无数个 如何证明它们全是橙色球呢 在学生讨论未果的基础上 教师给出方法供学生参考 证明第一次拿出的乒乓球是橙色的 构造一个命题并证明 此命题的题设是 若某一次拿出的球是橙色的 结论是 下次拿出的球也是橙色的 以上两步都被证明 则盒子中的乒乓球全是橙色的 该命题并不是孤立地 研究 某一次 下一次 取的是橙球 而且由 某次取出的是橙球 来得到 下一次取出的也是橙球 的逻辑必然 性 即一种递推关系 教师引导学生讨论 以上两个步骤如果都得到证明 是否能说明全部的乒乓球都是橙色的 由此 得出数学归纳法的基本概念 它是自然数相关问题的一种证明方法 提问 在现实生活中有没有相似的 递推 思想的实例呢 提问 这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢 投影 给出问题 2 的数学归纳法的证明 将每一步骤标号 引导学生对比上一问题与此问题类似之处 进而得 出数学归纳法的证题思路和步骤 教师再通过投影明确数学归纳法的 奠基步骤 和 递推步骤 这 两个步骤 以 及 一个结论 四 例题讲解 例 1 数列 an 其通项公式为 an 2n 1 请猜测该数列的前 n 项和公式 Sn 并用数学归纳法证明该结论 教师板演学生的解题步骤 师生共同归结 1 数学归纳法是一种完全归纳的证明方法 它适用于与自然数有关的问题 2 两个步骤 一个结论缺一不可 否则结论不能成立 3 在证明递推步骤时 必须使用归纳假设 必须进行恒等变换 第 3 点可结合学生完成情况来阐明 五 反馈练习 用数学归纳法证明 高中数学教案选 第 3 页 共 48 页 A 组 1 1 2 3 n n n 1 2 n N 2 首项为 a1 公比为 q 的等比数列的通项公式为 an a1qn 1 n N B 组 1 1 2 22 2n 1 2n 1 n N 2 S 1 1 3 1 3 5 1 5 7 1 2n 1 2n 1 n N 六 知识小结 投影 七 作业 P121 1 预习课本 P115 117 完全归纳法不完全归纳法 数学归纳法穷举法 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 高中数学教案选 第 4 页 共 48 页 教学章节 数学归纳法应用教学章节 数学归纳法应用 教学目标 教学目标 使学生能掌握用 归纳法 去猜想有关命题的条件 结论 教学重点 教学重点 如何用 归纳法 去推导 猜想 教学难点 教学难点 教学过程 教学过程 一 创设问题情境创设问题情境 问题 管中窥豹 略见一斑 的含义是什么 比喻可以从观察到事物的一部分情况推测到事物的全体情况 例 看一下广交会上的出口商品 就可以了解到我国目前的经济发展情况 问题 用了解同学们的作业情况 可以用什么方法 二 二 师生共同探索师生共同探索 上述推理所采用的方法实际上就是归纳法 它是由一系列有限的特殊事例去推导出一般的结论 归纳法可 以帮助我们从特殊事例中去发现一般规律 例 已知数列 计算得 1 1 43 1 32 1 21 1 nn S1 由此可猜测 n 4 3 3 2 2 1 32 SS 例 观察下列式子 0 则 又设 M 与 F1 F2距离之和等于 2a 常数 0 0 21 cFcF aPFPFPP2 21 22 1 ycxPF 又 高中数学教案选 第 15 页 共 48 页 化简 得 aycxycx2 2222 由定义 22222222 caayaxca ca22 0 22 ca 令代入 得 222 bca 两边同除得 222222 bayaxb 22b a 此即为椭圆的标准方程 1 2 2 2 2 b y a x 它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上 焦点是 中心在坐标原点的椭圆方程 0 0 21 cFcF 其中 222 bca 注意若坐标系的选取不同 可得到椭圆的不同的方程 说明 1 其中 2a 为椭圆上任意点到焦点的距离之和这个定值 焦距 2c 而由 2 如果椭圆的焦点在 y 轴上 选取方式不同 调换 x y 轴 焦点则变成 只要将此方程中的 x y 调换 即可得 此也是椭圆的标准方程 1 2 2 2 2 b x a y 三 巩固练习 1 判断下列方程是否表上椭圆 若是 求出 a b c 的值 1 22 22 yx 1 24 22 yx 1 24 22 yx 变形为 3694 22 xy1 32 2 2 2 2 yx 总结 注意到 a2 b2 则可以根据分母的大小 判断其焦点在哪个坐标轴上 2 求三量 四 例题讲解 1 平面内两定点的距离是 8 写出到这两定点的距离之和是 10 的点的轨迹方程 问 这个轨迹是什么 椭圆 如何确定 定式定量 高中数学教案选 第 16 页 共 48 页 2 已知 B C 两定点 三角形 ABC 的周长为 16 求 A 的轨迹方程 12 BC 4 若表示椭圆 则 k 的取值范围是 1 1624 22 k y k x 五 总结 六 作业 七 课后分析 高中数学教案选 第 17 页 共 48 页 教学章节 椭圆及其标准方程教学章节 椭圆及其标准方程 教学目标 教学目标 1 使学生掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程 2 能根据定义推导出椭圆的标准方程 3 能应用椭圆的定义和标准方程解决简单的应用问题 