湖南省师大附中高三数学上学期第二次月考试卷 理（含解析）.doc

湖南师大附中2015届高 三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( )a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案解答：解：z=1+i，=1i对应的点（1，1）位于第四象限，故选d点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题2若角的终边落在直线x+y=0上，则的值等于( )a2b2c2或2d0考点：三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦 专题：三角函数的求值分析：根据的终边落在直线x+y=0上，判断出所在的象限，并由平方关系化简所求的式子，再对分类利用三角函数值的符号进一步化简求值解答：解：角的终边落在直线x+y=0上，角为第二或第四象限角+=+，当角为第二象限角时，原式=+=0；当角为第四象限角时，原式=+=0综上可知：角为第二或第四象限角时，均有值为0，故选d点评：本题考查了平方关系和三角函数值的应用，以及分类讨论思想3如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )a54b27c18d9考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案解答：解：由三视图可知，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面长和宽分别为3和6，其底面面积s=36=18，又棱锥的高h=3，故该几何体的体积v=sh=318=18故选：c点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键4我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )a2b3c4d5考点：系统抽样方法 专题：计算题；概率与统计分析：求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可解答：解：系统抽样的抽取间隔为=6设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3故选：b点评：本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键5若等边abc的边长为，平面内一点m满足，则=( )a2b2cd考点：平面向量数量积的性质及其运算律 专题：计算题分析：先用向量表示出向量，再求内积即可得解解答：解：=故选a点评：本题考查向量的加减运算、线性表示和向量的数量积，须特别注意向量的线性表示，求数量积时须注意两个向量的夹角属简单题6设函数若f（4）=f（0），f（2）=0，则关于x的不等式f（x）1的解集为( )a（，3c（0，+）d考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：设p点的横坐标为x，根据|pf1|=3|pf2|，p在双曲线右支（xa），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围解答：解：设p点的横坐标为x|pf1|=3|pf2|，p在双曲线右支（xa）根据双曲线的第二定义，可得3e（x）=e（x+）ex=2axa，exea2aea，e2e1，1e2故选d点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题10已知函数f（x）满足f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（xy）（x，yr），则f=( )abcd0考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：由已知条件推导出函数f（x）是周期为6的周期函数，由此能求出结果解答：解：取x=1，y=0代入4f（x）f（y）=f（x+y）+f（xy），得4f（1）f（0）=f（1）+f（1）=2f（1），解得f（0）=，则当x=1，y=1时，4f（1）f（1）=f（2）+f（0），解得f（2）=f（1）f（0）=；当x=2，y=1时，4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=f（2）f（1）=；当x=3，y=1时，4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（4）=f（3）f（2）=；当x=4，y=1时，4f（4）f（1）=f（5）+f（1），解得f（5）=f（4）f（3）=；当x=5，y=1时，4f（5）f（1）=f（6）+f（4），解得f（6）=f（5）f（4）=；当x=6，y=1时，4f（6）f（1）=f（7）+f（5），解得f（7）=f（6）f（5）=；6个一循环20156=370余5f=f（5）=故选：b点评：本题考查函数值的求法，是中档题，解题的关键是推导出函数f（x）是周期为6的周期函数二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）11已知曲线y=x在点（1，1）处的切线为直线l，则l与两坐标轴所围成的三角形面积为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：求出函数的导数，求得在点（1，1）处的切线斜率，再由点斜式方程可得切线方程，再分别令x=0，y=0，再由三角形的面积公式，即可得到解答：解：求导数可得y=，所以在点（1，1）处的切线斜率为，切线方程为：y1=（x1），令x=0，得y=；令y=0，得x=3所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3=，故答案为：点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键12从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，则使得|x|+|y|4的概率为考点：几何概型 