第三章第四章 谱估计习题解答.pdf

第三章 习 题 3 1 试由信号序列的 AR 模型推导出尤利沃克 Yule Walker 方程 n x 解 AR p 模型为 n p l lnln uxax 1 1 其中为白噪声驱动序列 n u0 n uE 22 n uE 2 knuuE kn 在 1 式两端同乘 并取数学期望得 kn x p l knnknlnlknnxx xuExxEaxxEkr 1 p l knnxxl xuElkra 1 则 p l xxl p l xxl xx klkra klra kr 1 1 2 0 0 上式即为尤利沃克 Yule Walker 方程 3 2 见讲义见讲义 70 72 页 页 3 2 试由预测误差滤波器推导出零点格型滤波器的递推公式 解 前向预测误差 1 1 1 1 k l kk k l k k l k f k knxkalnxlanx lnxlanx lnxlanxnxnxne 1 1 由 levinson 递推公式 11 lkakalala kkkk 1 2 1 klL 得 1 1 11 k l kkkk f k knxkalnxlkakalanxne 2 1 1 1 1 11 k l k l kkk knxlnxlkakalnxlanx 后向预测误差定义 3 k l k b k lknxlaknxne 1 则由 2 式得 1 1 11 k l kk f k f k knxlnxlkakanene 上式中括中用代表l则得 lk 1 1 11 k l kk f k f k knxlknxlakanene 则 4 1 11 neknene b kk f k f k 为反射系数 kakk 同理 1 1 k l kk b k nxkalknxlaknxne 1 1 1 1 nxkalknxlkakalaknx k k l kkk 1 1 1 1 1 1 lknxlkanxkalknxlaknx k l k l kkk 1 1 1 1 1 k l kk b k lnxlanxkane 2 1 1 1 nekane f kk b k 1 1 1 nekne f kk b k 5 则由 4 5 式可得格型滤波器的递推公式为 1 1 1 1 11 neknene neknene f kk b k b k b kk f k f k 其中 00 nxnene bf 格型滤波器的结构如下图所示 3 9 证明由下式 1 和 2 给出的前向和后向 AR 过程具有相同的 PSD p k nuknxkanx 1 1 p k nuknxkanx 1 2 证明 对 1 式 1 1 1 1 1 zA zka zH p k k 2 1 2 2 1 1 p k fkj uu uuxx eka fP fPfHfP 3 对 2 式 p k k zka zH 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 p k fkj uu uuxx eka fP fPfHfP 2 1 2 1 p k fkj uu eka fP 2 1 2 1 p k fkj uu eka fP 由上可知前向和后向 AR 过程具有相同的 PSD 3 35 序列用下式来产生 nx 5 0 21 nunxnxnx 其中 2 93 0 1 4 0 1111 nunxnxnx 2 93 0 1 5 0 2222 nunxnxnx 式中 和为互不相关的零均值高斯白噪声 方差为 1 和 均为过程 而则为 nu 1 nu 2 nu 1 nx 2 nx 2 AR nxAR过程加白噪声 因此是 ARMA 过程 的功率谱可 求出为 nx 25 0 93 05 01 1 93 04 01 1 2 2 2 2 jjjj x eeee P 3 36 白噪声中的 AR 过程 假定是一个满足差分方程式 的 AR p 过程 其中是一个均值为 0 方差为的白噪声 nx 1 1 nxanx nepnxap L ne 2 4 简记 且该过程是在一与独立的加性观测白噪声中观测的 即 其中的方差为 求的功率谱 0 2 WNne nx nv nvnxny nv 2 v ny 解 1 1 nepnxanxanx p L 两边取 z 变换 得 1 1 1 zEzazazX p p L 1 1 1 1 1 zAzazazE zX zH p p L pj p jez eaea zHH j L 1 1 1 nx具有谱密度 2 2 2 2 1 2 1 1 A eaea PHP pj p j eexx L 其中 pj p j eaeaA L 1 1 或 2 22 1 2 1 fpj p fj xx eaea fP L nvnxny knvknxnvnxEknynyEkryy knvnvEknxnvEknvnxEknxnxE 因与互相独立 上式中间两项为 0 故 nx nv krkrkr vvxxyy 由功率谱与 自相关函数的关系可知 vvxxyy PPP 所以 2 2 2 2 2 2 2 A A A wP v vyy 5 3 37 二阶自回归过程由 0 2 2211 WNwwxaxax nnnnn 白噪声 高斯分布 给定 证明其功率谱为 4cos22cos 1 21 221 2 2 2 1 2 fafaaaafPx 其中5 00 f 证明 nnnn wxaxax 2211 1 2 2 1 1 zWzazazX 2 2 1 1 1 1 zazazW zX zH 22 2 2 1 1 1 2 fjfjez eaea zHfH fj 2 2 fPfPfHfP wwwwxx 2 1 zPHzHZP uuxx 2 21 2 21 2 4sin2sin 4cos2cos1 fafafafa faaaafafa 2cos2 4cos2cos 21 21 2 2 2 121 2 fafaaaa 4cos22cos 1 21 221 2 2 2 1 2 3 38 一时间序列由 213 02cos 2 2 02cos 20 nvnnnx 6 给定 其中是一个均值为 0 方差为 1 的高斯白噪声 频率为和的两余弦 nv2 0213 0 波互不相关且与独立 求的功率谱 nv nx 解 213 02cos 2 2 2 02cos 2 20 22 krkkkr vvxx 213 02cos2 02cos10 2 kkk v 其中 则 1 2 v 1 213 0 213 0 2 0 10 2 0 10 fffffPxx 注 正弦信号 2 02cos nA 的相关函数 