4 培养学生形数结合的重要数学思想方法 教学重点 教学重点 教学难点 教学难点 教学过程 教学过程 一 复习提问 1 求曲线方程的步骤有哪些 2 圆的一般方程是什么 主要特点是什么 二 引言 我们已经学习过两种曲线 这节课我们再学习一种常见的曲线 椭圆 动画展示太阳系行星运动轨迹 通过播放动画提出如下问题 太阳系行星运动轨道是什么曲线 使椭圆的形象更加 鲜明 三 新课 1 椭圆的定义 动画展示 投 影 课件演示椭圆生成过程 通过动点轨迹的形成过程 给出轨迹的直观形象 以便于抽象概括 小黑板 实物演示椭圆生成过程 让学生观察分析 同时回答下列问题 所作的轨迹上的动点 满足什么条件 试用语言概括 并且讨论为什么要 规定 常数大于 F1F2 分析常数等于 F1F2 和常数小于 F1F2 时的点的轨迹是什么 字幕展示椭圆的定义以及焦点 焦距的概念 2 根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程 推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程 可根据求动点轨迹方程的步骤 求出椭圆的标准方程 过程如 下 建系设点 列式 变换 化简 证明 板书过程 3 椭圆的标准方程的特点 字幕投影 椭圆标准方程中总有 a b 0 椭圆焦点总在长轴上 对于 a b c 有关系式 c2 a2 b2成立 剖析例题 在掌握了椭圆的定义及其标准方程基础上 字幕展示例题 例 例 平面内两个定点距离是 写出到这两个定点的距离的和是 的点的轨迹的方程 此题中距离和的值可以改动 当其等于 8 或小于 8 时其点的轨迹分别是线段和无轨迹 可进一步加深学生对椭 圆定义的理解 例 例 三角形 ABC 中 AB 固定 AB 10 且 sinA sinB 2sinC 求点 C 的轨迹方程 在屏幕上用动画显示解题过程 板书解题步骤 通过例 1 与例 2 巩固对 椭圆的定 义和椭圆的标准方程 的掌握 会应用椭圆的定义求椭圆的标准方程 四 课堂练习 为了更好地完成教学目的 巩固本节的重点 掌握椭圆的定义和椭圆的标准方程 通过投影仪展示出精选的练习 题 1 写出满足两个焦点的坐标是 2 0 和 2 0 并且经过点 P 5 2 3 2 的椭圆标准方程 2 已知 ABC 的一边 BC 固定 长为 6 周长为 16 求顶点 A 的轨迹方程 让学生板演 然后在屏幕上显示解题过程 对学生进行规范解题训练 高中数学教案选 第 18 页 共 48 页 五 课堂小结 字幕显示 总结本节课学习的主要内容 使学生明确学习目的 四 主帧设计 四 主帧设计 五 流程图 五 流程图 x O F1F2 y M 开 始 教 师 引 课 椭 圆 定 义投影实物图形 椭 圆 标 准 方 程 推 导 投影椭圆形成过程 高中数学教案选 第 19 页 共 48 页 教师总结 投影例题 1 投影例题 2 教师总结 学生练习 小 节 结 束 高中数学教案选 第 20 页 共 48 页 教学章节 椭圆的简单几何性质教学章节 椭圆的简单几何性质 教学目标 教学目标 知识目标 1 熟练掌握椭圆的范围 对称性 顶点等简单几何性质 2 掌握标准方程中 a b c 的几何意义 3 椭圆的第二定义 能力目标 1 重视基础知识的教学 基本技能的训练和能力的培养 2 启发学生能够发现问题和提出问题 善于独立思考 学会分析问题和创造地解决问题 3 通过教师指导发现知识结论 培养学生抽象概 括能力和逻辑思维能力 教学重点 教学重点 椭圆的简单几何性质与第二定义 教学难点 教学难点 椭圆的第二定义 教学过程 教学过程 一 复习引入 1 概念 椭圆 焦点 焦距 2 标准方程 3 请学生在黑板上作出椭圆的草图 注意标出所有可以确定的量值及点的坐标 教师同在黑板作出椭圆的草图 注意作出矩形框以界定椭圆的范围 评议学生的作业 根据草图说明 注意标准方程中 a b 是如何定义的 二 新课讲授 以椭圆标准方程为例进行说明 1 2 2 2 2 b y a x 1 范围 观察椭圆的草图 可以直观看出曲线在坐标系中的范围 椭圆在四条直线围成的矩形内侧 ax by 注意 从椭圆的方程如何验证 从标准方程可知 由此椭圆上点的坐标都适合不等式1 2 2 2 2 b y a x 01 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 a x 即 即椭圆在四条直线围成的矩形内侧 22 ax ax ax by 2 对称性 椭圆关于每个坐标轴和原点都是对称的 这时 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b y a x 对称中心 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3 顶点 椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 在椭圆的方程里 对称轴是 x y 轴 所以令得 因此椭圆和 x 轴有两个交点1 2 2 2 2 b y a x 0 yax 他们是椭圆的顶点 0 0 2 aAaA 1 2 2 2 2 b y a x 高中数学教案选 第 21 页 共 48 页 令 得 因此椭圆和 y 轴有两个交点 他们是椭圆的四个顶点 0 xby 0 0 2 bBbB 1 2 2 2 2 b