概率论方法证明数学公式的若干实例.pdf

2013 年 3 月 第 22 卷增刊 中央民族大学学报 自然科学版 Journal of MUC Natural Sciences Edition Mar 2013 Vol 22No Suppl 收稿日期 2012 11 02 基金项目 国家自然科学基金 No 11171342 中央民族大学 优秀课程 建设项目资助 作者简介 阮丹 1989 女 汉族 湖北人 中央民族大学理学院 2008 级本科生 研究方向 统计学及应用 通讯作者 徐赐文 1963 男 汉族 湖北人 中央民族大学理学院教授 研究方向 金融统计和密码学 概率论方法证明数学公式的若干实例 阮丹 徐赐文 中央民族大学 理学院 北京 100081 摘要 本文主要通过举例说明利用概率论的方法来解决初等代数和数学分析中的一些问题 利用概率的 性质和方差的非负性证明不等式 利用中心极限定律求极限 并阐明利用概率方法的关键是根据不同的数学 问题建立相应的随机模型 然后利用相关定理证明 从中显示出概率方法在应用上的广泛性和优越性 关键词 概率论 不等式 概率模型 大数定律 中图分类号 O211文献标识码 A 文章编号 1005 8036 2013 增刊 0094 04 引言 半个世纪以来 随着概率论突飞猛进的发展 获得了举世公认的进步 并以其独特的思想方法 丰富 的内容 严谨的理论被广泛应用于金融 经济 生物和其他数学分支中 利用概率论的思想方法来证明数 学公式是十分重要的 然而如何借助于概率的概念 性质 公式和定理 恰当地构造出概率模型来解决其 他实际问题呢 这是我们今后要解决的主要问题 本文着眼用概率论方法证明数学公式 首先 介绍了概率论的发展简史 然后 介绍了通过构建概率 模型 利用中心极限定理求证极限 利用方差 概率的性质证明不等式 利用常见分布的数学特征 特征 函数以及辛钦大数定律证明积分 1通过构造事件证明恒等式 恒等式一般比较复杂 而所学的知识有限 所以在面对一个恒等式时往往显得无从下笔 如果能够 恰当地运用概率论求非负整值随机变量的数学特征的方法 构造事件并建立有关的概率模型 即可从实 际问题中对恒等式进行证明 下面举一些数学公式证明过程加以说明 例 1 1 如果 m n 都是正整数 证明 m 1 i 1 Ci 1 m Ci 1 n m n m 1 n 1 证明构造概率模型 袋中有 n 个白球与 m 个黑球 随机地将球取出来 直到取出白球为止 求取 出的球数 的数学期望 因为事件 i 在取出的前 i 1 个球全是黑球时才发生 所以 P i 增刊阮丹等 概率论方法证明数学公式的若干实例 Ci 1 m Ci 1 n m i 1 2 m 1 故 m 1 i 1 Ci 1 m Ci 1 n m 假定把 n m 个球全部从袋中取出来 令 1表示第 1 个白球之前的黑球的个数 n 1表示最后一个白球之后的黑球的个数有 1 2 3 n 1 m 对此式两边取数学期望 由于 n 个白球的分布是均匀的 所以 1 2 n有相同的分布 故 1 2 n 1得 i m n 1 i 1 2 n 1 1 1 1 1 1 m n 1 n m 1 n 1 即证得 2用概率论思想证明不等式 证明不等式是初等数学的难点 如果能灵活运用概率的概念 公式和性质 恰当地构造事件或者随机 变量 就可以证明一些不等式 达到意想不到的效果 2 1利用数学期望的定义和性质证明 例 2 2 设 an bn 均为正的收敛数列 则 k 1 bk 2 k 1 akbk k 1 bk ak 证明对于正的收敛数列 an 可以构造离散型随机变量 P ak Ck 0 显然 k 1 Ck 1 再利用随机变量 的数学期望和其函数 1 的数学期望的乘积不小于 1 即 E E 1 1 得 k 1 akck k 1 ck ak 1 选取 Ck bk k 1 bk 0 代入上式即证得 2 2利用方差的非负性证明不等式 例 3 3 设 0 f x 为某一实函数 若 k 0 f k k k k 0 f2 k k k 则成立不等式 k 0 f k k k 2 e k 0 f2 k k k 证明设随机变量 服从参数为 的泊松分布 其分布列为 P k ke k k 0 1 2 则 Ef k 0 f k k k e e k 0 f k k k Ef2 k 0 f2 k k k e e k 0 f2 k k k 由于 Ef2 Ef 2 即证得 2 3利用 Holder 不等式证明不等式 