湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学下册《三角函数的综合运用》学案 北师大版.doc

湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学下册三角函数的综合运用学案（北师大版） 知识考点：本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。精典例题：【例1】如图，塔ab和楼cd的水平距离为80米，从楼顶c处及楼底d处测得塔顶a的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。（参考数据：1.41421，1.73205）分析：此题可先通过解rtabd求出塔高ab，再利用cebd80米，解rtaec求出ae，最后求出cdbeabae。解：在rtabd中，bd80米，bad600 ab（米） 在rtaec中，ecbd80米，ace450 aece80米 cdbeabae（米） 答：塔ab的高约为138. 56米，楼cd的高约为58. 56米。【例2】如图，直升飞机在跨河大桥ab的上方p点处，此时飞机离地面的高度po450米，且a、b、o三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为，求大桥ab的长（精确到1米，选用数据：1.41，1.73）分析：要求ab，只须求出oa即可。可通过解rtpoa达到目的。解：在rtpao中，pao oa（米） 在rtpbo中，pbo obop450（米） aboaob（米）答：这座大桥的长度约为329米。评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。【例3】一艘渔船正以30海里小时的速度由西向东追赶鱼群，在a处看见小岛c在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至b处，此时看见小岛c在船的北偏东300方向，已知以小岛c为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛c与航向（直线ab）的距离，再与10海里进行比较得出结论。解：过c作ab的垂线cd交ab的延长线于点d ， ， 10 这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。 【例4】某水库大坝横断面是梯形abcd，坝顶宽cd3米，斜坡ad16米，坝高8米，斜坡bc的坡度13，求斜坡ab的坡角和坝底宽ab。分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。解：作deab，cfab，垂足分别为e、f，在rtade和rtbcf中 a300 又， bf3cf3824 abaeefbf（米）答：斜坡ab的坡角a300，坝底宽ab为米。评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值），其次是作适当的辅助线构造直角三角形。探索与创新：【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形abcd，ab3米，bc0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度，问此时车厢的最高点a离地面多少米？（精确到1米）分析：此题只需求出点a到ce的距离，于是过a、d分别作agce，dfce，构造直角三角形，解rtahd和rtcdf即可求解。解：过点a、d分别作ce的垂线ag、df，垂足分别为g、f，过d作dhag于h，则有：于是a点离地面的高度为（米）答：车厢的最高点a离地面约为4米。【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。 略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线ab，延长dc交ab于e，由题意可知，ace是等腰直角三角形，所以ce0.5，dedcce2，作dhab于h，则可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。 跟踪训练：一、选择题：1、河堤的横断面如图所示，堤高bc是5米，迎水斜坡ab的长是13米，那么斜坡ab的坡度是（ ） a、13 b、12.6 c、12.4 d、122、如图，某渔船上的渔民在a处看见灯塔m在北偏东600方向，这艘渔船以28海里小时的速度向正东航行半小时到b处，在b处看见灯塔m在北偏东150方向，此时灯塔m与渔船的距离是（ ） a、海里 b、海里 c、7海里 d、14海里 3、如图，从山顶a望地面c、d两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知cd100米，点c在bd上，则山高ab（ ） a、100米 b、米 c、米 d、米4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价元，则购买这种草皮至少需要（ ） a、元 b、元 c、元 d、元 二、填空题：1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底ab 米。2、小明想测量电线杆ab的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面cd和地面bc上，量得cd4米，bc10米，cd与地面成300角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米（结果保留两位有效数字，1.41，1.73）三、解答题：1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点a处观测到河对岸水边处有一点c，并测得cad450，在距离a点30米的b处测得cbd300，求河宽cd（结果可带根号）。 2、如图：在小山的东侧a处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达c处，这时气球上的人发现，在a处的正西方向有一处着火点b，5分钟后，在d处测得着火点b的府角是150，求热气球升空点a与着火点b的距离。（结果保留根号，参考数据：，）3、如图：某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所a，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的b处向哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进15海里到达c点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东，求的值；当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？4、如图，客轮沿折线abc，从a出发经b再到c匀速航行，货轮从ac的中点d出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线abc上的某一点e处。已知abbc200海里，abc900，客轮速度是货轮速度的2倍。（1）两