数学分析课程教学大纲_.pdf

数学分析课程教学大纲 Mathematical Analysis 课程性质 学科基础课 适用专业 数学与应用数学 先修课程 高中数学 后续课程 复变函数论 实变函数 泛函分析 常微分方程 数学物理方程 微分几何 积 分方程 非线性分析 总学分 18 教学目的与要求 1 通过本课程的讲授与作业 应使学生 1 对极限思想和方法有较深刻的认识 从而有助于培养学生的辩证唯物主义观点 2 正确理解数学的基本概念 基本掌握数学分析中的论证方法 获得较熟练的演算技能 和初步应用的能力 2 本课程要求总学时数为 300 学时 其中讲授课约 220 学时 习题课约 80 学时 下面各节 标题后所列时数指讲授时数 3 本大纲附有课程标准 教学要求 供授课时按学生水平 教学计划实际课时数灵活掌握 4 实施本大纲时应密切关注中学数学教材的变化 随时调整教学内容 一一 实数集与函数 实数集与函数 8 学时 学时 实数集 Archimedes 性质 区间与邻域 函数 映射 包括单 满 双射 反函数 复合函数 初等函数 一些特殊类型的函 数 奇 偶函数 周期函数 有界函数 单调函数 有界数集 确界原理 涉及确界的一些运算 否定 注注 1 涉及确界的一些运算 指涉及 sup A B sup A B sup A 等的一些结果 2 否定 指逻辑中关于 和 与 或 所有 与 存在 的两个否定法则 二二 极极 限 限 24 学时 学时 收敛数列及其性质 定向发散数列 扩张的实数系 单调数列的极限 n n n 1 1 lim 闭区间套定理 数集的聚点及聚点定理 数列的极限点与收敛子列定理 数列的 Cauchy 准则 数列的上 下极限 函数的极限及其性质 Heine 定理 单调函数的极限 函数极限的 Cauchy 准则 x x x sin lim 0 x x x 1 1 lim 复合函数的极限 无穷小量 无穷大量及其阶 注注 1 注意收敛数列与定向发散数列 数列极限与函数极限在处理上的一致性 2 建议证明确界原理 有界单调列定理 Archimedes 性质 闭区间套定理 聚点定理 收敛子列定理 Archimedes 性质 Cauchy 准则 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 三三 连连 续续 函函 数 数 10 学时 学时 函数的连续性 间断点及其分类 连续函数的局部性质和四则运算 复合函数与反函 数的连续性 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 有界性 介值性 最值性 一 致连续性 四四 一一 元元 函函 数数 微微 分分 学 学 22 学时 学时 导数与导函数 求导法则 基本初等函数的导数 高阶导数及其法则 由参数方程表 示的函数的导数 无穷导数 微分与高阶微分 极值与 Fermat 定理 Darboux 定理 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 中值定理的一些应用 判断函数的单调性 证明恒等式与不等式等 L Hospital 法则 Taylor 公式 凸函数及其判定法则 Jensen 不等式及其应用 凸函数的连续性与可微性 极值的充分条件 最大 最小值 拐点 渐近线 函数图象的作法 方程的近似解 注注 1 微分学的教学中应注意解决中学数学中的遗留问题 2 应向学生说明对 xg xf 应用 L Hospital 法则时可以只要求 g x 3 微分及 Taylor 公式对近似计算的应用并入 Taylor 级数 五五 一一 元元 函函 数数 积积 分分 学 学 32 学时 学时 原函数与不定积分 分解积分法 换元积分法 分部积分法 有理函数积分法 三角 函数有理式积分法 简单的无理函数积分法 积分表的用法 定积分 Newton Leibniz 公式 可积性条件与可积函数类 定积分的性质 线性与不等式性质 区间可加性 换元积分法 