湖南师大附中高三数学第一次月考试题 文（含解析）.doc

2012-2013学年湖南师大附中高三第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）直线ax+by+c=0的斜率k=，斜角为a，则sina=（）abcd考点：直线的斜率专题：计算题分析：首先由斜率和倾斜角的关系以及倾斜角的范围求出，然后根据特殊角的三角函数值得出结果解答：解：直线ax+by+c=0的斜率k=，斜角为tan=又0=120sin=故选：b点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出直线的倾斜角是解题的关键2（5分）（2012北京模拟）当a=3时，下面的程序段输出的结果是（） if a10 theny=2+aelsey=a*aprlnt ya9b3c5d6考点：伪代码专题：阅读型分析：根据a的值判定选择代入相应的解析式，从而求出y的值，即可得到结论解答：解：根据伪代码可知当a10时y=2+a而310，则y=2+3=5所以输出5故选c点评：本题主要考查了伪代码，以及选择结构，同时考查了分析问题的能力，属于基础题3（5分）某几何体的正视图和侧视图均为如图所示，则该几何体的俯视图可能是（）a（1），（3）b（1），（3），（4）c（1），（2），（3）d（1），（2），（3），（4）考点：简单空间图形的三视图专题：证明题分析：由该几何体的正视图和侧视图均为已知图所示，所以该几何体是由上下两部分组成的，其上面是一个球，而下面可能是直四棱柱；第二个是不可能的，不满足球的位置在中间；圆柱根据长对正，宽相等的原则，底面的左右和上下应该是相等的中正（或等腰）三角形显然不满足据此可得出答案解答：解：由该几何体的正视图和侧视图均为已知图所示，所以该几何体是由上下两部分组成的，其上面是一个球，而下面可能是直四棱柱，圆柱第二个是不可能的，不满足球的位置在中间；根据长对正，宽相等的原则，底面的左右和上下应该是相等的，中正（或等腰）三角形显然不满足故该几何体的俯视图（1）、（2）、（3）皆有可能故选c点评：由已知该几何体的正视图、侧视图正确得出原几何体的形状是解决问题的关键4（5分）设函数，且函数f（x）为偶函数，则g（2）=（）a6b6c2d2考点：偶函数；函数的值专题：计算题分析：根据偶函数关于y轴对称可知g（2）与当x=2时的函数值相等即可求解解答：解：为偶函数，令h（x）=x+x2则g（2）=h（2）=6故选a点评：本题主要考查了偶函数的定义的简单应用用，属于基础试题5（5分）设集合a=（，a，b=（b，+），an，bn，且abn=2，则a+b的值是（）a2b3c4d5考点：交集及其运算专题：计算题；阅读型分析：由题意可知集合a和集合b有一个公共的自然数元素2，要使abn=2，且an，bn，只有a=2，b=1解答：解：因为集合a=（，a，b=（b，+），an，bn，且abn=2，则2a，2b，且a、b中仅有一个公共自然数元素，这样应有ba，所以a=2，b=1，此时集合a=（，2，b=（1，+），有abn=2，所以a+b=3故选b点评：本题考查了交集及其运算，考察了数形结合思想，是基础题6（5分）函数，g（x）=3x1，则不等式fg（x）0的解集为（）a1，+）bln3，+）c1，ln3dlog32，+）考点：其他不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得 ，或 分别求出的解集，再取并集，即得所求解答：解：由题意可得 ，或 由可得 ，解得 x1解可得 ，解得 x综上可得，不等式的解集为x|x1=x|x1，故选a点评：本题主要考查其它不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题7（5分）点，则x2+y2的取值范围是（）a4，+）b16，+）cd考点：简单线性规划的应用专题：计算题；数形结合分析：画出约束条件表示的可行域，确定目标函数取得的特殊点，求出范围即可解答：解：约束条件表示的可行域为：显然x2+y2的最小值是原点到直线2x+y4=0的距离的平方，d2=，所以x2+y2的取值范围故选d点评：本题考查解得的线性规划的应用，明确目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合与计算能力8（5分）如图，有一条长为a的斜坡ab，它的坡角abc=45，现保持坡高ac不变，将坡角改为adc=30，则斜坡ad的长为（）aabc2a考点：任意角的三角函数的定义专题：计算题分析：依题意，ac=，在直角三角形adc中，adc=30，由三角函数的概念可求得ad的长解答：解：在等腰直角三角形abc中，斜边|ab|=a，|ac|=，又在直角三角形adc中，adc=30，|ac|=，sin30=，|ad|=a故选b点评：本题考查任意角的三角函数的定义，求得ac=是关键，考查分析与计算能力，属于基础题9（5分）德国数学家洛萨科拉茨1937年提出了一个猜想：任给一个正整数n，如果它是偶数，就将它减半；如果它是奇数，则将它乘3再加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1如初始正整数为6，按照上述变换规则，得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1现在请你研究：如果对正整数n（首项），按照上述规则实施变换（1可以多次出现）后的第八项为1，则n的所有可能的对值为（）a2，3，16，20，21，128b2，3，16，21c2，16，21，128d3，16，20，21，64考点：数列的应用专题：综合题；新定义；点列、递归数列与数学归纳法分析：我们可以从第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出n的所有可能