曾谨严量子力学习题解答3.pdf

1 曾 P 180 练习3 证明 2 2 0 0 0 lr lp lr p r r xyz r pxpypzp r r 证明 1 先以分量为例来计算 x l 2222 xx l rlxyz 222 00 0 xxx xxxxxx l xlyl z x l xl x xy lyly yz l zl z z yi zi zyzi yi yz hhhh 2 0 y l r 同理 易证得 2 0 z l r 由此可证 2 0 lr x y z 证毕 2 我们仍以分量为例来计算 2222 xxxyz lplppp x l 222 00 0 xxxyxz xxxxxxyxyxyyzxzxzz yzzyzyyz lplplp plplppplplppplplpp p i pi p pp i pi p p hhhh 同理 易可证得 2 0 y lp 2 0 z lp 因此可得 2 0 lp x y z 证毕 3 我们仍以分量为例来计算 x l xxxyz l r pl xpypzp r r xxxyxz xxxxxyxyxzxz l xplypl zp x lplpxy lplpyz lplpz 00 0 zzyy yi pi p yzi pi p z hhhh 0 y l r p 同理 亦可证得 r r 0 z l r p r r 由此可得 0 lr p r r x y z 证毕 2 曾 P 238 3 设是 的可微函数 证明 q pif q h q 2 2 22 22 2 2 2 q p fi pf q pfpifppf q fpi fp p p fp f i p pfppf p i p fpf pi fp i h h h h h h h 证明 222 q p fq pfpq f 0 2 q p pfp q p f i pfi pf i pf hh h a a b c d e f b q pfpq pf ppf q p 0 q p fpp q f ppf q p i fppfi ifppf hh h c 22 q fpq ff q p 2 0 2 fq p fp q pf q p p fpifi fp i fp hh h d 2222 p p fp pfpp fpp f 设为任意一个对可微的波函数 于是有 q p fpffp ff iqiq f ff iqiqiq hh hhh f f iqi hh 即 p ff i h 因此有 22 p p fp f i h e p pfpp pf ppf p p 0 0 p pf p p p f pp p fp p p f p pf p i h 222 p fpp f pfp p f 2 0p f p f p i h 3 曾 P 238 5 证明 1 1 0 n nsn s s A BBA B B 并由此证明 1 nn q pni p h 证明 用反证法 1 当时 2n 2 A BB A BA B B 满足该式 2 假设当时成立 即 1nk 2 12 0 k ksn s s A BBA B B 那么 当时 n k 111 kkkk A BA BBB A BA B B 2 21 0 2 1111 0 k sksk s k kssk s BBA B BA B B BA B BA B B 1 11 1 1 1 0 k sksk s k sks s BA B BA B B BA B B 公式也成立 证毕 当时 有 Aq Bp 1 1 0 n nsn s s q ppq p p 1 1 0 1 n n s n i p ni p h h 4 曾 P 239 11 曾练习P94 4 1 设 为矢量算符 的直角坐标分量记为 1 2 3 其余类推 A r B r C r A r A 的标积和矢积定义为A r B r A BA B rr ABA B rr 为Levi Civita符号 试验证 ABCABCA B C ABCAB CA B C ABCAB CAB C rrrrrr rrrrrrr rrrrrrr 证明 1 ABCABCAB CA B C rrrrr ABCABCA B CA B C rrrrr ABCABCA B C rrrrrr 证毕 2 验证 我们以第一分量为例 ABCAB CA B C rrrrrrr 23 32 1 ABCABCA BC rrrrrrr 左端为 2122133113 21231322331 ABCB CA B CBC A BCA BCA BA B C 右端为 11111212313 ABCA B CABCA BCA BC rrr r 1122331 ABA BA B C 21231322331 A BCA BCA BA B C 可见 左端与右端相等 该式成立 证毕 ABCAB CAB C rrrrrrr 验证 我们仍以第一分量为例 左端为 32 23 1 ABCABCABC rrrrrrr 3113312212 31321212233 A BAB CABA B C A BCA BCA B CB C 3 右端为 11111212313 ABCA B CABCA BCA BC rrrr 1112233 A BCB CB C 31321212233 A BCA BCA B CB C 可见 左端与右端相等 该式成立 证毕 5 曾 P 185练习11 证明 ABBA 与是任意两个算符 A B 证明 根据转置算符的定义 有 ABABBA AB AB BA 其中 为任意波函数 ABBA 证毕 6 曾 p 186练习15 设为Hermite算符 则 A B 1 2 ABBA 及 1 2 ABBA i 也是Hermite算符 由此证明 任何算符可以分解为 O OOiO 其中都是Hermite算符 11 22 OOOOOO i 证明 已知为Hermite算符 即 A B AA B B 11 22 ABBAABBA 1 2 1 2 1 2 B AA B BAAB ABBA 可见 是Hermite算符 1 2 ABBA 同理 11 22 ABBAABBA ii 1 2 1 2 1 2 B AA B i BAAB i ABBA i 可见 也是Hermite算符 1 2 ABBA i ABB ABA 由于 即为任意算符 因此我们令 则 AB OAB OBA 11 22 OOOABBA 11 22 OOOABBA ii 由上面的证明易知 均为Hermite算符 OO 和 11 22 OABABBAiABBA i OO 证毕 7 曾 P 241 28 求证力学量与的不确定关系x x F p 22 2 x F xF p h 方法一 证明 根据不确定关系有 221 2 xFx F 1 0 0 0 0 n n xx n n