数论部分答案.doc

数论部分参考答案：一、奇偶性判断2解题思路：5个数中包含3奇2偶，积是奇数只能是奇数乘奇数，那么有3取2即322=3（个）；积是偶数则可以是奇数乘偶数或者偶数乘偶数，奇数乘偶数有32=6（个），偶数乘偶数有1个，所以一共6+1=7（个）。偶数的积多。3解题思路：同2题，3-9这7个数中有4奇3偶，乘积是奇数的有4取2即432=6（个）；积是偶数的有43+322=15（个），6个奇数与15个偶数的和是偶数。5. 解题思路：设这5个数为a,b,c,d,e，根据题意a与b的差是奇数，则a与b的和也是奇数，同理b与c，c与d，d与e，e与a的和分别是偶，奇，偶，奇，全部加起来得：2倍的(a+b+c+d+e)是奇+偶+奇+偶+奇=奇，产生矛盾，所以不可能。7. 解题思路：一共6条直线，恰好3条直线的红圈数是奇数，则另外3条是偶数，那么一条直线一条直线的数，6条直线的红圈数是奇数；而数完6条直线实际上每个圈都被数了2次，那么红圈数应该是偶数，产生矛盾，所以不可能。二、位值原则2. 解题思路：1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a=1111a+111b+11c+d=1370,所以a=1，111b+11c+d=259,所以b=2，11c+d=37，所以c=3，d=4。三、数的整除特征及性质1. 解题思路：设任意自然数为M，当N是1位数时，则有10M+N能被N整除，即10M能被N整除，所以N是10的一位数因数，可以为1，2，5。当N是2位数时，有100M+N能被N整除，即100M能被N整除，所以N是100的两位数因数，可以为10，20，25，50。当N是3位数时，有1000M+N能被N整除，即1000M能被N整除，所以N是1000的三位数因数（且小于130），可以为100，125。3. 解题思路：91=713，而任意一个三位数连续写两遍都能被1001整除，所以连续写1000遍一定能被1001整除，即能被7和13整除。所以要能被91整除。所以a=6,b=44解题思路：1998=9222，既然N能被1998整除，则首先一定能被222整除，即K是3的倍数；干脆让N先除以222，判断得到的商能被9整除就达到题目的要求，设M=N222=1001001001001，M要能被9整除则必须有9个1，所以N要有93=27 个2,K=275. 解题思路：听讲座的12组总人数是6+1=7的倍数。6. 解题思路：10a+b=6(a+b) 4a=5b 所以a=5,b=47. 解题思路：1+2+3+99的和是9的倍数，所以这个189位数是9的倍数。8. 解题思路：142857与428571。若a是希望数，设a=3n（组成n与a的数字相同，顺序不同）。则a是3的倍数，即a的各位数字之和是3的倍数，所以n的各位数字之和也是3的倍数，n是3的倍数。那么a=3n就是9的倍数，同理n也会是9的倍数，所以a=3n是27的倍数。即希望数是27的倍数。两个希望数的积当然是2727=729的倍数。9. 解题思路：设1000A+100B+10C+D+1000D+100C+10B+A是35的倍数则1001（A+D）+110(B+C)是35的倍数，35=57，即要同时是5和7的倍数，（1）1001（A+D）+110(B+C)是5的倍数：因为110(B+C)一定是5的倍数，所以A+D必须是5的倍数（且A与D不能等于0）。A+D=5 (A=1,D=4)(A=2,D=3) (A=3,D=2)(A=4,D=1) 4种A+D=10 (A=1,D=9)(A=2,D=8)(A=8,D=2)(A=9,D=1) 9种A+D=15 (A=6,D=9)(A=7,D=8)(A=8,D=7)(A=9,D=6) 4种一共4+4+9=17（种）（2）1001（A+D）+110(B+C) 是7的倍数：因为1001（A+D）一定是7的倍数，所以B+C必须是7的倍数。B+C=0 (B=0,C=0) 1种B+C=7 (B=0,C=7) (B=1,C=6) (B=6,C=1) (B=7,C=0) 8种B+C=14 (B=5,C=9) (B=6,C=8) (B=8,C=6) (B=9,C=5) 5种一共1+8+5=14（种）1714=238（种）四、质数与合数1. 解题思路：A+18=B+14=C+35,C的奇偶性与A,B不同，所以C=22. 解题思路：111111=2+111109（9的倍数），不可能4. 解题思路：1764=223272=14779=334775. 解题思路：一个数与它的反序数要么都被3或9整除，要么都不能；要么都被11整除，要么都不能。