专题：计算题；概率与统计分析：从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，对应的区域是长方形，使得|x|+|y|4，落在矩形内的部分，分别求出面积，即可得出结论解答：解：从区间内随机取出一个数x，从区间内随机取出一个数y，对应的区域面积为60，使得|x|+|y|4，落在矩形内的部分，如图所示，面积为2（2+8）3=30，所求概率为=故答案为：点评：本题主要考查几何概型的概率公式的计算，确定区域的面积是解决本题的关键13将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有种1080（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题分析：根据题意，先分组，再分配；先将6人按2211分成4组，有种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有a44种方法，进而由分步计数原理计算可得答案解答：解：根据题意，先将6人按2211分成4组，有=45种分组方法，再对应分配到四个不同场馆，有a44=24种方法，则共有4524=1080种方法；故答案为1080点评：本题考查排列、组合的应用，注意本题的分组涉及了平均分组与不平均分组两类，要用对公式14已知函数f（x）=sin（2x+）（其中为实数），若f（x）|f（）|对xr恒成立，且sin0，则f（x）的单调递增区间是；（kz）考点：正弦函数的单调性 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由若f（x）|f（ ）|对xr恒成立，结合函数最值的定义，求得f（）等于函数的最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角的值，结合sin0，易求出满足条件的具体的值，然后根据正弦型函数单调区间的求法，即可得到答案解答：解：若f（x）|f（）|对xr恒成立，则f（）等于函数的最大值或最小值，即2+=k+，kz，则=k+，kz，又sin0，令k=1，此时=，满足条件sin0，令2x，kz，解得x（kz）则f（x）的单调递增区间是（kz）故答案为：（kz）点评：本题考查的知识点是函数y=asin（x+）的图象变换、三角函数的单调性，其中解答本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角的值属于基础题15将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m列从下到上第n行的数记为a（m，n），如a（3，1）=4，a（4，2）=12，则a（1，n）=；a（10，10）=181考点：归纳推理 专题：计算题；推理和证明分析：由题意，a（1，n）=1+2+n=，再求出a（1，10），即可求出a（10，10）解答：解：由题意，a（1，n）=1+2+n=，a（1，10）=55，a（10，10）=55+10+11+18=181，故答案为：，181点评：本题考查推理知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16在平面直角坐标系xoy中，点p（，cos2）在角的终边上，点q（sin2，1）在角的终边上，且=（1）求cos2；（2）求sin（+）的值考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数 分析：（1）由点p、q的坐标即、坐标，结合向量数量积坐标运算公式得的三角函数等式，再利用余弦的倍角公式把此等式降幂即可；（2）首先由余弦的倍角公式求出cos2，再根据同角正余弦的关系式求出sin2，即明确点p、q的坐标，然后由三角函数定义得sin、cos、sin、cos的值，最后利用正弦的和角公式求得答案解答：解：（1），（2）由（1）得：，点评：本题综合考查倍角公式、和角公式、同角三角函数关系、及三角函数定义，同时考查向量坐标的定义及向量数量积坐标运算17坛子中有6个阄，其中3个标记为“中奖”，另外三个标记是“谢谢参与”，甲、乙、丙三人份两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序依次抽取，当有人摸到“中奖”阄时，摸奖随即结束（1）若按有放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？（2）若按不放回抽取，甲、乙、丙的中奖概率分别是多少？（3）按不放回抽取，第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金10000元，第二轮摸奖时才中奖可获得奖金6000元，求甲、乙、丙三人所获奖金总额的分布列和数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 专题：概率与统计分析：（1）按有放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率（2）按不放回抽取，利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率（3）依题设知的所有可能取值为6000，10000，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙、丙三人所获奖金总额的分布列和数学期望解答：解：（1）按有放回抽取，甲中奖概率是：p1=+（1）（1）（1）=，乙中奖的概率是：p2=（1）+（1）（1）（1）（1）=，丙中奖的概率是：p3=（1）（1）+（1）（1）（1）（1）（1）=（2）按不放回抽取，甲中奖概率是：p4=+（1）（1）（1）=，乙中奖的概率是：p5=（1）=，丙中奖的概率是：p4=（1）（1）=（3）依题设知的所有可能取值为6000，10000且由题设，得：p（=6000）=（1）（1）（1）=，p（=10000）=故的分布列为： 6000 10000 