第31届俄罗斯数学奥林匹克.pdf

2 O O 5年第 8 期 第3 1 届俄罗斯数学奥林匹克 第 3 1 届俄罗斯数学奥g 匹克于2 O O 5 if 4月2 4 2 9日在俄 罗斯下诺夫哥 罗德市举行 与以往各届一样 竞赛分年级进行 举行两天考试 每天5个小时考 4 道题 我国派出了由湖北省 6 名中学生组成的代表V 参加 了此次竞赛 他们分别来自武钢三中 黄冈中学和华中师大 附中 其中4名高二学生参加了十年级的竞赛 2 名高一学生参加 了九年级的竞赛 我国参赛的6名队员均获得奖牌 来 自华中师大一附中的柳智宇同学在十 年级竞赛中成绩名列第一 知掘 2 0 2 2 2 儿 十 戳 分为两个不交的非空子集 A B 使得方程 9 1 给定平行四边形 A B C D A B1 n z 1 n 1 n n z 5 0 t O 0 5 0名代表组成 并且每一个人 tg 3 S 已知对 1 2 3 都有 S 证 都至多与自己的一个邻座的人同组 明 l 一 1 n1十 n2 n2 n3 n3 n1 9 4 在桌上放着 3 6 5张卡片 在它们的 背面分别写着互不相同的数 瓦夏每付 1 卢 布 可以任选 3张卡片 要求贝佳将它们 自左 至右按照背面所写 的数 的递增顺序排列 试 问 瓦夏能否付出 2 0 0 0卢布就一定能够达 到如下 目的 将所有 3 6 5张卡片全部 自左至 右按照背面所写的数 的递增顺序排列在桌面 上 9 5 已知 1 0个互不相同的非零数 它们 之中任意两个数的和或积是有理数 证明 每 个数的平方都是有理数 9 6 试问 可有多少种方式将数集 十 年 级 1 0 1 试找 出不 能表示 为 的形式 厶一二 的最小的正整数 其中 n 6 C d都是正整 数 1 0 2 在 2 X n 方格表的每个方格中都写 有一个正数 使得每一列中的两个数的和都 等于 1 证明 可以自每一列中删去一个数 使得每一行中剩下的数的和不超过 叶 1 O 3 在 2 0 0 5张卡片 的背面分别 写有 2 0 0 5 个不同的实数 每一次提问可以指着其 中任意三张卡片询问写在它们之上的3 个数 所组成的数集 试问 最少可以通过多少次提 维普资讯 中 等 数 学 问 就一定能了解清楚写在每张卡片背面的 都是什么数 1 0 4 在 A B C中 圆 c 分别是与 边A C A B相切 且与其余两边延长线相切的 旁切圆 圆 CO 关于边 A c的中点对称 圆 关于边A B的中点对称 证明 经过圆 周 CO CO 交点的直线平分 A B C的周界 1 q 5 在 8 X 8的国际象棋 棋盘 上放 l 6 枚棋子车 试 问 它们之中至少有多少 对 棋 子可以相互搏杀 同在 一行或 同在一列里且 它们之间没有其他棋子的一对车可以相互搏 杀 1 0 6 同 9 7 1 O 7 已知正 整数 Y满足 2 一l Y 证明 如果 l 则 能被 5整除 1 O 8 无限大的 白色方格纸上 有有限个 方格被染为黑色 每个黑色方格都有偶数个 0 2或 4 个 白色方格与它有公共边 证 明 可以将剩下的每个 白色方格染成红色或绿 色 使得每个黑色方格的邻格中红色方格和 绿色方格的个数都相等 有公共边的方格称 为相邻 十 一 年 级 1 1 1 设 口 l 口 2 口 5 0 b l b 2 b 5 0 为 互不相同的数 使得方程 I 一 口l I I 一 口2 I I a5 0 I I 一 b l I I 一b 2 I I 一b 5 0 I 有有限个根 试问 最多可能有多少个根 l 1 2 同 l 0 3 1 1 3 设 A