湖北省近六年（）高三数学 最新分类汇编7 立体几何 文.doc

湖北省2013届高三最新文科数学（精选试题17套+2007-2012六年湖北高考文科试题）分类汇编7：立体几何一、选择题1 （湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（）数学（文）试题）设一个四面体的体积为v1,且它的各条棱的中点构成一个凸多面体,其体积为v2,则v2/v1为（）a1/2b2/3c3/4d5/6 【答案】a 2 （2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-湖北卷）在棱长为1的正方体中,分别为棱的中点,为棱上的一点,且.则点到平面的距离为 （）abcd【答案】d 3 （2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-湖北卷）用与球必距离为1的平面去截球,所得的截面面积为,则球的体积为（）abcd【答案】d4 （湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题）某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是侧视图421俯视图2正视图第8题图（）abcd【答案】答案:d 【解析】此几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体,体积 . 5 （2010年高考（湖北文）用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题:若ab, bc,则ac;若则;若a, b,则ab;若,则ab.其中真命题的序号是（）abcd【答案】c6 （2009年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷）如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,acb=900,acc1=600,bcc1=450,侧棱cc1的长为1,则该三棱柱的高等于（）abcd【答案】a 7 （湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（文）试题(试题与答案纯word版)）将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为【答案】b 8 （2011年全国高考文科数学试题及答案-湖北）设球的体积为,它的内接正方体的体积为,下列说法中最合适的是（）a比大约多一半b比大约多两倍半 c比大约多一倍d比大约多一倍半【答案】d 9 （湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（文）试题 ）设、是两个不同的平面,m、n是平面内的两条不同直线,l1,l2是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是（）am且nbm且n cm且ndm且【答案】a 10（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（文）试题）一个三棱锥的三视图如图,则该三棱锥的体积为（）abcd【答案】a 11（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（文）试题）给出下列命题:(1)直线a与平面不平行,则a与平面内的所有直线都不平行;(2)直线a与平面不垂直,则a与平面内的所有直线都不垂直;(3)异面直线a、b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直;(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面.其中错误命题的个数是（）a1b2c3d4【答案】c 12（湖北省浠水一中2013届高三模拟考试文科数学试卷）已知e、f分别是正方体棱bb1、ad的中点,则直线ef和平面所成的角的正弦值是（）abcd【答案】b 设正方体的棱长为2,由于e、f分别是正方体棱bb1、ad的中点,连接bd,ae,过f作bd交bd于h,则fh,因为,直线ef和平面所成的角的正弦值是,故选b 13（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（二）（word版） ）设l是直线,a,是两个不同的平面,则下列命题正确的是（）a若a/a,l/,则a/b若l/a,l丄,则a丄 c若a丄,l丄a,则l丄d若a丄y3,l/a,则l丄【答案】b 14（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学文试题 ）设a,b是夹角为30的异面直线,则满足条件“”的平面（）a不存在b有且只有一对c有且只有两对d有无数对【答案】d 15（湖北省浠水一中2013届高三模拟考试文科数学试卷）已知一个几何体的三视图如下,正视图和俯视图是两个等腰梯形,长度单位是厘米,那么该几何体的体积是 正视图3侧视图俯视图4242（）abcd【答案】b由图可知,该几何体是上下底面试正方形,高度是3的四棱台,根据台体的体积公式得:,故选b 16（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（三）（word版） ）某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是【答案】d 17（湖北省重点高中2013届高三五月模拟考试文科数学word版 ）某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为2,则该几何体的表面积为 正视图侧视图俯视图（第8题）（）abcd【答案】b 18（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学文试题 ）点p的底边长为,高为2的正三棱柱表面上的动点,mn是该棱柱内切球的一条直径,则 取值范围是（）a0,2b0,3c0,4d2,2【答案】c 19（湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（文）试题）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是【答案】c 【编号】226 【难度】一般20（湖北省八校2013届高三第二次联考数学（文）试题）已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为,直径为4的球的体积为,则 主视图侧视图.42俯视图（）abcd【答案】a 二、填空题21（湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测数学（文）试题）某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积是_. 