分部积分法 第一 二积分中值定理等 微积分基本定理 上 下积分 广义积分及其性质 用定义 换元 分部积分计算广义积分 广义积分收敛性的判别 法 可加区间函数 微元法 定积分应用举例 简单平面图形的面积 已知截面面积函数 的立体体积 旋转体体积 曲线弧长 功 压力 平均值等 注注 1 可以说明用积分定义对数函数 并由它定义指数函数 幂函数的方法 2 建议两种广义积分的定义统一处理 3 可积性条件仍以证明为宜 六 数六 数 项项 级级 数 数 12 学时 学时 级数 收敛级数及其性质 Cauchy 准则 绝对收敛级数及其判别法 比较判别法 检比法 检根法 Raabe 判别法 收敛的其它判别法 Leibniz Dirichlet Abel 判别法 数项级数与广义积分的关系 积分判别法 Gauss 判别法 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 加括号与去括号 绝对收敛级数的重排 条件收敛级数的重排 级数的乘法 注注 建议分别用与 p n 1 1 nlnln 1 比较证明 Raabe Gauss 判别法 七七 函函 数数 项项 级级 数 数 24 学时 学时 函数列与函数项级数的逐点收敛与一致收敛 一致收敛性的判别法 函数列一致收敛 的充要条件 Cauchy准则 M Dirichlet Abel 判别法 极限函数与和函数的连续性 Dini 定理 逐项微分与逐项积分 对计算广义积分的应用 幂级数及其收敛半径 收敛区间 内闭一致收敛 幂级数的和函数的连续性 Abel 连 续性定理 幂级数的逐项微分与逐项积分 Taylor 级数 函数的 Taylor 级数的求法 对近似计算的应用 函数的 Fourier 级数及其求法 奇延拓与偶延拓 正交函数系 Bessel 不等式 收敛定 理的证明 平均收敛 Fourier 级数的逐项微分与逐项积分 Weirstrass 逼近定理 注注 建议介绍用幂级数定义正 余弦函数的方法 八八 n 维维 Euclid 空空 间 间 10 学时 学时 内积与范数 夹角 线段与超平面 n 维区间 凸集 Rn中的点列 开集与闭集 闭 集套定理 紧集 有限覆盖定理 连通集 一元向量值函数及其连续 导数 积分 Rn中的曲线及其切线 曲线的长度 旋转体 的侧面积 曲率 注注 建议证明 Archimedes性质 闭区间套定理 有限覆盖定理 聚点定理 九九 多多 元元 函函 数数 微微 分分 学 学 30 学时 学时 多元实值函数的极限与连续性 紧集和连通集上连续函数的性质 方向极限 二次极 限 多元向量值函数的极限与连续性 方向导数 偏导数 高阶偏导数及其与顺序无关性 全微分与导数 可微性与偏导数 的关系 复合函数的偏导数与全微分 中值定理 高阶微分与 Taylor 公式 极值及其求法 反函数定理 开映射定理 隐函数定理 隐函数的导数 曲面的切平面 条件极值与 Lagrange 乘数法 注注 反函数等三个定理可对特殊情形证明 但应对向量值函数给出一般形式 十 含十 含 参参 量量 积积 分 分 12 学时 学时 含参量常义积分及其连续性 可微性 可积性 交换积分次序 含参量广义积分及其收敛与一致收敛性 Cauahy 准则 M Dirichlet Abel 判别法 含 参量广义积分的连续性 可微性 可积性 交换积分次序 计算广义积分 函数 函 数 Stirling 公式 PDF 文件使用 pdfFactory Pro 试用版本创建 十一十一 重重 积积 分 分 20 学时 学时 二重积分及其计算 三重积分及其计算 面积与体积概念 可积性的 Riemann 条件 重积分的性质与变量代换 重积分的应用 体积 曲面面积 重心 转动惯量等 n 维体积概念 n 重积分 零集 可积性的 Lebesgue 条件 十二十二 曲曲 线线 积积 分分 与与 曲曲 面面 积积 分 分 16 学时 学时 第一 二型曲线积分及其计算 向量值函数的原函数 线积分基本定理 曲线积分与 路径无关的