B C的三个旁切圆分别与边 B C C A A B相切于点 A B C A B C A B C A B C 的外接 圆分别与 A B C 的外 接 圆再 次 相交 于点 C A B 证 明 A B C 与 A B C的内切圆在各自三条边 上 的切点所形成 的三角形相似 1 1 4 设正整数 y z x 2 y l 满足 等式 l z 以P表示 的不同的质约数 的个数 以 q表示 Y的不同的质约数的个数 证 明 P 口 2 1 1 5 提 否存在有界函数 厂 R 使得 厂 1 0 且对一切的 y ER 都有 f 2 f y 成立 1 1 6 试问 能否在空间中放置 l 2 个长 方体 P P 2 P 使得它们的棱分别平行 于 0 y 轴 并且 P 2 与除了 P 和 P 之外的各个长方体都相交 即至少有一个公 共点 P 与除了 P 和 P 4 之外的各个长方 体都相交 P 与除了 P 和 P 之外的 各个长方体都相交 P 与除了 P 和 P 2 之 外的各个长方体都相交 长方体包含其表 面 1 1 7 对边不平行 的 四边形 A B C D外切 于以 D为圆心的圆 证 明 点 D为四边形 A B C D的两组对边中点连线的交点 当且仅当 O A OC OB OD 1 1 8 围绕 个圆桌坐着来 自2 5个 国家 的 1 0 0 名代表 每个国家 4 名代表 证明 可 以将他们分成四组 使得每一组中都有来 自 每个国家的 1 名代表 并且每一组中的任何 两名代表都不是圆桌旁的邻座 参 考 答 案 九 年 级 9 1 如图 1 作 C的平分线 将点 A关于该平 分线的对称点记作A 观察点 A 由于 C P C Q 所 以 C的平分线就是 线段 加 的中垂线 从 而 四边 形 F O A A是 等腰 梯形 或矩 形 因 此 对任何满足题中条 件的点 P Q 点 A 都 位于 A P Q的外接 圆 E 图 1 9 2 可以 假设阿列克不能选出所需的方格 现将每个数 都换成其被 4 除的余数 于是 方格表中就有 0 1 2 3 各 1 2 1 个 将方格表划分为 1 2 1 个 2 2的正方形 由于阿列克不能选出所需的方格 所以 在每个2x 2 维普资讯 2 o 0 5 年第 8 期 2 9 正方形中都至多有 1 个0 也至多有 1 个 2 又 0和 2 的个数与这种正方形的个数相同 所以 在每个这种 正方形中都刚好有 1 个 0和 1 个 2 然而 在假设之 下 每个 2x 2正方形中剩下的两个方格中或者都只 能放 1 或者都只能放 3 且分别都只能放入偶数个 1 和 3 这与它们各有 1 2 1 个的事实矛盾 9 3 易知 s 口 口 1 0 2 口 3 口 I 一1 口 l 0 2 口 3 a l 口 2 口 3 甘 a2 0 3 口l 0 2 口3 将三个此类不等式相加得 一 1 口l十口2口2 十口3 口3 十口I 口l 十0 2 十口3 9 4 可以 先证明一个引理 引理假设支付 卢布 瓦夏可把某 N一1张 卡片按照所需的顺序摆放在桌子上 其中 3 那 么 他至多再支付 k卢布 就可把剩下的 1 张卡片放 到正确的位置上 即一共只需支付不多于 k 卢 布 引理的证明 用数学归纳法证明 k 1 的情形显然 假设结论对一切 I 1 成立 我们证明结论 对 3 也成立 显然 瓦夏第一步应当确认第 张卡片与放在 第 个 位 置 和 第 个 位 置 上 的 卡 片 和 之间的位置关系 由于卡片 A B将已经排列好的卡 片分成了三段 所 以 瓦夏利用 1 卢布来了解第 张卡片位于哪一段中 