【答案】 22（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（文）试题）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_【答案】 23（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（二）（word版） ）某几何体的三视图如图所示,它的体积为_【答案】 24（2010年高考（湖北文）圆柱形容器内盛有高度为8厘米的水,若放入三个相同的球,(球的半径和圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是_cm.【答案】4 25（2012年湖北高考试题（文数）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_.侧视图正视图442俯视图11第15题图【答案】 【编号】472 【难度】一般26（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（）数学（文）试题）一个底面是等腰直角三角形的直棱柱,侧棱长与底面三角形的腰长相等,其体积为4,它的三视图中俯视图如图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的对角线长为_. 【答案】 27（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学文试题 ）若一个圆台的主视图如图所示,则其全面积等于_. 【答案】 28（湖北省七市2013届高三4月联考数学（文）试题）某三棱锥p-abc的正视图为如图所示边长为2的正三角形,俯视图为等腰直角三角 形,则三棱锥的表面积是_. 【答案】; 29（湖北省荆州市2013届高三3月质量检测（）数学（文）试题）点o是等腰rtabc底边bc的中点,ab=1,过点o的动直线与两腰或其延长线的交点为q、r,则有saqr =saoq +saor,所以=_;类比平面结论,拓展到空间有: 设o是正三棱锥p-abc的面abc 的中心,pa,pb,pc两两垂直且pa=1,过点o的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为q、r、s,则有_. 【答案】2 30（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（文）试题(试题与答案纯word版)）如图,正方体的棱长为1,分别为线段上的点,则三棱锥的体积为_.【答案】【解析】因为点在线段上,所以,又因为点在线段上,所以点到平面的距离为1,即,所以. 【答案】 31（湖北省八市2013届高三3月联考数学（文）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为_. 第15题图【答案】 三、解答题32（2009年全国高考文科数学试题及答案-湖北卷）如图,四棱锥的底面是正方形,平面,点是上的点,且()求证:对任意的(0、1,都有;()若二面角的大小为600,求的值.【答案】()证法1:连接,由底面是正方形可得acbd. sd平面,bd是be在平面上的射影, 由三垂线定理得 ()解法1:sd平面,平面, sdcd. 又底面是正方形,又,cd平面 过点d在平面内做dfae于f,连接cf,则cfae, 故cfd是二面角c-ae-d 的平面角,即cfd=60 在rtade中,ad=, de= , ae= . 于是, 在rtcdf中,由cot60= 得,即=3 , 解得= ()证法2:以d为原点,的方向分别作为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则, , 即对任意的(0,1,都有 ()解法2:为平面的一个法向量 设平面的一个法向量为, 则 即 取,得 由(0,1,解得 33（湖北省黄冈市2013届高三4月调研考试数学（文）试题）如图,三棱柱abca1b1c1的侧面aa1b1b为正方形,侧面bb1c1c菱形,cbb1=60,abb1c.(1)求证:平面aa1b1b平面bb1c1c;(2)若ab=2,求三棱柱abca1b1c1体积.【答案】解:()由侧面aa1b1b为正方形,知abbb1. bcb1oc1a1a 又abb1c,bb1b1c=b1,所以ab平面bb1c1c, 又ab平面aa1b1b,所以平面aa1b1bbb1c1c ()由题意,cb=cb1,设o是bb1的中点,连结co,则cobb1. 由()知,co平面ab1b1a,且co=bc=ab=. 连结ab1,则vc-abb1=sabb1co=ab2co= 因vb1-abc=vc-abb1=vabc-a1b1c1=, 故三棱柱abc-a1b1c1的体积vabc-a1b1c1=2 34（湖北省武汉市2013届高三第二次（4月）调研考试数学（文）试题）如图,ma丄平面abcd,四边形abcd是菱形,四边形 adnm是平行四边形.(i)求证:acbn;(ii)当点e在ab的什么位置时,an/平面mec,并加 以证明.【答案】 35（湖北省重点高中2013届高三五月模拟考试文科数学word版 ）已知直三棱柱中,为中点,为中点,侧面为正方形.()证明:;()设,若,求这个三棱柱体积的最大值.