例 4 3 设 1 1 1 1 1 ai bi R i 1 2 n 则成立 59 中央民族大学学报 自然科学版 第 22 卷 n i 1 aibi n i 1 ai 1 n i 1 bi 1 证明设二维离散型随机变量 和 具有联合分布列 则 E a1b1 n a2b2 n anbn n n i 1 aibi n E a1 n a2 n an n n i 1 ai n E b1 n b2 n bn n n i 1 bi n 从而由 Holder 不等式 E E 1 E 1 知 即证得 3概率论方法推广到数列求极限 级数求和 3 1构造概率分布模型证明极限 例 5 4 证明 lim n n k 1 nk k e n 1 2 证明 建立如下的随机模型 设 Xk 是相互独立的随机变量序列 且都服从参数为 的泊松分布 有X k 的可加性知 n k 1 Xk服从参数为 n 的泊松分布 因此有 P n k 1 Xk n n k 1 nk k e n 故由林德贝格 勒维中心极限可知 lim n n k 1 nk k e n 1 2 3 2利用事件的完备性和古典概型证明级数的求和公式 例 6 5 证明 a1 i 2 aj i 1 j 1 1 aj i 1 1 aj 1 其中 0 aj 1 i 1 2 证明建立如下随机模型 投掷无限多个不均匀硬币 其中第 i 个硬币是正面的概率为 ai i 1 2 令 Ai 第 i 个硬币是正面 Bi 直到第 i 个硬币出现正面 则 B1 A1 Bi A1 Ai 1A i i 2 3 且 i 1 Bi i 1 Ai 必然事件 上述各个事件是互不相容的 而且是相互独立的 故有 P i 1 Bi i 1 Ai i 1 P Bi P i 1 Ai P A1 i 2 i 1 j 1 P Aj P Ai i 1 P Ai a1 i 2 i 1 j 1 1 aj j 1 1 ai 1 69 增刊阮丹等 概率论方法证明数学公式的若干实例 4结论 本文从利用概率的性质到构造概率模型出了详细的论述 从上述例子得知 概率论是一门研究随机 现象中的数量规律的科学 利用概率论的思想方法证明等式 不等式等数学公式有一定的优越性 其关 键问题是根据式子的具体形式如何构造出概率模型 再利用概率的有关概率分布 性质 中心极限定律 大数定律等来解决问题 同时我们还发现 运用概率论思想来证明问题时其方法的简捷 独特 值得我们 恰当利用概率思想分析以前的数学问题 寻求解法创新 有助于加深对概率知识的理解和掌握 从而培 养和激发我们的创造力 使概率论的思想在数学的其他分支中得到更广泛的应用 参考文献 1 姚仲明 两类分析问题的概率论方法 J 安庆师范学院学报 1995 1 2 60 63 2 余宏旺 概率论思想方法在代数中的应用 J 安徽农业技术师范学院学报 2001 15 1 54 56 3 姚志健 概率论的思想方法在证明数学不等式中的应用 J 甘肃联合大学学报 2009 23 6 85 88 4 易艳春 例谈概率论在其他数学问题中的应用 J 数学学习与研究 教研版 2008 26 8 97 98 5 徐幼学 用概率论方法解决数学问题的若干实例 J 广州广播电视大学学报 2005 14 1 109 112 Probability Theory Method to Prove Some Examples of Mathematical Formula RUAN Dan XU Ci wen College of Science Minzu University of China Beijing 100081 China Abstract This paper mainly illustrates some problems of algebra and mathematical analysis by the use of probabilistic methods For example using the nature of the probability theory proofs inequality using the central limit theorem proofs limit and the key to clarify the use of probability method is according to the mathematical problem to construct the corr