又由于每一段中只有不多于 3 一1 张卡片 根据归纳假设 瓦夏为了能够进一步确认第 张卡 片在它们中的位置 接下来至多再支付 k 一1 卢布 引理证毕 下面利用引理 只须证明瓦夏花费 2 0 0 0卢布就 一 定能够达到目的 为了排列头三张卡片 他花去 1 卢布 为了将第 4 9张卡片插入其间 一共 6张卡 片 他在每一张卡片上的花费都不多于 2 卢布 为了将第 1 O 2 7张卡片插入其间 他在每一张 卡片上的花费都不多于 3卢布 为了将第 2 8 8 1 张卡片插入其间 他在每一张 卡片上的花费都不多于 4卢布 接下来 在第 8 2 2 4 3张卡片中的每一张上的 花费都不多于 5卢布 在第 2 4 4 3 6 5张卡片中的每 一 张上的花费都不多于 6 卢布 这就是说 瓦夏一共 只需花费 1 6 2 1 8 3 5 4 4 1 6 2 5 1 2 2 6 1 8 2 5b c d 记 m 口一b 7 c d k b d 于是 有 1 1 2 一1 2 2 一1 上式左端为奇数 因此 k 0 易知 7 1 不能使该式成立 而如果 m 7 1 则 2 一1 与 2 一1 被 4 除的余数都是 3 从而 上式 左端被 4 除的余数为 1 右端却为 3 矛盾 1 0 2 假设第一行中所放的数为 a n 2 必要时通过交换列的位置 使得口 此 时 第二行中所写的数依次为 b 1 1 01 b 2 1 0 2 b 1 一 口 显然 b 1 b 2 b 如果 口 n 2 口 那么 就删去第 二行中的所有数即可达到目的 否则 可以找到使得 口 n 2 成立的最小的 k 此时 在第 一 行 中删去 口 在第二行中删去 b b b 由 k的取法可知 口 1 n 2 口 t 一 1 下面只须证 明 b b b 旦 由 于 I I 所以 0 b I b t 1 b 7 1 一k 6 t 7 1 一k 1 一n I n 1 一 后 1 一 百n 1 鲁 1 所以 t 1 故 t 一1 t 一t 1 t 这表明等式 t 一t 1 不可能成立 所 以 只能是 t 1 1 6 u 另一方面 由于 y 1 一 y 3 1 y 3 Y一1 y 1 所以 Y 1 一 1 能被 3整除 因而 Y 1 能被 3整除 即 y 3 3 m一1 再记 y 3 3 m一1 由 2 x 一1 Y 得 1 Z 1 z 4一Z 3 一 1 2 如果 一 Z 2一Z 1能被 5整除 则立知题 中结论成立 否则 必有 Z 1 一z 3 Z 2 一Z 1 1 事实上 由 一 一 1 一2 3 一4 1 5 可知 如果 b 1 Z 4一 一 1 贝 b 1 或 b 5 既然 b 5 所以 b 1 于是 再由 一 一 1 为奇数 可知 1 2 u Z 4一 Z 3 Z 2一Z 1 但由于 1 3 m 所以 一 一 1 的左端被 3 除余 2 而其右端被 3 除的余数却是 0 或 1 不可能 1 0 8 本题的论证思路如下 用线段两两联结相 邻黑色方格的中心 那么 所有所连的线段的 并 将 平面分为若干个区域 由于各个顶点的度均为偶数 所以 可以用两种颜色 黄色和蓝色 为平面染色 使 得每两个以边相邻的区域均不同色 然后 将蓝色区 域中的横坐标为偶数的方格及黄色区域中的横坐标 为奇数的方格均改染为绿色 其余的方格均染为红 色 下面给出严格的证明 引入坐标系 使得各个方格的中心均为整点 并 且将染方格改为染它们的中心 暂时先将所有的白 点都染为绿色和红色 使得绿点的横坐标均为偶数 红点的横坐标均为奇数 作一个图 G 它的顶点之集 由所有的黑点组成 它的边集 