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浅谈圆锥曲线中焦点三角形两个性质的应用无锡市北高级中学 计 巍 214044在近几年的教学以及高考试题中，发现圆锥曲线中焦点三角形的应用比较多，于是对焦点三角形的一些特征进行一点探究和归纳。圆锥曲线上一点和两个焦点，构成的称为“焦点三角形”。1、 关于焦点三角形的两个性质性质：焦点三角形的面积公式若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则。解：设，由余弦定理得由椭圆定义得 由得：（）由此类比双曲线还可得到：已知、是双曲线的两个焦点，是双曲线上一点，且，则。（）以上两个公式对于焦点在轴上的椭圆和双曲线同样成立。性质：焦点三角形中的最大顶角已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则当点为短轴端点时角最大。解：设，由余弦定理得由椭圆定义得 而，（），由余弦函数在上单调递减当且仅当，取值最小，即点为段轴端点时角最大。当我们比较“清楚地了解”焦点三角形的面积公式，我们的思路就又多了一条。运用焦点三角形的性质，证明如下：证：设，则、都是焦点三角形，故，且，即，即，当点为短轴端点时角最大。2、应用举例例：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。思路一：由题条件可以理解为以焦距为直径的圆与该椭圆有交点，从解方程角度出发。（过程略）思路二：利用焦点三角形性质，从面积角度考虑不妨设短轴一端点为则 故思路三：由焦点三角形性质顶角例：（2001年全国卷理科第14题）双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为_。思路一：设，由定义，由，中，则得：作轴于，在中，思路二：设，由于点在以为直径的圆上，要求点到轴距离，可通过交轨法求。由点在以为直径的圆上，由点在双曲线上，消得，即。思路三：由焦点三角形性质，利用面积公式又，小结：发现焦点三角形的解法更简洁明了。变式：若将问题改换为“当为钝角时，点的横坐标的取值范围是_”，则可以先求出使时的点横坐标，数形结合即可得到所求问题的解。2000年高考理科卷中也曾出现类似问题。练习：1、若椭圆的两个焦点、，试问：椭圆上是否存在点，使？存在，求出点坐标；否则说明理
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