湖南省高考数学模拟试卷（三）文（含解析）.doc

2016年湖南省高考数学模拟试卷（文科）（三）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若a为实数且（2+ai）（a2i）=8，则a=（）a1b0c1d22已知集合a=x|3x3，b=x|x（x4）0，则ab=（）a（0，4）b（3，4）c（0，3）d（3，4）3“1x2”是“|x2|1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）a91，91.5b91，92c91.5，91.5d91.5，925设等差数列an的前n项和为sn，已知a1=9，a2+a8=2，当sn取得最小值时，n=（）a5b6c7d86设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）abcd7函数y=sin（2x+），的部分图象如图，则的值为 （）a或bcd8执行如图所示的程序框图，输出s的值为时，k是（）a5b3c4d29已知圆c过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被该圆所截得的弦长为，则圆c的标准方程为（）a（x+1）2+y2=4b（x3）2+y2=4c（x1）2+y2=4d（x+3）2+y2=410已知a，b是球o的球面上两点，aob=90，c为该球面上的动点，若三棱锥oabc体积的最大值为36，则球o的表面积为（）a36b64c144d25611已知a、b为双曲线e的左右顶点，点m在e上，ab=bm，三角形abm有一个角为120，则e的离心率为（）abcd212如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为p0（，），角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）abcd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生14若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为15一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m316已知函数f（x）=x33ax（ar），若直线x+y+m=0对任意的mr都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围为三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，已知abc的面积（）求sina与cosa的值；（）设，若tanc=2，求的值18某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率19如图，设四棱锥eabcd的底面为菱形，且abc=60，ab=ec=2，ae=be=（）证明：平面eab平面abcd；（）求四棱锥eabcd的体积20已知函数f（x）=2lnxax+a（ar）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）0恒成立，证明：当0x1x2时，21已知椭圆c1： +x2=1（a1）与抛物线c：x2=4y有相同焦点f1（）求椭圆c1的标准方程；（）已知直线l1过椭圆c1的另一焦点f2，且与抛物线c2相切于第一象限的点a，设平行l1的直线l交椭圆c1于b，c两点，当obc面积最大时，求直线l的方程四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-1几何证明选讲22如图，ab为圆o的直径，cb是圆o的切线，弦adoc（）证明：cd是圆o的切线；（）ad与bc的延长线相交于点e，若de=3oa，求aeb 的大小选修4-4坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线c1： （t为参数），c2：（为参数）（）化c1，c2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若c1上的点p对应的参数为t=，q为c2上的动点，求pq中点m到直线c3：（cos2sin）=7距离的最小值选修4-5不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|，g（x）=|x+3|+m（1）解关于x的不等式f（x）+a10（ar）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围2016年湖南省高考数学模拟试卷（文科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若a为实数且（2+ai）（a2i）=8，则a=（）a1b0c1d2【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值【解答】解：由（2+ai）（a2i）=8，得4a+（a24）i=8，解得a=2故选：d【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题2已知集合a=x|3x3，b=x|x（x4）0，则ab=（）a（0，4）b（3，4）c（0，3）d（3，4）【考点】并集及其运算【专题】集合【分析】利用并集的性质求解【解答】解：集合a=x|3x3，b=x|x（x4）0=x|0x4，ab=x|3x4=（3，4）故选：b【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题3“1x2”是“|x2|1”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】由|x2|1，解得1x3，即可判断出结论【解答】解：由|x2|1，解得1x3，“1x2”是“|x2|1”的既不充分也不必要条件故选：d【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）a91，91.5b91，92c91.5，91.5d91.5，92【考点】茎叶图【专题】计算题；概率与统计【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5故选：c【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目5设等差数列an的前n项和为sn，已知a1=9，a2+a8=2，当sn取得最小值时，n=（）a5b6c7d8【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为sn的表达式，配方即可求得答案【解答】解：等差数列an中，a1=9，a2+a8=2a1+8d=18+8d=2，解得d=2，所以，sn=9n+=n210n=（n5）225，故当n=5时，sn取得最小值，故选：a【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题6设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（）abcd【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得k的方程，解方程可得【解答】解： =（1，2），=（1，1），=+k=（1+k，2+k）， =0，1+k+2+k=0，解得k=故选：a【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题7函数y=sin（2x+），的部分图象如图，则的值为 （）a或bcd【考点】y=asin（x+）中参数的物理意义；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合求出值，得到答案【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+）（）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+）=0， +=+2k，kz，k=0，=，故选：b【点评】本题考查的知识点是由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键8执行如图所示的程序框图，输出s的值为时，k是（）a5b3c4d2【考点】循环结构【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出s的值为，从而得解【解答】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得s=sin=，输出s的值为故选：a【点评】本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题9已知圆c过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被该圆所截得的弦长为，则圆c的标准方程为（）a（x+1）2+y2=4b（x3）2+y2=4c（x1）2+y2=4d（x+3）2+y2=4【考点】直线与圆相交的性质【专题】直线与圆【分析】设圆心c的坐标为（a，0），a0，求得圆心到直线l：y=x1的距离d的值，再根据半径r=|a1|=，解得 a的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆c的标准方程【解答】解：设圆心c的坐标为（a，0），a0，则圆心到直线l：y=x1的距离为 d=由于半径r=|a1|=，解得 a=3，或 a=1（舍去），故圆c的圆心为（3，0），半径为31=2，故圆c的标准方程为（x3）2+y2=4，故选b【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题10已知a，b是球o的球面上两点，aob=90，c为该球面上的动点，若三棱锥oabc体积的最大值为36，则球o的表面积为（）a36b64c144d256【考点】球的体积和表面积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】当点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥oabc的体积最大，利用三棱锥oabc体积的最大值为36，求出半径，即可求出球o的表面积【解答】解：如图所示，当点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥oabc的体积最大，设球o的半径为r，此时voabc=vcaob=36，故r=6，则球o的表面积为4r2=144，故选c【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥oabc的体积最大是关键11已知a、b为双曲线e的左右顶点，点m在e上，ab=bm，三角形abm有一个角为120，则e的离心率为（）abcd2【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意画出图形，过点m作mnx轴，得到rtbnm，通过求解直角三角形得到m坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率【解答】解：设双曲线方程为（a0，b0），如图所示，|ab|=|bm|，amb=120，过点m作mnx轴，垂足为n，则mbn=60，在rtbmn中，bm=ab=2a，mbn=60，|bn|=a，故点m的坐标为m（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，故选：b【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题12如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为p0（，），角速度为1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）abcd【考点】函数的图象【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点p的位置到到x轴距离来确定答案【解答】解：通过分析可知当t=0时，点p到x轴距离d为，于是可以排除答案a，d，再根据当时，可知点p在x轴上此时点p到x轴距离d为0，排除答案b，故应选c【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生【考点】分层抽样方法【专题】概率与统计【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300=60，故答案为：60【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题14若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为1【考点】简单线性规划【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x数形结合可得结论【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x+z，平移直线y=x可知，当直线经过点a（4，1）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：243=1，故答案为：1【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题15一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；该几何体的体积为v几何体=2121+122=故答案为：【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目16已知函数f（x）=x33ax（ar），若直线x+y+m=0对任意的mr都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围为【考点】函数与方程的综合运用【专题】计算题【分析】首先分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线的含义，即可求出函数f（x）=x33ax（ar）的导函数，使直线与其不相交即可【解答】解：f（x）=x33ax（ar），则f（x）=3x23a若直线x+y+m=0对任意的mr都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为1，f（x）=3x23a与直线x+y+m=0没有交点，又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，则当x=0时取最小值，3a1，则a的取值范围为即答案为【点评】此题考查了函数与方程的综合应用，以及函数导函数的计算，属于综合性问题，计算量小但有一定的难度，属于中等题三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，已知abc的面积（）求sina与cosa的值；（）设，若tanc=2，求的值【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（）由三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得，解得：sina+2cosa=2，又sin2a+cos2a=1，从而解方程组即可得解（）由tanc=2，可得sinc，cosc的值，可得，从而由正弦定理即可解得【解答】（本题满分为14分）解：（）由题意可得：，所以解得：sina+2cosa=2，又因为sin2a+cos2a=1，解方程组可得（）tanc=2，c为三角形的内角，易得， 