E由两两相邻黑点 之间的连线组成 由题意知 图 G的各介 顶点的度 均为偶数 从某个顶点开始 沿着图 G的边运动 由某条 边进入一个顶点 可以由另一条边离开该顶点 所 以 总有某一时刻到达已经到过的顶点 事实上 图 G中存在单圈 C 圈 C上的边在平面上界 出了一个 多边形 将位于圈 C内部 的红绿点全都改换颜色 红改绿 绿改红 从图 G中去掉圈 C上所有的边 将所得到的图称为图 图 c 的各个顶点的度亦均 为偶数 于是 又可以从中找到一个单圈 改换位于 其内部的红绿点颜色 再去掉这个圈上的所有的边 一直到图 G的边全被去光为止 下面证明 在上述过程结束时 所得到的染色方 式即可满足题中要求 如果黑点 P有 4 个白色邻点 那么 这 4 个邻点 在每次改换颜色时 都或者同在一圈的内部 或者同 在一个圈的外部 因此 它们都被改换了相同次数的 颜色 由于开始时 这4 个邻点 2 红 2 绿 所以 最终 它们还是 2红 2 绿 如果黑点 P有 2个白色邻点 K 2 个黑色邻 M 如果 三位于同一行或同一列 中 那么 它们 只有在改染包含着路 MP N的那一个圈的内部时 才 会位于平面的不同部分之中 因此 它们被改换颜色 维普资讯 中 等 数 学 的次数刚好相差 1 次 由于开始时它们的颜色相同 所以 最终它们 1 红 1 绿 如果 不同行也不同 那么 在任何一次 改换颜色时 都或者同在一个圈的内部 或者同在一 个圈的外部 因此 它们都被改换 了相同次数的颜 色 由于开始时 它们 1 红 1 绿 所以 最终还是 1 红 1 绿 十 一 年 级 l 1 1 4 9 令 z I 一o l I I 一 I I 一口 I I 一 6 l I I 一 6 2 I 一 一 I 一 6 I 于是 原来的方程即为 0 设 c l c 2 u Y 1 所以 维普资讯 2 1X 5年第 8期 v y 一 一u 一 砒 一 一 t3 矛盾 故 为偶数 此时 z 一1与 z 1中有一个是 2 的倍数 但不是 4的倍数 另一个则为 2 的倍数 却不是 2 的倍数 由此 有 z 一1 z 1 2 u 2 一 v y A B 其中 为正奇数 显然 加 I A一 I I 2 u y 一2 t I 2 即 I 一2 一 I 1 这就是说 有 2 2 u 1 或 2 v y U y 一1 应当指出 u 1 事实上 如果 u 1 则 A 2 A z 一1 z 3 从 而 必有 2 与题意矛盾 此外 Y必为奇数 否则 Y 2 n 那么 就有 z 一 1 不可能 引理 1 如果 为不小于 2的整数 P为奇质 数 则 一1 至少有一个质约数不能整除 一1 证明 我们有 一 1 口一1 一 一 1 口一1 b 首先证明 口一1 与 b不可能有不同于 1和 P的 公共质约数q 事实上 如果 qI o一1 则对任何正整数 m 都 有 q I 一1 因此 6 1 p一 1 一 1 P 幻 P m 1 其中 z 是某个整数 故只有在 q 等于 1 或 P时 b 才能被 q 整除 为了完成引理的证明 只须再考察 b P 而且 口一1 能被 P整除的情形 下面证明这是一种不可能出现的情形 注意到 b P 所 以 只要证明 b不能被 P 整 除 如果 口 p k 1 其中 k不能被P整除 则有 I 1 1 k p p 2 k 1 k d 其中 d为整数 于是 口一1 b 口 P一1 p k p d 既然 k不能被P整除 所以 b只能被P整除 而不能被 P 整除 引理 2 设 口为不小于 2的整数 p为奇质数 如果 口 2 或 P 3 则 1 至少有一个质约数不 