的取值解答：解：如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128故选a点评：本题考查的知识点是数列的应用，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分10（5分）（2012湖北）设abc的内角a，b，c，所对的边分别是a，b，c若（a+bc）（a+b+c）=ab，则角c=考点：余弦定理专题：计算题；压轴题分析：利用已知条件（a+bc）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosb的值，进一步求得角b解答：解：由已知条件（a+bc）（a+b+c）=ab可得a2+b2c2+2ab=ab即a2+b2c2=ab由余弦定理得：cosc=又因为0b，所以c=故答案为：点评：本题考查了解三角形的知识，对余弦定理及其变式进行重点考查，属于基础题目11（5分）（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（1）=1考点：函数奇偶性的性质；函数的值专题：计算题分析：由题意，可先由函数是奇函数求出f（1）=3，再将其代入g（1）求值即可得到答案解答：解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（1）+（1）2=0解得f（1）=3所以g（1）=f（1）+2=3+2=1故答案为1点评：本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型12（5分）（2012广东）曲线y=x3x+3在点（1，3）处的切线方程为2xy+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可解答：解：y=3x21令x=1得切线斜率2所以切线方程为y3=2（x1）即2xy+1=0故答案为：2xy+1=0点评：本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题13（5分）已知函数f（x）=x2+ax+b3，f（x）的图象恒过点（2，0），则a2+b2的最小值为考点：基本不等式专题：计算题分析：将（2，0）代入二次函数解析式中，得到a与b的等量关系，利用a表示出b，代入a2+b2中，得到关于a的二次函数，配方可得a2+b2的最小值解答：解：把（2，0）代入二次函数解析式得：4+2a+b3=0，即2a+b=1，解得：b=12a，则a2+b2=a2+（12a）2=5a2+4a+1=5（a+）2+，所以当a=，b=时，a2+b2的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了利用二次函数的性质求最值，同时考查了运算求解的能力，属于基础题14（5分）（2012黑龙江）已知向量夹角为45，且，则=3考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题；压轴题分析：由已知可得，=，代入|2|=可求解答：解：，=1=|2|=解得故答案为：3点评：本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质|=是求解向量的模常用的方法15（5分）已知函数f（x）的定义域1，5，部分对应值如表x1045f（x）1221f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示下列关于函数f（x）的命题；函数f（x）的值域为1，2；函数f（x）在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点其中真命题为（填写序号）考点：命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：观察函数y=f（x）的图象知：求出极值点，比较端点值，可以求出值域；在区间1，0）和（2，4）内，f（x）0，在（0，2）上是减函数，由此能求出f（x）的单调递增区间；结合函数的图象和表格知：函数f（x）的定义域1，5内，在x=0处取极大值f（0）=2，在x=2处取极小值f（2），在x=4处取极大值f（4）=2，再由f（1）=1f（5）=1，由此即可求出f（x）的最值；根据函数的单调性求出了f（x）的值域y=f（x）a有零点，得f（x）=a，根据a的范围进行判断；解答：解：f（x）的导函数y=f（x）的图象如图所示：观察图象知：在区间1，0）和（2，4）内，f（x）0，f（x）的单调递增区间是1，0和2，4；在（0，2）和（4，5）有f（x）0，f（x）为减函数；故正确；两个极大值点：结合函数的图象知：函数f（x）的定义域1，5内，在x=0处取极大值f（0）=2，在x=2处取极小值f（2），在x=4处取极大值f（4）=2，又f（1）=1f（5）=1，f（x）的最大值是2最小值为f（2），故错误；当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为：t=5，故错误；求函数y=f（x）a的零点：可得f（x）=a，因为不知最小值的值，无法进行判断，故错误；故答案为；点评：本题考查函数的单调区间和极大值的求法，解题时要认真审题，仔细观察图象，熟练掌握导数的应用三、解答题；本大题共6小题，共75分16（12分）已知函数f（x）=cos2xsin2x+2sinxcosx（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在，上的值域考点：二倍角的余弦；函数的值域；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质分析：（1）将f（x）解