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，同角三角函数关系式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题18某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40，50，50，60，80，90，90，100（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40，60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在40，50的概率【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在40，60的受访职工和评分都在40，50的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.0222+0.028）10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在50，60）的有：500.00610=3（人），记为a1，a2，a3；受访职工评分在40，50）的有：500.00410=2（人），记为b1，b2从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是a1，a2，a1，a3，a1，b1，a1，b2，a2，a3，a2，b1，a2，b2，a3，b1，a3，b2，b1，b2，又因为所抽取2人的评分都在40，50）的结果有1种，即b1，b2，故所求的概率为p=【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率19如图，设四棱锥eabcd的底面为菱形，且abc=60，ab=ec=2，ae=be=（）证明：平面eab平面abcd；（）求四棱锥eabcd的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（i）取ab的中点o，连结eo、co，由已知得abc是等边三角形，由此能证明平面eab平面abcd（ii）veabcd=，由此能求出四棱锥eabcd的体积【解答】（i）证明：取ab的中点o，连结eo、co由ae=be=，知aeb为等腰直角三角形故eoab，eo=1，又ab=bc，abc=60，则abc是等边三角形，从而co=又因为ec=2，所以ec2=eo2+co2，所以eoco又eoab，coab=o，因此eo平面abcd又eo平面eab，故平面eab平面abcd（ii）解：veabcd=【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20已知函数f（x）=2lnxax+a（ar）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）0恒成立，证明：当0x1x2时，【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【专题】导数的综合应用【分析】（i）利用导数的运算法则可得f（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（ii）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnxx1（当且仅当x=1时取“=”）利用此结论即可证明【解答】解：（）求导得f（x）=，x0若a0，f（x）0，f（x）在（0，+）上递增；若a0，当x（0，）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递减（）由（）知，若a0，f（x）在（0，+）上递增，又f（1）=0，故f（x）0不恒成立若a2，当x（，1）时，f（x）递减，f（x）f（1）=0，不合题意若0a2，当x（1，）时，f（x）递增，f（x）f（1）=0，不合题意若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+）上递减，f（x）f（1）=0，合题意故a=2，且lnxx1（当且仅当x=1时取“=”）当0x1x2时，f（x2）f（x1）=2ln2（x2x1）2（1）2（x2x1）=2（1）（x2x1），2（1）【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键21已知椭圆c1： +x2=1（a1）与抛物线c：x2=4y有相同焦点f1（）求椭圆c1的标准方程；（）已知直线l1过椭圆c1的另一焦点f2，且与抛物线c2相切于第一象限的点a，设平行l1的直线l交椭圆c1于b，c两点，当obc面积最大时，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）求出抛物线的f1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程（）f2（0，1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程【解答】解：（）抛物线x2=4y的焦点为f1（0，1），c=1，又b2=1，椭圆方程为： +x2=1 （）f2（0，1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx1由消去y并化简得x24kx+4=0直线l1与抛物线c2相切于点a=（4k）244=0，得k=1切点a在第一象限k=1ll1设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m22=0，=（2m）212（m22）0，解得设b（x1，y1），c（x2，y2），则， 又直线l交y轴于d（0，m）=当，即时，所以，所求直线l的方程为【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想四.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-1几何证明选讲22如图，ab为圆o的直径，cb是圆o的切线，弦adoc（）证明：cd是圆o的切线；（）ad与bc的延长线相交于点e，若de=3oa，求aeb 的大小【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明【专题】选作题；推理和证明【分析】（）连接od，由弦adoc，易证得cob=cod，继而证得cobcod（sas），即可得odc=obc，然后由bc与o相切于点b，可得odc=90，即可证得cd是o的切线（）利用射影定理，求出ad，即可求aeb 的大小【解答】（）证明：连接odadoc，a=cob，ado=cod，oa=od，a=ado，cob=cod，在cob和cod中，ob=od，cob=cod，oc=oc，cobcod（sas），odc=obc，bc与o相切于点b，obbc，obc=90，odc=90，即odcd，cd是o的切线；（）解：设oa=1，ad=x，则ab=2，ae=x+3，由ab2=adae得x（x+3）=4，x=1，oad=60，aeb=30【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用选修4-4坐标系与参数方程23在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极