能整除 口 1 证明 我们有 1 口 1 0 P 一 口 一口 1 一1 6 首先证明 口 1 与 b 不可能有不同于 1 和 P的 公共质约数r 事实上 如果 r I o 1 当 k为奇数时 有 r I 1 当 k 2 m时 有 口 一1 I 口 一1 而 r I 口 一1 所以 r I 口 一1 因此 b z r P 其中 z 是某个整数 故只有在 r 等于 1 或 P时 b 才能被 r 整除 为了完成引理的证明 只须再考察 b P 而且 口 1 能被 P整除的情形 下面证明这是一种不可能出现的情形 证法与 引理 1 类似 先证 b P 事实上 我们有 b 口 一口 1 口 1 P 而由 题中条件可知 在这一连串不等号中至少有一个为 严格大于号 另一方面 同引理 1 证得 b不能被 P 整除 从而得出矛盾 现在证明题 目本身 考察等式 1 2 r 2 矿 由所证的引理可知 该式右端 有不少于 q 1个不 同的质 约数 既然 2 v 1 1 所以 题中结论成立 注 事实上 我们证明了一个比题中结论更强的 结论 即如果 Y可以表示为 n 个大于 1 的质数的乘 积 则 至少有 n 2 个不同的质约数 一 1 1 5 不存在 任 取 0 令 y t 去 有 f l Y 1 1 1 Y 1 1 口 其中 口 2 厂 1 0 令 一 l y n l y n 1 n 2 于是 有 n f 口 一 l y n 1 口 一 1 2 口 1 M 故数列 并非有界 1 1 6 不能 假设此为可能 应当指出 在所考察的情形下 两个长方体相交 当且仅当它们在三条坐标轴上的投影都相交 考察如下四对长方体 P P 2 P 4 P P 根据题意 每一对中的两个长方体都不相交 但 维普资讯 中 等 擞 学 是任何两个不同对中的长方体都相交 对于其中每 一 对长方体 都至少存在一条坐标轴 使得它们在其 上的投影不相交 由于考察的长方体有四对 所以 其中有某两对长方体在同一条坐标轴上的投影不相 交 不妨设 P P 2 在 轴上的投影不相交 P 4 在 轴上的投影也不相交 设线段 z z f 4 如分别是长方体 P P 2 P 4 在 轴上的投影 记 A i B i 在假设之下 z z 不相交 z 如也不相交 但它们中的其余线段对 均相交 不失一般性 可设 A t B t A 2 B 2 A 4 B 4 A 5 B 5 由于 Z l 如相交 所以 A 5 B 由此 有 B A 从而 Z Z 不相交 导致矛盾 注 将题中的长方体个数记作 n 当 n 1 0时 不能按照题中要求放置长方体 而当 n 9时 是可 以做到的 1 1 7 如 图 7 设 边 A B C D 的中点分别为 y 直 线 A B C D 相交于点 P 设点 0为四 边 形 A B C D 的 两 组对边 中点连线 的交 点 因为 以 P l I 图 7 四边形四边中点为顶点的四边形为平行 四边形 于 是 0就是线段X Y的中点 进而 P O是 X P Y的平 分线 故 X P Y 为等腰三角形 于是 有 BX O CY O 此外 还有 X B O Y C O A B C B C D 1 8 o B P C A X Y X B O XO B 所以 Y C O X O B 于 是 有 O X B C A 嘞 故 O B 苗 同理 由此推出 O A O C O B O D 反 之 设 O A O C O B O D 应当指出 AO B C O D 1 8 0 o 一 O A B一 1 8 o 一 O C D一 D D c 1 3 6 0 一 D A B A B