【答案】解()直三棱柱中,侧面垂直于底面,又,为中点,故 所以,所以 为正方形,又为中点,为中点, 所以 ,所以 () 令 则,令,得或(舍去) 因为时,时, 所以在递增,在递减,故,此时 所以当时,取最大值 36（2012年湖北高考试题（文数）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱. ()证明:直线平面; ()现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知,(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元? a2b2c2d2cbada1b1c1d1第19题图【答案】解:()因为四棱柱的侧面是全等的矩形, 所以,. 又因为,所以平面abcd. 连接bd,因为平面abcd,所以. 因为底面abcd是正方形,所以. 根据棱台的定义可知,bd与b1 d1共面. 又已知平面abcd平面,且平面平面, 平面平面,所以b1 d1bd. 于是 由,b1 d1bd,可得,. 又因为,所以平面. ()因为四棱柱的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以 . 又因为四棱台的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形, 所以 . 于是该实心零部件的表面积为, 故所需加工处理费为(元). 37（湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学文试题 ）如图,四棱锥p-abcd的底面是矩形,侧面pad丄底面abcd,. (i )求证:平面pab丄平面pcd(ii)如果 ab=bc=2, pb=pc=求四棱锥p-abcd的体积.【答案】解:()因为四棱锥p-abcd的底面是矩形,所以cdad, 又侧面pad底面abcd,所以cdpa. 又apd=,即papd,而cdpd=d,所以pa平面pcd. 因为pa平面pab,所以平面pab平面pcd abcdpo ()如图,作poad,垂足为o,则po平面abcd. 连结ob,oc,则poob,pooc. 因为pb=pc,所以rtpobrtpoc,所以ob=oc. 依题意,abcd是边长为2的正方形,由此知o是ad的中点 在rtoab中,ab=2,oa=1,ob=. 在rtoab中,pb=,ob=,po=1 故四棱锥p-abcd的体积v=ab2po= 38（湖北省襄阳市2013届高三3月调研考试数学（文）试题）在等腰梯形pdcb中,dcpb,pb=3dc=3,pd=,dapb,垂足为a,将pad沿ad折起,使得paab,得到四棱锥p-abcd.(1)证明:平面pad平面pcd;(2)点m在棱pb上,平面amc把四棱锥p-abcd分成两个几何体,当这两个几何体的体积之比=时,证明:pd/平面amc.【答案】(1)证:因为在等腰梯形pdcb中,dapb, abdcopmn 所以在四棱锥p-abcd中,daab,dapa 又paab,且dcab,所以dcpa,dcda 而da 平面pad,pa 平面pad,pada = a, 所以dc平面pad 因为dc 平面pcd,平面pad平面pcd (2)解:因为dapa,且paab 所以pa平面abcd, 又pa 平面pab, 平面pab平面abcd 过m作mnab,垂足为n 则mn平面abcd 在原等腰梯形pdcb中,dcpb, pb = 3dc = 3,pd =,dapb pa = 1,ab = 2, 设mn = h,则 ,解得 在pab中, 故 在梯形abcd中,连结bd交ac于点o,连结om 易知aobdoc, 故,所以在平面pbd中,有pdmo 又因为pd 平面amc,mo 平面amc, pd平面amc 39（2011年全国高考文科数学试题及答案-湖北）如图,已知正三棱柱-的底面边长为2,侧棱长为,点e在侧棱上,点f在侧棱上,且,.(i) 求证:;(ii) 求二面角的大小.【答案】本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法,同时考查空间想象能力和推理论证能力.解法1:()由已知可得 于是有 所以 又 由 ()在中,由()可得 于是有ef2+cf2=ce2,所以 又由()知cf c1e,且,所以cf 平面c1ef, 又平面c1ef,故cf c1f. 于是即为二面角ecfc1的平面角. 由()知是等腰直角三角形,所以,即所求二面角ecfc1的大小为. 解法2:建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得 () (),设平面cef的一个法向量为 由 即 设侧面bc1的一个法向量为 设二面角ecfc1的大小为,于是由为锐角可得 ,所以 即所求二面角ecfc1的大小为. 40（2008年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案-湖北卷）如图,在直三棱柱中,平面侧面()求证: ()若,直线ac与平面所成的角为,二面角【答案】 ()证明:如右图,过点a在平面a1abb1内作ada1b于d,则由平面a1bc侧面a1abb1,且平面a1bc侧面a1abb1=a1b, 得ad平面a1bc.又bc平面a1bc 所以adbc. 因为三棱柱abc-a1b1c1是直三棱柱, 则aa1底面abc,所以aa1bc. 又aa1ad=a,从而bc侧面a1abb1, 又ab侧面a1abb1, 故abbc. ()证法1:连接cd,则由()知acd就是直线ac与平面a1bc所成的角,aba1就是二面角a1-bc-a的平面角,即acd=,aba1=j. 于是在rtadc中,sin=,在rtada1中,sinaa1d=, sin=sinaa1d,由于与aa1d都是锐角,所以=aa1d. 又由rta1ab知,aa1d+j=aa1b+j=,故+j=. 证法2:由()知,以点b为坐标原点,以bc、ba、bb1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设ab=c(c0,与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角. sinq=cosb=, cosj= 所以sinq=cosj=sin(),又0q,j,所以q+j=. 