y a x 注意 椭圆的顶点有四个顶点 它们分别是长轴和短轴的四个端点 长轴 线段叫做椭圆的长轴 它的长等于 2a a 叫做椭圆的长半轴长 21A A 短轴 线段叫做椭圆的短轴 它的长等于 2b b 叫做椭圆的短半轴长 21B B 4 离心率 1 概念 椭圆焦距与长轴长之比 2 定义式 a c e 3 范围 10 e 4 考察椭圆形状与 e 的关系 椭圆变圆 直至成为极限位置圆 此时也可认为圆为椭圆在时的特例 0 0 ce0 e 椭圆变扁 直至成为极限位置线段 此时也可认为圆为椭圆在时的特例 1ace 21F F1 e 说明 1 其中定点 焦点 定直线 准线 对于来说 相对于左焦点对应着左准线1 2 2 2 2 b y a x 0 1 cF c a xl 2 1 相对于右焦点对应着右准线 0 2 cF c a xl 2 2 对于来说 相对于上焦点对应着上准线1 2 2 2 2 b y a x 0 1 cF c a yl 2 1 相对于下焦点对应着下准线 0 2 cF c a yl 2 2 2 位置关系 c a ax 2 3 焦点到准线的距离 c b2 其上任意点到准线的距离 分情况讨论 yxP 四 练习 已知椭圆上一点到其右焦点距离为 8 求其到左准线的距离 1 925 22 yx 五 总结 六 作业 高中数学教案选 第 22 页 共 48 页 七 课后分析 高中数学教案选 第 23 页 共 48 页 教学章节 椭圆的几何性质教学章节 椭圆的几何性质 教学目标 教学目标 掌握椭圆的焦半径公式 焦点弦公式 通径 直线和椭圆的位置关系等椭圆的相关内容 教学重点 教学重点 习题课 教学难点 教学难点 习题课 教学过程 教学过程 一 椭圆的第二定义 应用 1 椭圆 其上一点 P 3 y 到两焦点的距离分别是 6 5 和 3 5 求椭圆方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 椭圆上有一点 P 它到左准线的距离为 2 5 求 P 点到椭圆右焦点的距离 1 925 22 yx 3 椭圆上一点 P 到两焦点的距离之比为 1 3 求此点到左右准线的距离 若求此点的坐标又如何 1 36100 22 yx 求解 4 求经过 M 1 2 以 y 轴为准线 离心率为 0 5 的椭圆的坐定点的轨迹方程 设椭圆左顶点 P x y 由 P 到左焦点距离于 P 到 y 轴距离之比为 0 5 则有 二 椭圆的焦半径及其应用 1 定义 椭圆上任意一点 M 与椭圆焦点的连线段 叫做椭圆的焦半径 21F F 2 焦半径公式的推导 设椭圆及椭圆上任意一点 M 注意和其在椭圆的左半个还是右半个无关 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 00 yx 则 2 0 2 0 2 1 ycxMF 2 0 2 0 2 2 ycxMF 0 2 2 2 1 4cxMFMF aMFMF2 21 又 2 2 21 021 aMFMF x a c MFMF 002 001 exax a c aMF exax a c aMF 即有焦点在 x 轴上的椭圆的焦半径公式 02 01 exaMF exaMF 同理有焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式 高中数学教案选 第 24 页 共 48 页 02 01 eyaMF eyaMF 其中分别是椭圆的下上焦点 21F F 注意 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关 而与点在左在右无关 可以记为 左加右减 上减下加 焦半径公式的推导还有其他方法 其中最为简单的就是利用椭圆的第二定义 由第二定义 e d MF 1 1 e c a x MF 2 0 1 又 c a x 2 0 0 2 01 exa a c c a exMF 同理 0 2 02 exa a c c a exMF 3 焦半径公式的应用 1 椭圆 其上一点 P 3 y 到两焦点的距离分别是 6 5 和 3 5 求椭圆方程 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 P 为椭圆上的点 且 P 与的连线互相垂直 求 P 1 925 22 yx 21F F 3 椭圆上不同三点与焦点 F 4 0 的距离成等差数列 求证 1 925 22 yx 5 9 4 2211 yxCByxA 8 21 xx 4 设 P 是以 0 为中心的椭圆上任意一点 为右焦点 2 F 求证 一线段位直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切 PF2 三 直线与椭圆 1 位置关系 相交 两个公共点 相离 无公共点 相切 一个公共点 高中数学教案选 第 25 页 共 48 页 若直线 二次曲线bkxyl 0 22 FEyDxCyAxC 将代入 消去 y 得到bkxyl 0 22 FEyDxCyAxC 关于 x 的二次方程 0 2 cbxax 若 相交0 相切0 相离0 在圆的几何性质的学习中 判断直线和圆的位置关系可以除了上述的代数法 还可以直接通过圆的几何性质也既 是几何法进行判断 但在椭圆中 由于对椭圆的纯几何性质没有进行过细致的学习 则一般情况下 无法直接使用几 何方法 