92565=32511217=（3115）（31117）五、因数与倍数1. 解题思路：设这两个数分别为5a,5b（a与b互质）2. 解题思路：两个数a,b的积等于这两个数的最大公因数和最小公倍数的积。所以可以先求两数的最大公因数360/120=3，然后解法同第1题。3. 解题思路：一个数的因数是成对存在的，最小的和最大的，第二小的和第二大的而每一对两个因数的积都等于这个数本身。设这个数是A，最小的因数是1，则第2小的因数是3，最大的因数是A，第2大的因数是900-A，3（900-A）=A 所以A=6754. 解题思路：设这个数最小的因数是1，第2小的因数是n，则其最大的因数是第2大因数的n倍，设第2大因数是x，则有x+nx=123 x(n+1)=123=3*41 都尝试下，得n=2,x=41，所以这个数是241=825. 解题思路：设这100个数的最大公因数为n,这100个数表示为a1n,a2n,a3na100n(a1,a2a100互质)所以a1n+a2n+a3n+a100n=n(a1+a2+a3+a100)=6666=66101 所以n=666. 解题思路：设a=3m5n b=3x5y 75=352 所以m和x中较小的那个等于1，n和y中较小的那个等于2。 而且(m-1)（n-1）=12 （x-1）(y-1)=10，通过枚举解决7. 解题思路：可以看作是从左到右每隔5厘米和4厘米染色，则45=20厘米为一个周期，所以只用研究20厘米长的绳子有多少段1厘米的小段就行了。六、余数问题1. 解题思路：只能选两个除以3余数相同的，再加一个被3整除的。2. 解题思路：可以选3个除以3余数相同的，或者除以3的余数分别为1，2，0的。3. 解题思路：取出若干张并将每张都剪成7张小纸片即多了6n张，5+6n=1991 n=331所以可以做到。4. 解题思路：整体考虑，两种拿法要么减去3的倍数个，要么总数不变，由于原来3堆的总数1999+962+86=3047 不是3的倍数，所以拿不完。6. 解题思路：除以7余2，即少5；除以8余3，也是少5。所以满足这两个条件的最小自然数为78-5=51，再去枚举使51+56n除以9余1，n=2时 51+562=163 是最小的满足所有条件的数，然后加上（7，8，9）=504的倍数使这个数在1000到1200之间。163+5042=1171.7. 解题思路：设这个数为A，则A除以2余1，2A除以3余2，3A除以5余4，则A除以2余1，除以3余1（22=1），除以5余3（5+4=9，93=3关键），A最小为13.8. 解题思路：每3个人一个苹果，每5个人一个橘子，35=15个人一个周期，所以最少的人数容易得到为159+1=136（人），最多的人在这个基础上，左边可以多4个苹果周期34=12（人），右边可以多2个橘子周期52=10（人） 所以136+12+10=158（人）七、完全平方数1. 解题思路：完全平方数的个位数字只能是1，4，5，6，9。若n=5或者5以上，则123n+3的个位为3，不可能，所以n只能为1，2，3，4。枚举得n=1或3。2. 解题思路：设这个数为,则10a+b+10b+a=11(a+b)是完全平方数，a+b=11所以这个和是121.3. 解题思路：用平方差公式，设这个数为A，A+168=m2 A+100=n2 m2- n2=68 （m+n）(m-n)=2217 又因为m+n与m-n的奇偶性相同，所以m+n=34 m-n=2 m=18,n=16 A=1564. 解题思路：用平方差公式，平方差为3333.5. 解题思路：A=1，4，9。 A=1时 设BCD= n 2 ABCD= m 2 m2- n2=1000 A=4时 设BCD= n 2 ABCD= m 2 m2- n2=4000 A=9时 设BCD= n 2 ABCD= m 2 m2- n2=90006. 解题思路：只有1是完全平方数，其它的数除以4都余3，不可能是完全平方数。7. 解题思路：转动2，4，6，8即偶数次的同学会面向老师；转动奇数次的同学背对老师。而转动的次数和因数的个数有关，所有的完全平方数都有奇数个因数，即1，4，9，16，25，36，49，64，81，100这10个同学背对老师，100-10=90个同学面向老师。八、进位制1. 解题思路：箱子里分别装1，2，4，8，16，32，64，128，256，489个。2. 解题思路：利用加减，可以表示140之间的任何一个整数，即都取3的倍数：1，3，9，27这4个数字可以做到（1+3+9+27=40）3. 解题思路：首先将23补成比23大最小的2n即32，需要补32-23=9（人） 将9转成2进制（9）10=（100