时间相关函数 M Mn M Mn MM knAnA M knxnx M 2 02cos 2 02cos 12 1 lim 12 1 lim M Mn M kkn A M 2 02cos 2 04 0 2 cos 212 1 lim 2 k A 2 02cos 2 2 3 39 一时间序列由 2cos 2 2cos 2 21 nznfnfnx 给定 其中05 0 1 f 并且 是一阶实自回归过程 40 0 2 f nz 1 1 nunzanz nu是方差为的零均值高斯白噪声过程 求的功率 谱密度 两余弦波彼此不相关 2 5 0 1 1 2 a nx 解 2cos 2 2 2cos 2 2 2 2 1 2 krkfkfkr zzxx 2cos 2 2cos 2 21 krkfkf zz 2 2 2211 fPfffffffffP zzxx 7 1 1 nunzanz 1 1 1 1 1 1 zazU zZ zHzUzzZazZ 1 1 1 2 2 fP ea fP uu fj zz 其中 1 2 fPuu 2cos 25 1 1 5 01 1 2 2 f e fj 2cos 25 1 1 2 2 2211 f fffffffffPxx 3 42 如果和是满足下列差分方程的平稳过程 t x t y 0 2 1 WNwwaxx tttt 和 0 2 1 WNzzxayy ttttt 其中 1 a 且和不相关 求的功率谱 t w t z t y 解 1tttt zxayy 令 ttt vzx 则 ttt vayy 1 1 zVzzaYzY 1 1 1 azzV zY zH 1 1 2 2 vv j vvyy P ae PwHP ttt zxv ktktttkttvv zxzxEvvEkr kttkttkttktt zzExzEzxExxE 8 因和不相关 而与皆为高斯白噪声 故和独立 而是由 产生的 所以和也独立 因为 t w t z t w t z t w t z t x t w t x t z0 t zE 故 0 0 kttktt xzEzxE 所以 krkrkr zzxxvv 2 xxzzxxvv PPPp 1 1 1 1 azzw zx waxx ttt 2 2 2 1 1 1 1 j ww j xx ae P ae P 22 22 4 2 2 22 22 cos21 cos22 1 11 1 1 1 1 aa aa ae ae aeae P j j jwj yy 3 44 一平稳过程由 定义 计算并画出该过程的 功率谱 t x ttt zxx 3 99 0 1 0 WNzt 0 x P 谱密度是否显示有振荡性 如果有的话 振荡的近似 周期是多少 计算被滤波过程 t x 3 1 11 tttt xxxy 的谱密度 并比较和在频率 t x t y 3 2 的谱密度值 能够期望该滤波器对的 振荡有何作用 t x 解 ttt zxx 3 99 0 99 01 3 zZzzX 3 99 01 1 zzZ zX zH 3 99 01 1 jez e zHH j 9 2 3 2 99 01 1 j zx e PHP 1 z P其中 0 3cos98 199 1 1 从谱密度图可知有振荡性 振荡的近似周期为 t x 3 2 3 1 11 tttt xxxy 1 3 1 1 3 1 1 1 1 zzzH zX zY zzzXzY 1 9 1 2 2 1 x jj xy PeePHP 3cos98 199 1 9 cos4cos41 cos21 9 1 2 2 x P 当 3 2 时 100 98 199 1 1 x P 0100 3 2 cos21 9 1 2 y P能够期 望该滤波器对的振荡有平滑或减弱作用 t x 3 45 证明白噪声中的实 AR 1 过程之和可用一个 ARMA 1 1 过程作为其模型 其 中 MA 滤波器参数为 2 2222 1 1 1 1 1 1 w w a a b b 的解 对于大的和小的 如何计算 22 w 1 b 证明 实 AR 1 过程 0 1 1 2 WNnununxanx 白噪声与实过程之和 1 AR 0 2 w WNnwnwnxny 因与相互独立 故 nx nw krkrkr wwxxyy 2 wxxyy zPzP 10 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ww zazazAzA 2 1 122 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v w z AzA z BzB zaza zaza 1 1 1 zbzB 故白噪声中的实 AR 1 过程之和可用一个 ARMA 1 1 过程作为其模型 且 1 1 1 1 1 1 1 1 1222 1 zazazbzb wv 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1222 1 aazazabbzbzb wv 因 AR 过程为实过程 1 1 1 1 aabb 1 1 1 1 2222 22 222 ab ab wv wv wv 2 2222 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 w ww v w v w a a a a b b 即 2 2222 1 1 1 1 1 1 w w a a b b 若 2 2 w 较大 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2222 krakr xx k xx 1 0 1 2 a r r xx xx 0 1 1 0 1 1 2 xx xx xxxx ra a r rr 13 1 1 0 2 2 arxx 2 2 1 1 0 a rxx 0 1 xx k xxxx rakrkr 故 1 1 a 和1 1 a 求过程的方差 AR 滤波器的极点在什么位置 可使过程为广义平稳的吗 解 1 复 AR 1 1 1 a 0 1 1 2 WNnununxanx 22 0 var nxErnxEnxEnx xx 1 1 1 1 zazU zX zH AR 滤波器的极点 1 az 若使过程为广义平稳 1 1 0 nunhnxnuE Q 0 nxE 故 0 var xx rnx 1 1 nunxanx 1 1 knxnuEknxnxEaknxnxEkrxx 14 1 1 knxnuEkra xx 0 1 1 0 2