贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 25第二十五讲 辅助圆 人教新课标版.doc

贵州省贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座 25第二十五讲 辅助圆 人教新课标版【例题求解】【例1】如图，直线ab和ac与o分别相切于b、c，p为圆上一点，p到ab、ac的距离分别为4cm、6cm，那么p到bc的距离为 (全国初中数学联赛题)思路点拨 连df，ef，寻找pd、pe、pf之间的关系，证明pdfpfe，而发现p、d、b、f与p、e、c、f分别共圆，突破角是解题的关键注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化； (3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆” 【例2】 如图，若pa=pb，apb=2acb，ac与pb交于点p，且pb=4，pd=3，则addc等于( ) a6 b7 c12 d16 (“ti”杯全国初中数学竞赛题)思路点拨 作出以p点为圆心、pa长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法【例3】 如图，在abc中，ab=ac，任意延长ca到p，再延长ab到q，使ap=bq，求证：abc的外心o与a，p，q四点共圆 思路点拨 先作出abc的外心o，连po、oq，将问题转化为证明角相等【例4】 如图，p是o外一点，pa切o于a，pbc是o的割线，adpo于d求证： 思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定pbd与pcd相似证明pa2=pdpo=pbpc，b、c、o、d共圆，这样连ob，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运用圆的性质为解题服务【例5】如图，在abc中，高be、cf相交于h，且bhc=135，g为abc内的一点，且gb=gc，bgc3a，连结hg，求证：hg平分bhf 思路点拨 经计算可得a=45，abe，bfh皆为等腰直角三角形，只需证ghb=ghf=22.5 由bgc=3a=135=ghc，得b、g、h、c四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解学力训练1如图，正方形abcd的中心为o，面积为1989cm2，p为正方形内一点，且opb=45，pa：pb=5：14，则pb的长为 (北京市竞赛题)2如图，在abc中，ab=ac=2，bc边上有100个不同的点pl、p2，p100，记（i=1，2，100），则= 3设abc三边上的高分别为ad、be、cf，且其垂心h不与任一顶点重合，则由点a、b、c、d、e、f、h中某四点可以确定的圆共有( ) a3个 b4个 c5个 d6个 (2000年太原市竞赛题)4如图，已知oa=ob=oc，且aob=boc，则acb是bac的( ) a倍 b是倍 c d 5如图，在等腰梯形abcd中，abcd，ab=998，cd=1001，ad=1999，点p在线段ad上，满足条件的bpc=90的点p的个数为( ) a0 b1 c2 1 d不小于3的整数 (全国初中数学联赛题)6如图，ad、be是锐角三角形的两条高，sabc= 18，sdec=2，则cosc等于( ) a3 b c d7如图；已知h是abc三条高的交点，连结df，de，ef，求证：h是def的内心8如图，已知abc中，ah是高，at是角平分线，且tdab，teac求证：(1)ahd=ahe；(2) (陕西省竞赛题) 9如图，已知在凸四边形abcde中，bae=3，bc=cd=de，且bcd=cde=求证：bac=cad=dak， (全国初中数学联赛题)10如图，p是o外一点，pa和pb是o的切线，a，b为切点，p o与ab交于点m，过m任作o的弦cd求证：cpo=dp