而判断直线和椭圆的位置关系常常只能用代数法进行 当然 具体问题具体分析 如下面这个例子 直线与焦点在 x 轴的椭圆总有公共点 则 a 的取值范围 bkxyl 1 7 2 22 a yx 2 相交弦长 弦长公式 其中 a 和分别是 中二次项系数和判别式 k 为直线 2 1k a d 0 2 cbxax 的斜率 bkxyl 当代入消元消掉的是 y 时 得到 此时弦长公式相应的变为 0 2 cbyay 2 1 1 ka d 3 焦点弦 定义 过焦点的直线割椭圆所成的相交弦 焦点弦公式 可以通过两次焦半径公式得到 设两交点 2211 yxByxA 当椭圆焦点在 x 轴上时 焦点弦只和两焦点的横坐标有关 过左焦点 2 21 xxeaAB 过右焦点 2 21 xxeaAB 当椭圆焦点在 y 轴上时 过左焦点 2 21 yyeaAB 过右焦点 2 21 yyeaAB 4 通径 定义 过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用焦点弦公式 得到 高中数学教案选 第 26 页 共 48 页 a b d 2 2 高中数学教案选 第 27 页 共 48 页 教学章节 定义法求教学章节 定义法求轨迹方程轨迹方程 教学目标 教学目标 知识目标 通过本课的学习 增强运用圆锥曲线的定义解决问题的意识 综合运用平面几何的知识 进行几何等量关 系的转换 理解 定义法 求轨迹方程的意义及解决问题的基本思路 能力目标 用运动的观点理解曲线 培养学生观察 类比 推理的分析能力和抽象 概括的思维能力 培养学生数学 的转化思想 数形结合思想 使学生养成仔细审视 全方位考虑问题的良好习惯 掌握从特殊一般特殊的认知 规律 情感目标 创设问题情景 激发学生观察 分析 探求的学习热情 强化学生的参与意识 教学重点 教学重点 定义法 求曲线轨迹方程 灵活运用题设条件 确定动点所满足的等量关系 结合圆锥曲线的定义确 定曲线的类型 教学难点 教学难点 理解轨迹的完备性与纯粹性 并能准确地运用 完备性是指符合条件的点都要在轨迹上 不能遗漏 纯 粹性是指轨迹上的所有点都符合条件 没有 假冒 教学过程 教学过程 问题 1 请你分别说出四种圆锥曲线的定义 圆的定义 椭圆的第一定义 双曲线的第一定义 圆锥曲线的统一定义 2 思考并回答 1 已知且 则点 P 的轨迹是 圆 3 2 A7 PA 2 已知ABC 的一边 BC 的长为 6 周长为 16 则顶点 A 的轨迹是什么 椭圆 除去与 BC 边共线的两个顶点 3 若 4 0 5 0 1 MBMABA且 则点 M 的轨迹是 双曲线右支 4 过点 2 3 且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹是什么 抛物线 小结引出课题小结引出课题 灵活 准确地运用定义 为解决圆锥曲线的一些问题带来很大的方便 本课 我们重点讨论利用定义 法求曲线的轨迹方程的问题 定义法求轨迹方程的含义 先由题设条件 根据圆锥曲线的定义能确定曲线的形状后 直接写出曲线的方程 例例 1 已知圆 C 及圆内一点 P 3 0 求过点 P 且与已知圆内切的圆的圆心 M 的轨迹方程 0916 22 xyx 1 分析 分析 1 圆 C 的半径与圆心坐标可定 2 两圆内切可得 外圆半径 内圆半径 连心距 3 动点 M 满足的等量关系 MC MP 10 PC 4 由定义可确定动点 M 的轨迹为以 P C 为焦点的椭圆 2 演示动画 使抽象问题具体化 3 学生口述解题过程 4 板演解题过程 例例 2 已知动圆与圆 和圆 C2 49 5 22 1 yxC 高中数学教案选 第 28 页 共 48 页 都外切 求动圆圆心 P 的轨迹方程 1 5 22 yx 1 分析 分析 1 从已知条件可以确定圆 C1 C2的圆心与半径 2 两圆外切可得 两圆半径和 圆心距 3 动圆半径 r 依题意有 r1 r P C1 r2 r P C2 两式相减得 PC1 PC2 r1 r2 C1 C2 4 由双曲线定义得 点 P 的轨迹是 C1 C2以为焦点的双曲线的右支 5 再根据题设条件求出参数 a b 即可 2 动画验证 并观察动点的运动 3 学生完成解题过程的书写表达 并巡视 纠正 4 板演规范的书写表达 引伸 引伸 1 若动圆 P 与圆 C2内切 与圆 C1外切 则动圆圆心 P 的轨迹是什么 双曲线右支 2 若动圆 P 与圆 C1内切 与圆 C2外切 则动圆圆心 P 的轨迹是什么 双曲线左支 3 若把圆 C1的半径改为 1 那么动圆 P 的轨迹又是什么 两定圆连心线的垂直平分线 4 上述的结论是否具有一般性 也就是 与两个外离的定圆都外切或与其中一个内切 另一个外切的圆的圆心 的轨迹都是双曲线的一支 当两个定圆不相等时 结论是肯定的 当两定圆相等时 轨迹为两定圆连心线 的中垂线 利用 定义法 求轨迹方程的关键 找出动点满足的等量关系 步骤 1 依条件列出等量关系式 2 由等式的几何意义 结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状 3 写 出方程 A 组题组题 1 动点 P 到直线的距离与它到点 2 1 的距离之比为 则点 P 的轨迹是什么 椭圆 6 x5 2 若动圆与圆相外切 且与直线相切 则动圆圆心轨迹方程是 1 2 22 1 yxC1 xxy8 2 3 ABC 中 已知 AB BC 成等差数列 求点 C 