n xx n F F pp n F x F pxp n Q 0 0 n n x n F x p n 1 0 0 n n x n x F ni p n F i p h h 代入 1 式可得 22 2 x F xF p h 证毕 方法二 在动量表象下 x xi p h 设任意一波函数 将作用在该波函数上 有 x p x F xx x FxFFxiFFi pp hh xxx x F i FiFi ppp F i p hhh h x F x Fi p h 代入 1 式可得 22 2 x F xF p h 8 曾 P196练习 试求粒子坐标的三个分量的共同本征态 x y z 解 对分量 满足的态方程如下 x 0 xxxx 其中为 相应本征函数的本征值 0 xx x 解得 0 xxx 同理有 0 0 yyy zzz 0 y 0 z 相应的本征值为 相应的本征值为 0 x yy zz x x y z Q 可以具有相同的本征函数 即 000 x y zxyzxxyyzz 相应的本征值为 000000 xy zxy z 实 9 曾 P 242 33 设属于某能级有三个简并态 彼此线形无关 但不正交 试找出三个彼此正交归一化的波函数 它们是否正交 E 123 解 设三个彼此正交的波函数为 11 221 3321 f fA fBC 令 11 Mf 为归一化的波函数 其中为归一化系数 M 由归一化条件 可求得 2 1 1 11 1 M ff 因此我们可得 11 1 1111 f ff 1 2 3 4 由于和正交 即 12 0ff 1 f 2 f 121 0A 即 1211 0A 1212 11 11 12 2212121 11 A f 归一化波函数为 2 2 22 f ff 3321 fBC 3211 321 B fAC BfCBA 由 有 13 0ff 1311 1313 11 11 0 CBA CBA 由 有 23 0ff 2322 2323 22 22 0 fB ff f B ff ff 2313 3321 2211 ff ff 3232131 归一化 3 3 33 f ff 123 Q是的线性叠加 12 3 123 仍然简并 10 曾 P 181 练习6 0 l V r 证明 r V r 证明 xxyyzz ll el el e r rrr xxyyzz l V rl V rel V rel V re r rrr 在球坐标系中 sincotcos coscotsin x y z li li li h h h 而只是的函数 与 无关 V rr r 是径向坐标的函数 r r 所以 0 xyz l V rl V rl V r 0l V r 故有 r 证毕 11 曾 p 181 练习7 证明 2222 2 22 1 2222 r pll Tr m rrrmrmmr h 2 1 i rr h r p 其中 证明 22 2 2 2 22222 2 22 2 2 2 222 22 111 sin sinsin 11 sin sinsin 1 p T mm r rrrrr l l r rrrr h r h r h 2 2 于是 22 2 22 1 22 l Tr m rrrmr r h 222 2 222 1 2 22 l rr m rrrmr r h 在球坐标系中 而 所以 222 22 2 22 l mrrrmr r h 故而 22 2 22 r pl T mmr r 证毕 12 曾p 240 练习16 曾练p 96 证明3 22 2 2 1 11 2 2 pi r r r p rrr pri p rr h h rrr h 2 2222 22 32 2 46 1 2 p ri r prr r rrr p rrrrr rr h hh rrr h 证明 利用对易关系 p F riF rr h 即得 3 11 r pii rrr r r hh 再利用公式 见题4 2 即得 22 3333 11111 2 rr pppppir ppir p rrrrrrr rr rrrrrr rrr r hhh K A B FA FBAB F rrrrrr 但因 33335 1133 0 rr rrr rrrrr rr rrr 所以 22 32 111 22pir p rrrr rr r hh 其次 利用式 1 可得 22 2p riri r rr hh 2222 prp rppp r rrrrr 2 2 22 2 42 46 46 ir pp r i r pr i r p r r r rr r h r rr hh r r hh hh 最后 利用对易式 2 2 2 p prii p p rrr hh r 以及式 即得 222 11 r pprrp rrr r rrrr r 3 3 2 33 2 32 11 22 11 22 1 22 11 2 i pi rr p rr r ipiir p rrr rr ir pp rrr r r rrrr rrr r hh r rr r hhh rr r rr hh r r h 证毕 13 曾p 361 练习19 设粒子在无限长的圆筒中运动 筒半径为 求粒子能量 a 解 采用柱坐标系 势 0 V 0a a 当时 a 当时 波函数满足薛定谔方程 即 0a 222 222 11 0 2 E m h 令代入 式 得 RZ z 2 222 2 0 d Rz dRRzmE zdR zR z dd h 方程两边乘以即 2 zR 222 2 22 2d RdRzmE R dR dz h 0 满足自然边界条件 代入 式 得 2 m 22 222 11 2 d RdRmmEz R dR dz h 则 22 22 1 0 d RdRm R dd 设 代入 得 x 22 22 1 10 d RdRm R dxx dxx 为阶方程 m 所以 m RJxJ 0 a 即 0R a 2 2 0 mm m m Jaa a 是 0 m Jx 的第个根 1 2 L 由于粒子在无限长圆筒中运动 所以在方向相当于自由粒子 即 z 1 2 ikz Z ze h 所以 2 2 1 2 ikz zikek Z h bessel 即 2 0zk z 由 式 可得 2 2 0 mE zE h 将上式与 相比较 有 2 2 2mE k h 所以粒子能量为 2 22 22 22 0 1 2 m k m Ekk mma m hh L 14 曾p 358 练习5 对于氢原子基态 求验证不确定度关系 x xp 解 氢原子基态波函数为 0 100 3 0 1 r a e a 宇称为偶 由于均为奇宇称算符 所以x x p 0 0 x xp 由于各向同性 呈球对称分布 显然有 100 2222 2222 1 3 1 3 xyz xyzr pppp r