pe=6000+10000=9800点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型18如图，四面体abcd中，ad面bcd，bccd，ad=2，bd=2，m是ad的中点，p是bmd的外心，点q在线段ac上，且=4（）证明：pq平面bcd；（）若二面角cbmd的大小为60，求四面体abcd的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）取bd的中点o，在线段cd上取点f，使得df=3cf，连接op、of、fq根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形opqf是平行四边形，从而pqof，再由线面平行判定定理，证出pq平面bcd；（）过点c作cgbd，垂足为g，过g作ghbm于h，连接ch根据线面垂直的判定与性质证出bmch，因此chg是二面角cbmd的平面角，可得chg=60设bdc=，用解直角三角形的方法算出hg和cg关于的表达式，最后在rtchg中，根据正切的定义得出tanchg，从而得到tan，由此可得bdc，进而可求四面体abcd的体积解答：解：（）取bd的中点o，在线段cd上取点f，使得df=3cf，连接op、of、fqacd中，aq=3qc且df=3cf，qfad且qf=adbdm中，o、p分别为bd、bm的中点opdm，且op=dm，结合m为ad中点得：opad且op=adopqf且op=qf，可得四边形opqf是平行四边形pqofpq平面bcd且of平面bcd，pq平面bcd；（）过点c作cgbd，垂足为g，过g作ghbm于h，连接chad平面bcd，cg平面bcd，adcg又cgbd，ad、bd是平面abd内的相交直线cg平面abd，结合bm平面abd，得cgbmghbm，cg、gh是平面cgh内的相交直线bm平面cgh，可得bmch因此，chg是二面角cbmd的平面角，可得chg=60设bdc=，可得rtbcd中，cd=bdcos=2cos，cg=cdsin=2sincos，bg=bcsin=2sin2rtbmd中，hg=；rtchg中，tanchg=tan=，可得=60，即bdc=60，bd=2，cd=，sbcd=，vabcd=点评：本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行，并且在已知二面角大小的情况下求线线角着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质，解直角三角形和平面与平面所成角求法等知识，属于中档题19甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元，甲超市前n（nn+）年的总销售额为（n2n+2）万元；从第二年开始，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多（）n1a万元（）设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn万元，求an，bn的表达式；（）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购若今年为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由考点：数列与函数的综合 专题：等差数列与等比数列分析：（）假设甲超市前n年总销售额为sn，则sn=（n2n+2）（n2），从而an=，由此能求出bn=a（nn*）（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3b3；当n4时，an3a，而bn3a，故乙超市有可能被甲超市收购由此能求出2020年年底乙超市将被甲超市收购解答：解：（）假设甲超市前n年总销售额为sn，则sn=（n2n+2）（n2），因为n=1时，a1=a，则n2时，an=snsn1=（n2n+2）=a（n1），故an=，又b1=a，n2时，bnbn1=（）n1a，故bn=b1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1）=a+a+（）2a+（）n1a=a=a=a，显然n=1也适合，故bn=a（nn*）（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3b3；当n4时，an3a，而bn3a，故乙超市有可能被甲超市收购当n4时，令anbn，则（n1）aan164（）n1即n74（）n1又当n7时，04（）n11，故当nn*且n7时，必有n74（）n1即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市将被甲超市收购点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用20已知椭圆=1（abc0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为f1，f2，若以f2为圆心，bc为半径作圆f2，过椭圆上一点p作此圆的切线，切点为t，且|pt|的最小值不小于（ac）（1）证明：椭圆上的点到点f2的最短距离为ac；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆f2与x轴的右交点为q，过点q作斜率为k（k0）的直线l与椭圆相交于a、b两点，若oaob，求直线l被圆f2截得的弦长s的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；椭圆的应用 专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）设椭圆上任一点q的坐标为（x0，y0），根据q点到右准线的距离和椭圆的第二定义，求得x0的范围，进而求得椭圆上的点到点f2的最短距离（2）可先表示出|pt|，进而可知当且仅当|pf2|取得最小值时|pt|取得最小值，根据（ac）求得e的范围（3）设直线的方程为y=k（x1），与抛物线方程联立方程组消去y得，根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2，根据oaob，可知=0，k=a，直线的方程为axya=0根据圆心f2（c，0）到直线l的距离，进而求得答案解答：解：（1）设椭圆上任一点q的坐标为（x0，y0），q点到右准线的距离为d=x0，则由椭圆的第二定义知：=，|qf2|=a，又ax0a，当x0=a时，|qf2|min=ac（2）依题意设切线长|pt|=当且仅当|pf2|取得最小值时|pt|取得最小值，（ac），0，从而解得e，故离心率e的取值范围是解得e，（3）依题意q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x22a2k2x+a2k2a2=0得，设a（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=+y1y2=，又oaob，=0，k=a，直线的方程为axya=0，圆心f2（c，0）到直线l的距离d=，e，c1，2c+13，s（0，），所以弦长s的最大值为点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题考查了学生综合分析问题和解决问题的能力