的轨迹方程 0 2 0 2 ACBA且 B 组题组题 1 请你编写 1 2 道用 定义法 求轨迹方程问题的题目 2 ABC 中 A 为动点 B C 为定点 且满足条件 0 2 0 2 a C a B 求动点 A 的轨迹方程 ABCsin 2 1 sinsin 3 动圆与内切 且与圆 C2 64 22 1 yxC 外切 求动圆03212 22 xyx 圆心的轨迹方程 高中数学教案选 第 29 页 共 48 页 1 1625 3 22 yx 4 一动圆过点 F 3 0 且与已知圆 相切 求动圆圆心 P 的轨迹方程 4 3 22 yx 高中数学教案选 第 30 页 共 48 页 M F1 F2 教学章节 椭圆及其标准方程教学章节 椭圆及其标准方程 教学目标 教学目标 理 教学重点 教学重点 教学难点 教学难点 教学过程 教学过程 二二 椭圆椭圆 3 3 2 2 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 教学目的教学目的 使学生牢固掌握椭圆的有关概念及其运用 教学重点和难点教学重点和难点 使学生牢固掌握椭圆的有关概念及其运用 教学过程 一教学过程 一 引入新课 引入新课 椭圆是一种常见的曲线 如天体中一些行星和卫星的运行轨道 取一条一定长的细绳 把它的两端固定在画图板上的 F1和 F2 两点 当绳长大于 F 和 F 的距离时 用铅笔尖把绳子拉紧 使笔尖在图版上慢慢移动 就可以画出一个椭圆 1 椭圆的定义 1 平面内与两个定点的距离和等 高中数学教案选 第 31 页 共 48 页 于定值的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点的距离叫做焦距 2 椭圆的标准方程 P M MF1 MF2 2a MF MF 22 YCx 22 YCX 利用椭圆的定义 得 2a 22 YCx 22 YCX 将这个方程移项 两边平方 得 x c 2 y2 4a2 4a x c 2 y2 22 YCX a2 cx a 22 ycx 两边再平方 得 a4 2a2cx c2x2 a2x2 2a2cx a2c a2y2 整理得 a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2 由椭圆定义可知 2a 2c 即 a c 所以 a2 c2 0 设 a2 c2 b2 b 0 得 b2 x2 a2 y2 a2 b2 两边除以 a2 b2 得 叫做椭圆的标准方程 X 型 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 焦点是 F1 c 0 F2 c 0 这里 a2 c2 b2 叫做椭圆的标准方程 Y 型 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 焦点是 F1 0 c F2 0 c 二 例题讲解 二 例题讲解 例 1 平面内两个定点的距离是 8 写出到这个定点的距离的和是 10 的点的方程 解 这个轨迹是一个椭圆两个定点是焦点 用 F1 F2表示 取过点 F1和 F2的直线为 x 轴 线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴 2a 10 2c 8 a 5 c 4 b2 a2 c2 52 42 9 b 3 因此 这个椭圆的标准方程是 1 35 2 2 2 2 yx 即 就是所求的椭圆的标准方程1 925 22 yx 三 课堂练习三 课堂练习 已值椭圆的焦距为 2 且过点 P 3 2 求它的标准方程 5 解 对于标准位置上的椭圆来说 若焦距为 2 则 c 可得到两个标准方程 55 高中数学教案选 第 32 页 共 48 页 和1 5 2 2 2 2 a y a x 1 5 2 2 2 2 a x a y 再利用它们都过点 3 2 可以定出相应的 a 和 b 的值 1 5 2 3 2 2 2 2 aa 10 15 22 ba 1 5 2 2 2 2 a x a y 614 619 22 ba 所以所求标准方程为 和1 1015 22 yx 1 619614 22 yx 四 课堂小结四 课堂小结 这节课讲了椭圆的有关概念及其运用请同学们牢固掌握 五 家庭作业五 家庭作业 P135 1 2 4 5 6 3 3 3 3 双曲线双曲线 教学目的 教学目的 使学生牢固掌握双曲线的基本概念 并能灵活运用 教学重点和难点 教学重点和难点 双曲线的基本概念和运用 教学过程 一引入新课 教学过程 一引入新课 1 双曲线的定义 1 把平面内到两个定点 F1 F2的距离之差的绝对值为常数 2a 小于焦距 的点的轨迹 叫双曲线 其中两个定点叫焦点 两个定点之 间的距离叫焦距 2 双曲线标准方程的推导 令 F1 c 0 F2 c 0 M x y aycxycxaMFMF2 2 2222 21 化简得 c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2 令 c2 a2 b2 X 型双曲线1 2 2 2 2 b y a x 同理可得 焦点 Y 轴上的双曲线方程 Y 型双曲线1 2 2 2 2 b x a y 3 X 型双曲线 Y 型双曲线 M 在左右支 M 在上下支 a a MFMF 2 2 21 a a MFMF 2 2 21 焦点 F1 