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，第三项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函数的递增区间为2k，2k+，kz，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的递增区间；（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可得出f（x）的值域解答：解：（1）f（x）=cos2xsin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+），=2，t=，令2k2x+2k+，kz，解得：kxk+，kz，则f（x）的递增区间为k，k+，kz；（2）x，2x+，sin（2x+）1，则f（x）的值域为1，点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键17（12分）如图，三棱柱abca1b1c1的各侧棱都垂直于底面，ac=aa1=4，ab=5，bc=3（1）证明：bcac1；（2）求直线ab与平面a1bc所成角的正弦值考点：用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）由ac=4，ab=5，bc=3，知acbc，由三棱柱abca1b1c1的各棱都垂直于底面，知平面a1acc1平面abc，bc平面a1acc1，由此能证明bcac1（2）由aa1=ac=4，知四边形a1acc1是正方形，故a1cac1，ac1平面a1bc，所以abm为ab与平面a1bc所成的角，由此能求出直线ab与平面a1bc所成角的正弦值解答：解：（1）ac=4，ab=5，bc=3，则ac2+bc2=ab2，acbc，三棱柱abca1b1c1的各棱都垂直于底面，平面a1acc1平面abc，bc平面a1acc1，a1c平面a1acc1，bcac1（2）aa1=ac=4，四边形a1acc1是正方形，a1cac1，bcac1，bca1c=c，ac1平面a1bc，设ac1与a1c交于点m，连接bm，则abm为ab与平面a1bc所成的角，在rtabm中，am=2，ab=5，sinabm=，直线ab与平面a1bc所成角的正弦值为点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题18（12分）已知数列an是等差数列，sn是其前n项的和，且a3=5，s3=9（1）求首项a1和公差d；（2）若存在数列bn，使a1b1+a2b2+l+anbn=5+（2n3）2n+1对任意正整数n都成立，求数列bn的前n项的和tn考点：数列的求和；等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式，进行求解；（2）已知a1b1+a2b2+l+anbn=5+（2n3）2n+1，可以把等式两边n换为n1，然后两式相减，可以推出bn的通项公式，再求出数列bn的前n项的和tn解答：解：（1）由题意可得，解得；（2）由题意得，当n2时，有a1b1+a2b2+anbn=5+（2n3）2n+1，又a1b1+a2b2+an1bn1=5+（2n5）2n，得，anbn=5+（2n3）2n+15+（2n5）2n=（2n1）2n，当n2时，bn=2n，又当n=1时，a1b1=5+（213）22=1，b1=1；bn=；当n2时，tn=1+4+8+2n=1+=2n+13，又当n=1时，t1=1，符合上式，tn=2n+13；点评：此题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质，前n项求和的问题，是一道中档题，计算时要仔细；19（13分）某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单，据以往数据分析，若生产数量为x万件，则可获利lnx+万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m（0，1）（1）若美元贬值指数m=，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x4，10，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元？考点：根据实际问题选择函数类型专题：应用题；函数的性质及应用分析：（1）先确定利润函数，再求导，利用导数大于0，即可求得结论；（2）由题意x4，10时，都有，分离参数，确定函数的最值，即可得到结论解答：解：（1）若美元贬值指数m=，则企业获得利润是f（x）=lnx+0.1x（x0）f（x）=令f（x）0，可得x20.5x50，x0，x2.5即x2.5时，企业生产获利随x的增加而增长；（2）x4，10时，都有x4，10时，m+，令g（x）=+，则0g（x）=+在4，10上为增函数g（x）=+在4，10上的最小值为0m时，该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导是关键20（13分）已知直线l：y=x+m与椭圆相交于不同的两点a，b，点m（4，1）为定点（1）求m的取值范围；（2）若直线l不过点m，求证：直线ma，mb与x轴围成一个等腰三角形考点：直线与圆锥曲线的关系专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）直线方程代入椭圆方程，利用判别式大于0，即可求m的取值范围；（2）证明直线ma、mb的倾斜角互补，即可证得结论解答：（1）解：直线l：y=x+m代入椭圆，可得5x2+8mx+4m220=0直线l：y=x+m与椭圆相交于不同的两点a，b，=64m220（4m220）