41（湖北省黄冈中学2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题）如图,棱柱的侧面是菱形,底面是边长为4的等边三角形,且.()求证:平面平面;()设是棱上的点,且平面,当时,求与平面 所成的角的正切值.第20题图【答案】解答:(1)证明:侧面是菱形,又 故平面,所以平面平面. ()记与的交点为,连结. 平面,与平面所成的角为. 平面,为的中点,为的中点. 因为底面是边长为4的等边三角形, 则中, 故与平面 所成的角的正切值为 42（湖北省黄梅一中2013届高三下学期综合适应训练（四）数学（文）试题 ）如图:直角梯形abcd中,adbc,abc=90,e、f分别是边ad和bc上的点,且efab,ad =2ae =2ab = 4fc= 4,将四边形efcd沿ef折起使ae=ad.(1)求证:af平面cbd;(2)求三棱锥cabf的体积【答案】(1)证明: , 所以延长会相交,设, 则, ,所以四边形是平行四边形, ,又平面, 平面; (2), , , , 又, 平面,又, 平面, 所以 43（湖北省浠水一中2013届高三模拟考试文科数学试卷）已知平面平面,矩形的边长,.(1)证明:直线平面;(2)求直线和底面所成角的大小.abcdp【答案】(1)因为四边形是矩形 ,又平面 平面 所以直线平面 (2)由条件平面平面 平面平面 abcdpe 过点p作,又因为 根据平面和平面垂直的性质定理得 平面,平面 所以,直线是直线在平面内的射影 直线和底面所成角, 且 在中, 因为所以 在中, , 直线和底面所成角的大小为. 44（2011年全国高考文科数学试题及答案-湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆 /千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆 /千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当时,车流速度v是车流密度x的一次函数.(i)当时,求函数v(x)的表达式;(ii)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).【答案】本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解:()由题意:当;当 再由已知得 故函数的表达式为 ()依题意并由()可得 当为增函数,故当时,其最大值为6020=1200; 当时, 当且仅当,即时,等号成立. 所以,当在区间20,200上取得最大值 综上,当时,在区间0,200上取得最大值. 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时. 45（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（二）（word版） ）在如图所示的几何体中,四边形abcd是等腰梯形,ab/cd,dab =600,fc丄平面 abcd,ae丄bd,cb=cd = cf(i)求证:bd丄平面aed;(ii)求二面角f-bd-c的余弦值.【答案】 46（湖北省武汉市2013届高三5月模拟考试数学（文）试题(试题与答案纯word版)）如图,在四棱锥中,底面是矩形,.(i)求异面直线与所成角的正切值;(ii)证明平面平面;(iii)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】解:(1)如图 在四棱锥中,因为底面是矩形,所以,且,又因为,故或其补角是异面直线与所成的角. 在中,所以异面直线与所成角的正切值为2. (2)证明:由于底面是矩形,故,又由于,因此平面,而平面,所以平面平面. (3)在平面内,过点作交直线于点,连接.由于平面平面,由此得为直线与平面所成的角. 在中,可得 在中, 由平面,得平面,因此 在中,在中, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 47（湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学文试题（三）（word版） ）如图,在直三棱柱abc-a1b1c1中,ab=aa1,(i)证明:cb=丄ba1;(ii)已知ab=2,bc=,求三棱锥c1-aba1的体积.【答案】 48（2010年高考（湖北文）如图.在四面体aboc中,oc oa,oc ob, aob=1200,且oa=ob=oc=1.()设p为ac的中点,q在ab上且ab=3aq.证明: pq oa;()球二面角o-ac-b的平面角的余弦值.【答案】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.解法一: ()在平面oab内作, 在, 在cn. 由 cn,知 ()连结pn,po. 由 解法二: (1)取o为坐标点,以oa,oc所在的直线为轴,z轴,建立空间直角坐标系(如图所示). 则a(1,0,0),c(0,0,1),b( 又由已知,可得 ()记平面abc的法向量 得 故可取 又平面oac的法向量为 的平面角是锐角,记为,则 49（湖北省七市2013届高三4月联考数学（文）试题）如图,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,已 知平面aa1c1c丄平面abcd,且ab=bc=ca=, ad = cd =1(i)求证:bd丄aa1;(ii)若四边形acc1a1是菱形,且=600,求四棱柱 abcd-a1b1c1d1 的体积.【答案】解:()在四边形中,因为,所以 又平面平面,且平面平面 平面,所以平面 又因为平面,所以. ()过点作于点, 平面平面 第19题图e 平面, 即为四棱柱的一条高 又四边形是菱形,且, 四棱柱的高为 又 四棱柱的底面面积, 四棱柱的体积为 50（湖北省八市2013届高三3月联考数学（文）试题）如图所示,四棱锥中,底面是边长为2的菱形,是棱上的动点.()若是的中点,求证:/平面;()若,求证:;(iii)在()的条件下,若 ,求四棱锥的体积.第20题图【答案】()证明:连结,交于. 因为底面