c 0 F2 c 0 F1 0 c F2 0 c 顶点 a 0 a 0 0 a 0 a 准线 x y c a2 c a2 离心率 e 1 e 越大 双曲线的开口越大 a c 高中数学教案选 第 33 页 共 48 页 通径 过焦点且垂直于轴的弦 或过焦点的最短弦 L a b22 焦半径 动点在左支 动点在下支 左焦半径 ex0 a 上焦半径 ey0 a 右焦半径 ex0 a 右焦半径 ey0 a 动点在右支 动点在上支 左焦半径 ex0 a 上焦半径 ey0 a 右焦半径 ex0 a 下焦半径 ey0 a 渐近线 由得 由得0 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b x a y y x a b y b a x 注意 由双曲线方程可得唯一的渐近线方程 由渐近线方程可得双曲线系 只有再给一附加条件时才可得唯一双曲线 等轴双曲线 当 a b 时的双曲线叫等轴双曲线 2 e 共轭双曲线 它们有共同的渐近线 并且四个焦点在同一个圆上 一个的实轴是另一个的虚轴 共轭双曲线方程的区别 与1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 a x b y 3 双曲线的第二个定义 双曲线上的一点到左 右 焦点的距离与它到左 右 定直线的距离的比为定值 e 的点的轨迹 二 例题选讲 二 例题选讲 例 1 圆锥曲线小测 一 圆锥曲线小测 一 姓名姓名 座号座号 成绩成绩 20012001 3 3 2222 填填空 每题 10 分 1 以为渐近线 一个焦点为 F 0 2 的双曲线方程是 03 yx 2 若椭圆两焦点为 F1 0 2 F2 0 2 过 F1的弦为 AB 且 ABF2的周长为 20 则此椭圆方程是 高中数学教案选 第 34 页 共 48 页 3 过抛物线 Y ax2 a 0 的焦点 F 作一直线交抛物线于 M Q 两点 若线段 MF FQ 的长分别为 p q 则 qp 11 4 设双曲线 a 0 b 0 的一条准线与两条渐近线交于 A B 两点 相应的焦点为 F 若以 AB 为直径的圆恰过 F 点 则双曲线的离心率1 2 2 2 2 b y a x 为 5 以椭圆的右焦点为圆心 且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程是 1 144169 22 yx 1 169 22 yx 6 设连接双曲线与的四个顶点所成的四边形面积为 S1 连接四个焦点所成的四边形面积为 S2 则的最大值是 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 a x b y 2 1 s s 7 设双曲线 C 的一个焦点为 F 过 F 作虚轴的平行线与双曲线的一个交点为 P 过 F 作一渐近线的平行线与双曲线交于 Q 则 QF PF 8 设椭圆上的任意一点 P 左焦点为 F1 A 2 3 则的最大值是 1 4925 22 yx PAPF 1 9 椭圆上不同的三点 A 与焦点 F 4 0 的距离成等差数列 则 若线段 AC1 925 22 yx 5 9 4 2211 yxCByx 21 xx 的垂直平分线交 x 轴与点 M 则直线 BM 的斜率是 10 已知梯形 ABCD 中 点 E 分有向线段所成的比为 双曲线过 C D E 三点 且以 A B 为焦点 求双曲线的离心率 CDAB2 AC 11 8 圆锥曲线小测 二 圆锥曲线小测 二 姓名姓名 座号座号 成绩成绩 20012001 3 3 填填空 每题 10 分 1 设双曲线 0 a b的半焦距为 c 直线过 a 0 0 b 两点 已知原点到的距离为 则双曲线的离心率为 1 2 2 2 2 b y a x llc 4 3 2 已知 P 为椭圆上一点 F1 F2为椭圆的两焦点 点 Q 在 F1P 上 且 那点 Q 分有向线段 F1P 的比是 2 33 5 2 1 925 22 yx 2 PFPQ 高中数学教案选 第 35 页 共 48 页 3 设 F1和 F2为双曲线的两个焦点 点 P 在双曲线上且满足 F1PF2 90 则 F1PF2的面积是 1 4 2 2 y x 4 过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60 的直线交椭圆于 A B 两点 若 则椭圆的离心率是 FBFA2 5 若抛物线与有共同焦点 则 p q h 的关系是 pxy2 2 2 2 hxqy 6 设椭圆的右焦点为 F1 右准线为 若过 F1且垂直于 x 轴的弦的长等于点 F1到的距离 则椭圆的离心率是 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 l 1 l 7 抛物线的顶点在椭圆上 这样的抛物线共有 条 1sin2 2 xxy14 22 yx 8 若椭圆两焦点为 F1 2 1 F2 6 1 过 F1的弦为 AB 且 ABF2的周长为 20 则此椭圆方程是 9 椭圆上的点 M 与椭圆右焦点 F2的连线 MF2与 x 轴垂直 且 OM O 是坐标原点 与椭圆长轴和短轴端点连线 AB 平行 求椭圆离心率 e 过 F1与 AB 垂直的直线与椭圆交于 P Q PF1Q 的面积为 20 求椭圆方程 3 圆锥与圆锥曲线的位置关系 三 圆锥与圆锥曲线的位置关系 