湖南省师大附中高三数学第一次月考试题 理.doc

湖南师大附中2016届高三第一次月考理科 数学试题时量 120分钟 总分 150分选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分）1、已知为虚数单位，复数满足，则=（ ）a.25 b. c. d.1【答案】c【解析】由，得，则=5 或：，则2、已知，则的值等于（ ）a b c d【答案】b【解析】3、设直线与圆c：相交于点,两点，则实数的值为( ) a1 b2 c1或2 d3【答案】b【解析】圆心，半径为2，那么圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为命题：“非零向量，若，则的夹角为钝角”，命题：“对函数，若，则为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（ ） b. c. d.【答案】d【解析】命题为假命题，夹角可以为； 命题也是假命题，可能不是极值点； 故选d5、 底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为。a. b. c. d.【答案】：a【解析】：设所给半球的半径为，则棱锥的高，底面正方形中有，所以其体积，则，于是球的体积为.则半球的体积为.6、在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（ ).a56 b35 c35 d56【答案】a【解析】因为二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即，展开式通项为，令，得；则展开式中含项的系数是.7、已知数列是等差数列，数列是各项为正数的等比数列，且公比，若，则（ ）a. b. c. d.或【答案】a【解析】，且， 则，故选a8、“”是“”的 a. 充分不必要条件 b. 必要不充分条件 c. 充要条件 d.既不充分也不必要条件【答案】b【解析】： 等价于或，而等价于或，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如时，不能得出，故选。9、如图，已知圆m的半径为2，点p与圆心m的距离为4，正方形abcd是圆m的内接四边形，e，f是边ab，ad的中点，当正方形abcd绕圆心m转动时，的取值范围是 b.c. d.【答案】d【解析】（其中为的夹角）故选d10、若实数满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为，则在点处取得最大值的概率为（ ）a b c d【答案】d【解析】约束条件为一个三角形及其内部，其中，要使函数在点处取得最大值，需满足，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对，其中满足有共30对，所以所求概率为选d11、已知是的三个内角，给出下列三组数据； ； 分别以每组数据作为三条线段的长，其中一定能构成三角形的数组的序号是. b. c. d.【答案】b【解析】：设 的对边为 令，中，所以可以构成三角形中，仅在即时构成三角形中恒成立，所以可以构成三角形12、已知是定义在r上的函数的导函数，且，则，的大小关系为 b. c. d.【答案】d【解析】构造函数，则，故函数为增函数；又，即：所以：，故选d二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）13、已知定义在上的函数 （）为偶函数，则不等式的解集为 【答案】【解析】显然有，则14、执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 .【答案】：16【解析】：由程序框图可知，从到得到，因此将输出 . 15、已知方程 有两个不同的根，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于 【答案】20【解析】由韦达定理得，则，则只有在顺序或时成等比数列，故，又适当排序成为等差数列，则或，则故16、设双曲线的右焦点为，右顶点为，过f作轴的垂线与双曲线交于b，c两点，过b，c分别作ac，ab的垂线，两垂线交于点d.，若d到直线bc的距离等于，则双曲线的离心率为 【答案】【解析】由题意，由双曲线的对称性知点d在轴上，设，由，得，由已知得，又，故解答题（本题共6个小题，满分70分）17、（满分10分）已知函数为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为.（i）求函数的单调区间；（ii）若，求的值.【解析】（i）为偶函数即恒成立又1分又其图象上相邻对称轴之间的距离为.2分.3分则函数的单调递增区间为：.4分 函数的单调递减区间为：.5分（ii）原式7分又8分分即，故原式10分18、（满分12分）某品牌的汽车4s店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4s店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元. 用表示经销一辆汽车的利润.（1）求下表中的值；（2）若以频率作为概率，求事件a:“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率；（3）求的分布列及数学期望. 付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频 数402010【解析】：（1）由得.1分 -2分（2）记分期付款的期数为，依题意得：,-5分则“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率:-7分（3）的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）-8分-9分-10分11.52p0.40.40.2的分布列为的数学期望(万元).12分19、（满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（i）求证：平面；（ii）设为直线与平面所成的角，求的值；（）设为中点，在边上求一点，使平面，求的值解：（i）证明该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两垂直。 且 , 以ba，bb1 ，bc分别为轴建立空间直角坐标系，如图则n（4,4,0），b1（0, 8,0），c1（0,8,4），c（0,0,4）=（4,4,0）（-4,4,0）=-16+16=0=（4,4,0）（0,0,4）=0 bnnb1，bnb1c1且nb1与b1c1相交于b1，bn平面c1b1n； .4分 （ii）设为平面的一个法向量，则 则 .8分 （）m（2,0,0）设p(0,0,a)为bc上一点,则, mp/平面cnb1, 又,当pb=1时mp/平面cnb1 .12分【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分.20、（满分12分）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足；数列满足，为数列的前n项和（1）求和；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；【解析】（1）（法一）在中，令，得 即 1分解得， 3分.4分，.5分 6分（法二）是等差数列， 2分由，得 ， 又， 4分(求法同法一)（2）当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 7分 ，等号在时取得 此时 需满足 8分当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立 9分 是随的增大而增大，.10分 时取得最小值 .11分此时 需满足 综合、可得的取值范围是 12分21、（满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，为椭圆的左右焦点，若直线上有且仅有一个点，使得（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆的圆心在x轴上方，且圆经过椭圆两焦点点，分别为椭圆和圆上的一动点若时, 取得最大值为，求实数的值【解析】（1）因为椭圆左，右顶点分别为，所以.1分又因为直线上恰存在一个点，使得，即以原点o为圆心，半径为作圆o，使得圆o与直线相切即可又圆心o到直线的距离， 所以 ，.3分，.4分所以椭圆的标准方程为； .5分设，因为点在椭圆上，所以有,因为圆的圆心在x轴上方，且圆经过椭圆两焦点所以圆的方程为, ，.6分由得，.7分又，所以， .8分当即时,当时,取得最大值,因为的最大值为，所以,解得,又，故舍去. .9分当即时,当时,取最大值,所以，解得，又，所以. .11分 综上,当时,的最大值为.12分（满分12分）已知函数（其中为参数）.求函数的单调区间；若对任意，都有成立，求实数的取值集合；证明：（其中，为自然对数的底数）【解析】（1），且，.1分当时，则函数在单调递增；.2分当时，易知，在单调递减，在单调递增；.3分依题意，当时函