三 2001 3 28 姓名 座号 成绩 填空 每题 10 分 1 已知双曲线与直线 只有一个公共点 则 a 值为 1 22 yx02 yax 2 已知圆的弦 AB 中点为 P 3 1 则弦 AB 所在直线的方程是 054 22 xyx 3 若抛物线的准线与双曲线的右准线重合 则 m 的值是 0142 2 xxmxy1 412 22 yx 4 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于 1 则半径 r 的取值范围是 222 5 3 ryx 0234 yx 5 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于 A B 两点 若 4 则这样的直线存在 条 0682 22 xyxlABl 高中数学教案选 第 36 页 共 48 页 6 过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点 A x1 y1 B x2 y2 若 x1 x2 3 则 xy2 2 AB 7 直线 y kx 1 kR 与椭圆恒有公共点 则实数 m 的范围是 1 5 22 m yx 8 直线 y 1 x 交椭圆 mx2 ny2 1 于 M N 两点 弦 MN 的中点为 P 若 O 为坐标原点 则 2 2 op K n m 9 设过原点的直线与抛物线交于 A B 两点 且以 AB 为直径的圆恰好经过抛物线的焦点 F 则这条直线 AB 的方程是 1 4 2 xy 弦 AB 10 设是经过点 P 的两条互相垂直的直线 且与双曲线各有两个交点 分别为 A1 B1和 A2 B2 则的斜率 21 l l 0 2 21 l l1 22 xy 1 l k1范围 若那么 的方程是 5 2211 BABA 1 l 2 l 直线与圆锥曲线的位置关系 四 直线与圆锥曲线的位置关系 四 2001 3 姓名 座号 成绩 填空 每题 10 分 1 过双曲线的右焦点 F 作倾斜角为 45 的弦 则 的中点到 的距离是 1 169 22 yx 已知 是抛物线上的两个点 为坐标原点 若 且抛物线的焦点恰为 的垂心 则直线 的 0 2 2 ppxyOBOA ABC 方程是 直线与双曲线右支交于不同两点 则 范围 2 kxx6 22 yx 已知椭圆与 A 2 1 B 4 3 为端点的线段没有公共点 则 a 的取值范围是 0 2 2 2 2 aa y x 5 已知 F1 F2为椭圆的两个焦点 过 F1的弦 AB 与 F2组成等腰直角三角形 其中 椭圆的离心率为 e 则 e2 1 2 2 2 2 b y a x 90 2 BAF 高中数学教案选 第 37 页 共 48 页 6 抛物线上的两点 A B 的横坐标恰是关于 x 的方程 x2 px q 0 常数 p q 的两个实根 则直线 AB 的方程是 2 3 1 xy R 7 以抛物线的焦点为圆心 且被抛物线的准线截得弦长为 2 的圆的方程是 1 4 2 xy 8 若双曲线的左支上一点 P a b 到其渐近线距离为 则 a b 的值为 1 22 yx2 9 已知直线 y x m 与曲线 y 有两个不同交点 则 m 范围是 2 1x 10 设抛物线过定点 A 0 2 是以 x 轴为准线 抛物线顶点 M 的轨迹 C 的方程是 若 P a 1 不在线段 y 上 那 22 1 x 么当 a 时 过 p 点存在一对互相垂直的直线同时与曲线 C 有公共点 附加题 已知抛物线的焦点为 F 准线为 是否存在双曲线 C 同时满足以下两个条件 双曲线 C 的一个焦点为 F 相应于 F 的准线为 2 1 2 2 xyl 双曲线 C 截与直线垂直的直线所得的线段的长为 并且该线段的中点恰好在直线上 l0 yx220 yx 轨迹问题 五 轨迹问题 五 2001 3 姓名 座号 成绩 填空 每题 10 分 1 一动圆与两圆都外切 则动圆圆心轨迹所表示的图形是 0128 1 2222 xyxyx 2 过抛物线的顶点 O 作两条互相垂直的直线分别交抛物线于 A B 两点 则线段 AB 的中点 P 的轨迹方程是 xy4 2 3 椭圆关于直线对称的方程是 1 16 4 9 5 22 yx 03 yx 4 以曲线上任一点 P 为圆心作圆与 y 轴相切 则这些圆必过定点 2 8 3 2 xy 5 方程的图形是 222 32 1 2 yxyx 6 已知 P 是抛物线上的动点 定点 A 0 1 若点 M 分所成的比为 2 则点 M 的轨迹方程是 12 2 xyPA 7 倾斜角为 45 的直线交椭圆于 A B 两点 则线段 AB 中点的轨迹方程是 1 4 2 2 y x 高中数学教案选 第 38 页 共 48 页 8 椭圆的中心轨迹方是 0202420854 222 mmymxyx 9 已知双曲线过 A 2 4 B 4 4 两点 它的一个焦点是抛物线的焦点 则它的另一个焦点的轨迹是 xy4 2 10 ABC 中 A 为动点 B C 为定点 B 且满足条件 sinC sinB 则动点 A 的轨迹方程是 0 2 0 2 a C a Asin 2 1 圆锥曲线的最值问题 六 圆锥曲线的最值问题 六 2001 3 姓名 座号 成绩 填空 每题 10 分 1 过抛物线的焦点作弦 AB 则 OAB 面积的最小值是 xy4 2 2 双曲线和双曲线的离心率分别为 e1 e2 则 e1 e2的最小值为 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b y a x 3 若点 x y 在椭圆 4 x 2 2 y2 4 上 则的最小值为 x y 4 已知平面有一固定线段 AB 长度为 4 动点 P 满足 O 为 AB 的中点 则的最小值为 3 PBPAPO 5 已知 F1 3 0 F2 3 0 是椭圆的两个焦点 p 是椭圆上的点 当 F1PF2 120 F1PF2的面积最大 则 1 2 2 2 2 n y m x 当 时 计算 2 1 i 1 50100 zz 5 4 31 22 i i 则 5 32 1 21 izizzzf 21 zzf 高中数学教案选 第 39 页 共 48 页 因式分解 5 1 i 4 5 2 22 nnmm 若虚数 满足 则 2 1 1 1 1 zz 为奇数 7 1 i nn i i i i 22 1 1 1 1 0 若则 68 2 iz z zz 100 16 3 若则 z 因式分解 2izz 22 4 13 3yxyx 复数的概念和运算复数的概念和运算 2001 3 姓名 座号 成绩 解答下列各题 1 当 a 为何值时 复数 z 对应的点 在实轴上 在虚轴上 在象限内 在第四象限iaaaa 2 2 22 2 设复数当 x 为何实数时 z 为实数 z 为纯虚数 z 为虚数 3 log 32 log 5 0 2 5 0 xixxz 3 若求的最大值和最小值 3 ziz325 4 若求的最大 最小值 5123 22 21 izz 21 zz 高中数学教案选 第 40 页 共 48 页 5 满足下列要求的点的集合 3 iziz12213 iziz1412 iz0213 iziz 6 设复数 z 所表示的点在连结复数与对应的点的线段上移动 求 Z2对应点的轨迹 i 2i 2 7 A B 对应的复数分别为 z 2z a 3i 若点 A 在椭圆上移动 求点 B 的轨迹1 94 22 yx 8 已知求复数 m 所对应的点的轨迹 写出方程式 1 z 23izzm 9 设复数且对应的点在第一象限 若复数 O z 对应的点是正三角形三个顶点 求实数 a b 的值 i biai z 1 1 3 zz 4 z 10 在复平面内 点 A B C 分别对应复数 z1 z2 5 z3 3 3 以 AB AC 为邻边作一平行四边形 ABCD 求 D 点对应的复数 z4 平行四边形i 1ii 的中心对应的复数及 AD 的长 求 BCD 的重心对应的复数 求线段 AD 上的两个三等分点对应的复数 圆锥曲线单元测验圆锥曲线单元测验 姓名姓名 班级班级 成绩成绩 一 填空 7 分 6 42 分 高中数学教案选 第 41 页 共 48 页 1 已知方程为常数 表示双曲线 则双曲线的焦点坐标是 mba mb y ma x 1 22 2 2 2 2 A B 0 22 ab 0 22 ba C 0 D 0 22 ab 22 ba 2 已知椭圆的两个顶点在双曲线的焦点上 而双曲线的两个顶点又在椭圆的焦点上 则此双曲线的标准方程是 1 169 22 yx A B C D 1 97 22 yx 1 79 22 xy 1 79 22 yx 1 97 22 xy 3 椭圆的焦点 F1和 F2 点 P 在椭圆上 如果线段 PF1的中点在 Y 轴上 那么是的 1 312 22 yx 1 PF 2 PF A 7 倍 B 5 倍 C 4 倍 D 3 倍 4 经过双曲线的右焦点 F2的弦 AB 若 则 ABF1的周长是 1 3 2 2 y x3 AB 设 为抛物线的弦 如果这弦的中垂线的方程为 则弦 所在直线方程为 2 xy l03 yx 截 轴 轴所得弦长分别的圆的圆心轨迹是 ba ba 二 填空题 分 分 为椭圆上一点 为左焦点 则的最小值是 4595 22 yx 1 1 APAPF 1 若 是椭圆上的一点 是焦点 若 则 的面积是 1 64100 22 yx 60 21 PFF 21PF F 已知双曲线的渐进线方程为 且过点 则双曲线方程是 043 yx 3 32 若方程无解 则实数 的取值范围是 mxx 1 2 与圆及 轴都相切的动圆圆心 的轨迹方程 04 22 yyx 三 解答题 分 设抛物线的焦点弦被焦点分长度分别是 两部分 求证 定值xy4 2 nm 11 为椭圆的两个焦点 过 的直线交椭圆于 两点 求椭圆的离心率 21 F FPQPFPQPF 11 高中数学教案选 第 42 页 共 48 页 第二章第二章复数复数 一一 复数的基本概念复数的基本概念 2 1 2 1 2 2 复数的概念复数的概念 教学目的教学目的 使学生了解并掌握数的概念的发展和复数的基本概念 教学重点和难点教学重点和难点 复数的基本概念 教学过程教学过程 一 引入新课一 引入新课 到现在我们已经学习了实数 实数 无理数 负有理数 零 正分数 自然数 正有理数 有理数 二 二 1 为什么要引入复数 方程 x 5 3 3x 2 x2 3 我们都已经会解 x 2 x x 但是 像 x2 1 这样的方程在实数范围内还是无解 3 2 3 只须我们 2 规定 i2 1 i 为虚数单位 则 x2 1x i 3 复数的表示形式 z a bi a b 为实数 其中 a 叫做实部 记作 Re z b 叫做虚部 记作m z 注意 虚部是 b 而不是 bi I 4 复数与实数的关系 复数 a b i 为纯虚数 当虚数 实数